2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽圖論問題試卷一、選擇題（每題5分，共30分）下列圖形中既是連通圖又是完全圖的是（）A.頂點(diǎn)數(shù)為3的樹B.頂點(diǎn)數(shù)為4的環(huán)圖C.頂點(diǎn)數(shù)為5的星圖D.頂點(diǎn)數(shù)為4的完全圖K?一個(gè)具有8個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖，最多可以有多少條邊（）A.14B.28C.56D.64下列關(guān)于歐拉回路的說法正確的是（）A.所有頂點(diǎn)度數(shù)都是偶數(shù)的圖一定存在歐拉回路B.連通圖中存在歐拉回路的充要條件是所有頂點(diǎn)度數(shù)為偶數(shù)C.完全圖K?中不存在歐拉回路D.有向圖中存在歐拉回路的條件是每個(gè)頂點(diǎn)的入度等于出度某學(xué)校有7個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)至少與3個(gè)其他社團(tuán)合作舉辦活動(dòng)，這種合作關(guān)系可以用圖論中的哪種概念描述（）A.3-正則圖B.完全二部圖C.競(jìng)賽圖D.歐拉圖在一個(gè)無向圖中，若存在一條路徑包含所有頂點(diǎn)且不重復(fù)經(jīng)過邊，則該路徑稱為（）A.哈密頓路徑B.歐拉路徑C.最短路徑D.關(guān)鍵路徑下列圖形中，不能一筆畫成的是（）A.五角星B.凸五邊形C.含兩個(gè)奇度頂點(diǎn)的連通圖D.含四個(gè)奇度頂點(diǎn)的連通圖二、填空題（每題6分，共36分）一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的樹有______條邊，若這棵樹是完全二叉樹且有10片葉子，則其總頂點(diǎn)數(shù)為______。某城市公交線路圖中，共有12個(gè)公交站點(diǎn)，若要保證任意兩個(gè)站點(diǎn)之間都有直達(dá)線路（可直達(dá)或換乘），則至少需要______條公交線路。如圖1，在邊長(zhǎng)為3的正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有______個(gè)，其中直角三角形有______個(gè)。有向圖G的鄰接矩陣為：[\begin{bmatrix}0&1&0\1&0&1\0&1&0\end{bmatrix}]則從頂點(diǎn)1到頂點(diǎn)3的長(zhǎng)度為3的路徑有______條。在平面上有5個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，最多可構(gòu)成______個(gè)不同的簡(jiǎn)單圖，其中連通圖有______個(gè)。某社交網(wǎng)絡(luò)中有10個(gè)用戶，每個(gè)用戶至少關(guān)注其他3個(gè)用戶，且不存在相互關(guān)注的情況（即無雙向邊），則該網(wǎng)絡(luò)最多有______條關(guān)注關(guān)系。三、解答題（共3題，第13題20分，第14題24分，第15題30分，共74分）13.（20分）圖的染色問題（1）證明：任意平面圖都可以用5種顏色染色，使得相鄰區(qū)域顏色不同；（2）某中學(xué)要安排7門不同的選修課，每天最多開設(shè)3門，要求同一學(xué)生選修的課程不能安排在同一天。若課程之間的選課沖突關(guān)系如圖2所示（頂點(diǎn)表示課程，邊表示沖突），求至少需要安排幾天？14.（24分）網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題某物流公司要在6個(gè)城市間建立運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)，城市間的直達(dá)運(yùn)輸成本（單位：萬元）如下表所示：城市ABCDEFA053∞84B5026∞7C32045∞D(zhuǎn)∞64032E8∞5301F47∞210（1）使用克魯斯卡爾算法求連接所有城市的最小生成樹，并計(jì)算總成本；（2）若從城市A發(fā)送一批貨物到城市E，求最省錢的運(yùn)輸路線及成本；（3）若城市C和D之間的道路因施工關(guān)閉，如何調(diào)整運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)才能保持所有城市連通且總成本增加最少？15.（30分）綜合探究題（1）在一個(gè)n×n的網(wǎng)格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以網(wǎng)格線為邊，求從左下角到右上角的最短路徑數(shù)量；若規(guī)定只能向右或向上移動(dòng)，且不能經(jīng)過點(diǎn)（2,3），則最短路徑數(shù)量是多少？（2）證明：任意6個(gè)人中，要么存在3人相互認(rèn)識(shí)，要么存在3人相互不認(rèn)識(shí)（拉姆塞數(shù)R(3,3)=6）；（3）某通訊公司要為一個(gè)有12個(gè)小區(qū)的社區(qū)鋪設(shè)光纖，要求每個(gè)小區(qū)與至少兩個(gè)其他小區(qū)相連，且鋪設(shè)總長(zhǎng)度最短。已知各小區(qū)之間的距離為：相鄰小區(qū)距離1km，對(duì)角線小區(qū)距離√2km。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)兩種不同的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（要求一種為樹狀結(jié)構(gòu)，一種為環(huán)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)），并比較其優(yōu)缺點(diǎn)。（4）拓展思考：在圖論中，四色定理表明任何平面圖都可以用4種顏色染色。請(qǐng)舉例說明非平面圖可能需要更多顏色，并探討圖的染色數(shù)與圖的哪些參數(shù)相關(guān)。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（單獨(dú)成冊(cè)）D2.B3.B4.A5.B6.Dn-1；198.119.105；7210.211.32；2612.15（1）10分；（2）4天（10分）（1）15萬元（8分）；（2）A→C→D→E，成本10萬元（8分）；（3）增加C-E連線，成本增加2萬元（8分）（1）C(2n-2,n-1)；C(7,3)-C(5,2)C(2,1)=35-20=15（8分）；（2）利用圖論中的拉姆塞數(shù)證明（8分）；（3）樹狀結(jié)構(gòu)需11km，環(huán)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)需12km（8分）；（4）舉例非平面圖如