2025年下學期初中數(shù)學空間想象能力測評試卷考試時間：90分鐘滿分：120分一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。如圖1，一個正方體的平面展開圖中，與“數(shù)”字所在面相對的面上的漢字是（）A.空B.間C.想D.象（注：圖1為正方體展開圖，含“數(shù)、學、空、間、想、象”六個漢字，其中“數(shù)”與“間”相對，“學”與“想”相對，“空”與“象”相對）將一個半徑為3cm的圓錐沿高切開，得到兩個完全相同的幾何體，切面的面積為12cm2，則圓錐的母線長為（）A.4cmB.5cmC.√13cmD.√15cm（提示：切面為等腰三角形，底為圓錐底面直徑6cm，高為圓錐的高h，由面積公式得(6×h)/2=12，解得h=4cm，母線長l=√(h2+32)=5cm）如圖2，水平放置的圓柱形水杯的主視圖是（）A.圓形B.矩形C.三角形D.梯形（注：主視圖為從正面觀察的平面圖形，圓柱主視圖為矩形）在三棱柱ABC-A?B?C?中，與棱AB平行的棱是（）A.A?B?B.BCC.A?C?D.CC?（提示：三棱柱中，側(cè)棱平行且相等，上下底面對應(yīng)邊平行，AB與A?B?平行）一個幾何體的三視圖如圖3所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3（注：三視圖顯示幾何體為圓柱，底面半徑2cm，高3cm，體積V=πr2h=π×22×3=12πcm3）將直角三角形ABC繞斜邊AC旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是（）A.圓柱B.圓錐C.兩個同底圓錐的組合體D.球體（提示：直角三角形繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成兩個共底面的圓錐，底面半徑為斜邊上的高）如圖4，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點P是棱CC?的中點，則過點A、B、P的截面形狀是（）A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形（提示：連接AP、BP，延長BP交B?C?延長線于點Q，連接AQ交A?D?于點R，截面為四邊形ABPR）下列說法正確的是（）A.三視圖相同的兩個幾何體一定全等B.球體的三視圖都是圓C.圓錐的側(cè)面展開圖是正方形D.長方體的截面一定是矩形（解析：A項錯誤，如兩個不同大小的球體三視圖均為圓；C項錯誤，圓錐側(cè)面展開圖為扇形；D項錯誤，斜截面可能為三角形或六邊形；B項正確）二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）一個正方體的棱長為2cm，則其表面積為______cm2，體積為______cm3。（答案：24；8。表面積=6×22=24，體積=23=8）如圖5，在長方體ABCD-A?B?C?D?中，AB=3，BC=4，AA?=5，則點A到點C?的距離為______。（提示：空間中兩點距離公式AC?=√(AB2+BC2+AA?2)=√(32+42+52)=5√2）將半徑為5cm的半圓圍成一個圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面半徑為______cm。（解析：半圓的弧長=π×5=5π，即為圓錐底面周長，設(shè)底面半徑為r，則2πr=5π，解得r=2.5）如圖6，一個由小立方塊搭成的幾何體，從上面看到的形狀圖（俯視圖）如圖所示，小正方形中的數(shù)字表示該位置小立方塊的個數(shù)，則從正面看到的形狀圖有______列，每列小正方形的個數(shù)分別為______。（注：俯視圖第一行數(shù)字為2,1，第二行數(shù)字為3,2，則主視圖有2列，左列最高3個，右列最高2個，答案：2；3,2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，將△ABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，則圓錐的側(cè)面積為______。（提示：圓錐母線長AB=5，底面半徑BC=4，側(cè)面積=π×4×5=20π）已知正六棱柱的底面邊長為2cm，側(cè)棱長為4cm，則它的側(cè)面積為______cm2。（解析：正六棱柱有6個側(cè)面，每個側(cè)面為矩形，面積=2×4=8，總側(cè)面積=6×8=48）三、解答題（本大題共6小題，共72分）（10分）如圖7是一個幾何體的三視圖（單位：mm）。（1）判斷該幾何體的形狀；（2）求該幾何體的表面積和體積。（注：三視圖顯示幾何體為圓柱體，底面直徑4mm，高6mm）解：（1）該幾何體是圓柱體。（2分）（2）底面半徑r=4÷2=2mm，高h=6mm。表面積S=2πr2+2πrh=2π×22+2π×2×6=8π+24π=32πmm2；（4分）體積V=πr2h=π×22×6=24πmm3。（4分）（12分）如圖8，在正方體ABCD-A?B?C?D?中，棱長為a。（1）指出棱A?B?與平面ABCD的位置關(guān)系；（2）求棱A?A與棱B?C?之間的距離；（3）若點E為棱CC?的中點，求三棱錐E-ABD的體積。解：（1）A?B?與平面ABCD平行（或A?B?//平面ABCD）。（3分）（2）A?A與B?C?是異面直線，距離為棱長a。（3分）（3）三棱錐E-ABD的底面△ABD面積S=(a×a)/2=a2/2，高為EC=a/2，體積V=(1/3)×S×h=(1/3)×(a2/2)×(a/2)=a3/12。（6分）（12分）如圖9，一個無蓋的長方體盒子的展開圖由六個面組成，其中兩個面是邊長為a的正方形，其余四個面是長為b、寬為a的長方形。（1）求盒子的容積（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）若a=2，b=5，求制作這個盒子所需材料的面積（接縫處忽略不計）。解：（1）由展開圖可知，盒子的長、寬、高分別為b、a、a，容積V=長×寬×高=a×a×b=a2b。（5分）（2）材料面積=2個正方形面積+4個長方形面積=2a2+4ab，當a=2，b=5時，面積=2×4+4×2×5=8+40=48。（7分）（14分）如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s；同時點Q從點C出發(fā)沿CB方向向點B勻速運動，速度為2cm/s，設(shè)運動時間為t秒（0<t<4）。（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長度；（2）當t為何值時，△PCQ的面積為8cm2？（3）在P、Q運動過程中，將△PCQ繞PQ所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個幾何體，判斷該幾何體的形狀，并求出t=2時幾何體的體積。解：（1）PC=AC-AP=6-t，CQ=2t。（4分）（2）S△PCQ=(PC×CQ)/2=(6-t)×2t/2=(6-t)t=8，整理得t2-6t+8=0，解得t=2或t=4（舍去），∴當t=2時，面積為8cm2。（5分）（3）旋轉(zhuǎn)后幾何體為兩個同底的圓錐組合體（或“共底面的兩個圓錐”）。（2分）當t=2時，PC=4cm，CQ=4cm，PQ=√(42+42)=4√2cm，底面半徑r=（PC×CQ）/PQ=（4×4）/4√2=2√2cm，體積V=(1/3)πr2×PQ=(1/3)π×(2√2)2×4√2=(1/3)π×8×4√2=32√2π/3cm3。（3分）（12分）如圖11，一個透明的圓柱形容器（厚度忽略不計）的底面半徑為10cm，高為30cm，容器內(nèi)水深20cm。將一個底面半徑為5cm、高為15cm的實心圓錐完全浸沒在水中，水未溢出。（1）求圓錐的體積；（2）求水面上升的高度。解：（1）圓錐體積V=(1/3)πr2h=(1/3)π×52×15=125πcm3。（5分）（2）設(shè)水面上升高度為h，圓柱底面積S=π×102=100π，由體積相等得100π×h=125π，解得h=1.25cm。（7分）（10分）如圖12，在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E、F分別是棱A?D?、C?D?的中點。（1）畫出過點B、E、F的平面與正方體表面的交線；（2）判斷直線BE與DF的位置關(guān)系，并說明理由。解：（1）交線為BE、EF、FB（需在圖中連接BE、EF、FB，形成三角形截面）。（4分）（2）BE與DF是異面直線。（2分）理由：假設(shè)BE與DF共面，則點B、E、D、F在同一平面內(nèi)，∵E、F分別為A?D?、C?D?中點，∴EF//A?C?//AC，而BD與AC相交，故B、D、E、F四點不共面，矛盾，∴BE與DF異面。（4分）四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分，不計入總分，供學有余力的學生選做）如圖13，在正四面體ABCD中，棱長為a，求該四面體的高。（提示：正四面體高h=√[a2-((2/3)×√3a/2)2]=√(a2-a2/3)=√(6)a/3）用一個平面去截一個球，截面是圓面，若球的半徑為R，