2025年下學期初中數學卓越人才選拔試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-5x+6=0})，(B={x|x^2-ax+a-1=0})，若(A\cupB=A)，則實數(a)的取值范圍是（）A.({2})B.({2,3})C.({3})D.({2,3,4})若函數(f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{\log_2(x-1)})有意義，則(x)的取值范圍是（）A.([1,2)\cup(2,3])B.((2,3])C.((1,2)\cup[3,+\infty))D.((2,3]\cup[4,+\infty))已知(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，點(P)為斜邊(AB)上一動點，過點(P)作(PE\perpAC)于(E)，(PF\perpBC)于(F)，則線段(EF)的最小值為（）A.(\frac{12}{5})B.(\frac{13}{5})C.3D.4若關于(x)的方程(x^2+(m-2)x+m^2-3m+3=0)的兩個實根(x_1,x_2)滿足(x_1^2+x_2^2=2)，則(m)的值為（）A.1或2B.1C.2D.0或3如圖，在平面直角坐標系中，點(A(1,0))，(B(0,\sqrt{3}))，以(AB)為邊向上作等邊三角形(ABC)，則點(C)的坐標為（）A.((2,\sqrt{3}))B.((1,\sqrt{3}))C.((\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}))D.((\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}))已知(a,b)為正實數，且(a+b=1)，則(\frac{1}{a}+\frac{2})的最小值為（）A.(3+2\sqrt{2})B.(5)C.(4\sqrt{2})D.(3+\sqrt{2})如圖，(\odotO)是(\triangleABC)的外接圓，(\angleBAC=60^\circ)，(BC=2\sqrt{3})，則(\odotO)的半徑為（）A.2B.(\sqrt{3})C.4D.(2\sqrt{3})若數列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則(a_{10}=)（）A.1023B.2047C.511D.255在一個不透明的袋子中裝有3個紅球、2個白球和1個黑球，這些球除顏色外完全相同。若從袋子中隨機摸出2個球，則摸出的2個球顏色不同的概率為（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})已知二次函數(y=ax^2+bx+c(a\neq0))的圖像如圖所示，則下列結論：①(a>0)；②(b^2-4ac>0)；③(a+b+c<0)；④(2a+b=0)。其中正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）分解因式：(x^3-4x^2+4x=)________。已知點(P(2,-3))關于直線(y=x+1)的對稱點為(Q)，則點(Q)的坐標為________。若(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(AD=6)，點(E)為(BC)的中點，點(F)在(CD)上，且(CF=1)，則(\triangleAEF)的面積為________。已知關于(x)的不等式組(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})有且只有3個整數解，則(a)的取值范圍是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）計算：((\sqrt{2}-1)^0+|1-\sqrt{3}|-2\cos30^\circ+\left(\frac{1}{2}\right)^{-2})。（本小題滿分12分）如圖，在平行四邊形(ABCD)中，點(E,F)分別在邊(AB,CD)上，且(AE=CF)。求證：(DE=BF)。（本小題滿分12分）為了解某校九年級學生的數學成績，隨機抽取了該校九年級50名學生的數學成績進行統(tǒng)計分析，得到如下頻數分布表：成績分組（分）40≤x<5050≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100頻數238151210（1）求這50名學生數學成績的中位數和眾數所在的區(qū)間；（2）若該校九年級共有800名學生，估計該校九年級數學成績不低于80分的學生人數。（本小題滿分12分）如圖，一次函數(y=kx+b)的圖像與反比例函數(y=\frac{m}{x})的圖像交于點(A(2,3))和點(B(-3,n))。（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）求(\triangleAOB)的面積（(O)為坐標原點）。（本小題滿分12分）某商場銷售一種進價為20元/件的商品，經調查發(fā)現，該商品每天的銷售量(y)（件）與銷售單價(x)（元/件）滿足關系(y=-2x+80)（(20\leqx\leq40)）。設該商品每天的銷售利潤為(w)元。（1）求(w)與(x)之間的函數關系式；（2）當銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（本小題滿分12分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)為直徑作(\odotO)交(BC)于點(D)，過點(D)作(DE\perpAC)于點(E)。（1）求證：(DE)是(\odotO)的切線；（2）若(AB=5)，(BC=6)，求(DE)的長。參考答案及評分標準（僅供閱卷參考）一、選擇題B2.C3.A4.B5.A6.A7.A8.A9.D10.C二、填空題11.(x(x-2)^2)12.(-4,3)13.314.815.-2≤a<-1三、解答題16.解：原式=1+((\sqrt{3})-1)-2×(\frac{\sqrt{3}}{2})+4………………6分=1+(\sqrt{3})-1-(\sqrt{3})+4=4………………10分證明：∵四邊形(ABCD)是平行四邊形，∴(AB\parallelCD)，(AB=CD)?！?分∵(AE=CF)，∴(BE=DF)。…………4分又∵(BE\parallelDF)，∴四邊形(BEDF)是平行四邊形?！?分∴(DE=BF)?！?2分解：（1）∵共有50個數據，第25、26個數據均落在70≤x<80區(qū)間，∴中位數所在區(qū)間為70≤x<80；…………4分眾數所在區(qū)間為70≤x<80（頻數最高）?！?分（2）不低于80分的頻數為12+10=22，占比(\frac{22}{50})=0.44?！?分估計總人數為800×0.44=352人?！?2分解：（1）∵點(A(2,3))在反比例函數圖像上，∴(m=2×3=6)，反比例函數解析式為(y=\frac{6}{x})?！?分將(B(-3,n))代入得(n=\frac{6}{-3}=-2)，∴(B(-3,-2))?！?分將(A(2,3))、(B(-3,-2))代入一次函數得(\begin{cases}2k+b=3\-3k+b=-2\end{cases})，解得(\begin{cases}k=1\b=1\end{cases})，∴一次函數解析式為(y=x+1)?！?分（2）令(y=0)，則(x=-1)，∴直線(AB)與x軸交于點(C(-1,0))?！?0分(S_{\triangleAOB}=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×1×2=\frac{5}{2})。…………12分解：（1）(w=(x-20)y=(x-20)(-2x+80)=-2x^2+120x-1600)?！?分（2）(w=-2(x-30)^2+200)，∵-2<0，∴當(x=30)時，(w)最大=200?！?0分答：銷售單價定為30元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是200元。…………12分（1）證明：連接(OD)，∵(AB=AC)，∴(\angleB=\angleC)?！?OB=OD)，∴(\angleB=\angleODB)，∴(\angleODB=\angleC)，∴(OD\parallelAC)?！?分∵(DE\perpAC)，∴(OD\perpDE)，∴(DE)是(\odotO)的切線?！?分（