2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練拓展試卷一、單選題（每題5分，共6題）集合新定義設(shè)集合(S={a_1,a_2,\dots,a_n})，若對任意(x,y\inS)，均有(x+y\notinS)且(x-y\notinS)，則稱(S)為“孤立集”。已知集合(A={1,2,3,4,5})，則(A)的子集中“孤立集”的個數(shù)為（）A.10B.13C.16D.18函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新背景定義“曲率函數(shù)”(k(x)=\frac{|f''(x)|}{[1+(f'(x))^2]^{\frac{3}{2}}})，若函數(shù)(f(x)=\lnx)在(x=1)處的曲率為(k)，則(k=)（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{2}}{4})C.(\sqrt{2})D.2數(shù)列新定義若數(shù)列({a_n})滿足(a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n})，且(a_1=2)，則(a_{2025}=)（）A.(2+\sqrt{2})B.(2)C.(2-\sqrt{2})D.(\sqrt{2})立體幾何新性質(zhì)在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，定義“斜截面”為過棱(AB,CC_1,A_1D_1)的截面，則該截面的面積為（）A.(3\sqrt{2})B.(2\sqrt{6})C.(4\sqrt{3})D.(6)概率與統(tǒng)計新運算定義“信息熵”(H=-\sum_{i=1}^np_i\log_2p_i)，其中(p_i)為隨機事件的概率且(\sum_{i=1}^np_i=1)。若某隨機變量(X)的分布列為(P(X=1)=p)，(P(X=0)=1-p)，則當(dāng)(H)取得最大值時，(p=)（）A.0B.(\frac{1}{2})C.(\frac{1}{3})D.1解析幾何新定義平面內(nèi)到定點(F(1,0))與到定直線(x=-1)的距離之和為4的點的軌跡為曲線(C)，則曲線(C)與(y)軸的交點坐標(biāo)為（）A.((0,\pm\sqrt{3}))B.((0,\pm2))C.((0,\pm\sqrt{15}))D.((0,\pm4))二、多選題（每題6分，共3題）集合與函數(shù)綜合定義“子集的補集和”：對于集合(S={1,2,3,4})，若(T\subseteqS)，記(T^c)為(T)在(S)中的補集，則下列說法正確的有（）A.若(T={1,2})，則(T^c)的所有元素之和為7B.滿足(T\cupT^c=S)的子集(T)有16個C.若(f(T)=|T|+|T^c|)，則(f(T))的最大值為4D.存在(T)使得(T\capT^c={1})立體幾何與解析幾何交匯在空間直角坐標(biāo)系中，定義“斜坐標(biāo)系”(O-xyz)，其中(x,y,z)軸的正方向夾角均為(60^\circ)。若點(P)的斜坐標(biāo)為((1,1,1))，則下列結(jié)論正確的有（）A.點(P)到原點的距離為(\sqrt{3})B.向量(\overrightarrow{OP})在(x)軸上的投影為1C.斜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)變換公式與直角坐標(biāo)系相同D.點(P)關(guān)于(xOy)平面對稱的點的斜坐標(biāo)為((1,1,-1))概率與統(tǒng)計新定義某工廠生產(chǎn)的零件長度(X\simN(\mu,\sigma^2))，定義“質(zhì)量指數(shù)”(Q=\frac{|\mu-10|}{\sigma})，若(P(8<X<12)=0.9545)，則下列說法正確的有（）A.若(\mu=10)，則(Q=0)B.若(\sigma=1)，則(Q\geq2)C.(Q)越小，零件質(zhì)量越穩(wěn)定D.當(dāng)(Q=1)時，(P(X>11)=0.1587)三、填空題（每題5分，共4題）三角函數(shù)新定義定義“周期比”(\lambda=\frac{T_1}{T_2})，其中(T_1)為函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))的最小正周期，(T_2)為函數(shù)(g(x)=\tan(\omegax+\varphi))的最小正周期。若(\lambda=2)，則(\omega=)________。平面向量新運算定義向量“(\otimes)”運算：(\boldsymbol{a}\otimes\boldsymbol=|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol|\cdot\sin\theta)（(\theta)為(\boldsymbol{a},\boldsymbol)的夾角），若(\boldsymbol{a}=(1,2))，(\boldsymbol=(3,4))，則(\boldsymbol{a}\otimes\boldsymbol=)________。立體幾何新度量在正四面體(ABCD)中，定義“表面距離”為兩點在多面體表面上的最短路徑長。若棱長為2，則(A)到(CD)中點的表面距離為________。概率與統(tǒng)計新定義若隨機變量(X)的分布列為(P(X=k)=C_3^kp^k(1-p)^{3-k})（(k=0,1,2,3)），則“方差比”(\frac{D(X)}{E(X)}=)________（用(p)表示）。四、解答題（共6題，共70分）集合與函數(shù)綜合（10分）設(shè)集合(A={x|f(x)=\lg(x^2-ax+3)})，若(A)為“無窮集”（即元素個數(shù)無限），且對任意(x_1,x_2\inA)，均有(x_1+x_2\inA)，求實數(shù)(a)的取值范圍。數(shù)列新定義（12分）定義“牛頓數(shù)列”：對于函數(shù)(f(x))，若(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)})，且(f(x)=x^3-2x-2)，(x_1=2)。（1）證明：數(shù)列({x_n})單調(diào)遞減；（2）求(\lim_{n\to\infty}x_n)。立體幾何新背景（12分）在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，定義“空間斜坐標(biāo)系”：以(A)為原點，(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AA_1})為坐標(biāo)軸正方向，軸間夾角均為(60^\circ)。（1）求點(B_1)的斜坐標(biāo)；（2）求異面直線(AB_1)與(BC_1)的夾角余弦值。解析幾何新定義（12分）定義“類橢圓曲線”：平面內(nèi)到兩定點(F_1(-c,0),F_2(c,0))的距離之積為常數(shù)(a^2(a>c>0))的點的軌跡。（1）求曲線方程；（2）過(F_1)作直線交曲線于(M,N)兩點，若(|MN|=2a)，求直線(MN)的斜率。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合（12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx)，定義“極值比”(R=\frac{f(x_1)}{f(x_2)})（(x_1,x_2)為極值點，且(x_1<x_2)）。（1）若(a=1,b=0)，求(R)；（2）若(R=e^2)，求(a,b)的關(guān)系。概率與統(tǒng)計新應(yīng)用（12分）某學(xué)校為評估教學(xué)質(zhì)量，定義“滿意度指數(shù)”(S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2)，其中(x_i)為學(xué)生評分（滿分10分），(\overline{x})為平均分。現(xiàn)隨機抽取5名學(xué)生的評分：8,9,10,7,6。（1）求(S)；（2）若再加入一名學(xué)生的評分(x_6)，使得(S)不變，求(x_6)的值。五、選做題（共2題，任選1題作答，10分）數(shù)學(xué)建模（10分）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，成本函數(shù)為(C(x)=2x+5)，收益函數(shù)為(R(x)=10x-0.1x^2)，定義“利潤彈性”(E=\frac{xR'(x)}{R(x)-C(x)})，當(dāng)(x=10)時，求(E)。高等數(shù)學(xué)背景（10分）定義“黎曼和”(S_n=\sum_{i=1}^nf\left(a+\frac{i(b-a)}{n}\right)\cdot\frac{b-a}{n})，若(f(x)=x^2)，(a=0)，(b=2)，求(\lim_{n\to\infty}S_n)。參考答案及解析（此處省略，實際試卷需附詳細(xì)解析）試卷設(shè)計說明：覆蓋核心模塊：嚴(yán)格依據(jù)2025年教學(xué)大綱，涵蓋集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、立體幾何、概率與統(tǒng)計等重點