專題1.1空間向量及其線性運算-重難點題型精講1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2．空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共線向量(1)空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．4．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.【題型1空間向量概念的理解】【方法點撥】在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．【例1】下列命題中正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空間任意兩個向量共面 D．若a→∥b→【變式1-1】下列命題正確的是（）A．若a→與b→共線，b→與c→共線，則aB．向量a→，C．零向量沒有確定的方向 D．若a→∥b→【變式1-2】下列關于空間向量的說法中正確的是（）A．若向量a→，b→B．若|a→|=|bC．若向量AB→，CD→滿足D．相等向量其方向必相同【變式1-3】給出下列命題：①若空間向量a②空間任意兩個單位向量必相等③若空間向量a④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有BD⑤向量a→=（1，1，0）的模為其中假命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型2空間向量的加減運算】【方法點撥】①巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．【例2】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC1→ B．A1C→ C【變式2-1】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC→A．BD→ B．DB→ C．AD→ 【變式2-2】如圖，在空間四邊形P﹣ABC中，PA→A．PC→ B．PA→ C．AB→ 【變式2-3】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC→ B．A1C→ C．【題型3空間向量的線性運算】【方法點撥】①數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．②明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙利用線段的中點進行解題．【例3】在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則（）A．MN→=12ADC．MN→=?12【變式3-1】如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，BC→=3CEA．AB→+13ADC．AB→+13【變式3-2】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，AG→=2GEA．13AB→?2C．?23AB→【變式3-3】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CM→=MDA．AM→=12ABC．AQ→=14【題型4空間向量的線性運算（求參數(shù)）】【例4】已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，PD上的點，且NM→=xAB→+yAD→+zAP→，PM→=2MCA．?23 B．23 C．1 【變式4-1】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在棱BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=12DDA．﹣1 B．0 C．13 D．【變式4-2】如圖的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M在BB1上，點N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=13D1D，若MN→=xABA．17 B．16 C．23 【變式4-3】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若AM→=aAB→+bAD→+cAA1→，給出以下結論：①a+b+c＝2；②13＜b＜23；③a＝A．1 B．2 C．3 D．4【題型5向量共線的判定及應用】【方法點撥】①判斷或證明兩向量，(≠)共線，就是尋找實數(shù)λ，使＝λ成立，為此常結合題目圖形，運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．②判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))；【例5】已知非零向量a→=3m→?2n→?4p→，b→=(x+1)mA．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13【變式5-1】在四面體O﹣ABC中，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，若OG→=13OA→+x4A．1 B．2 C．23 D．【變式5-2】已知空間的一組基底{a→，b→，c→}A．2 B．﹣2 C．1 D．0【變式5-3】如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E→=23A1D【題型6向量共面的判定及應用】【方法點撥】①若已知點P在平面ABC內，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．②證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．【例6】已知M，A，B，C為空間中四點，任意三點不共線，且OM→=?2OA→+xOB→+yOC→，若M，A，BA．0 B．1 C．2 D．3【變式6-1】下列條件中，一定使空間四點P、A、B、C共面的是（）A．OA→+OB→+C．OA→+OB→【變式6-2】對于空間任意一點O，若OP→=12OA→+13A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．與O點位置有關【變式6-3】設A，B，C，D為空間中的四個點，則“AD→=AB→+AC→”是“AA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件專題1.1空間向量及其線性運算-重難點題型檢測一．選擇題1．已知a→A．與a→共面的單位向量有無數(shù)個B．與a→垂直的單位向量有無數(shù)個C．與a→平行的單位向量只有一個D．與a→2．若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡下列各式的結果為ACA．AA1→+AC．AB→+BB3．若空間四點M、A、B、C共面且OA→+2OBA．1 B．2 C．3 D．64．如圖所示，在三棱錐D﹣ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，則DA→A．DE→ B．ED→ C．DC→ 5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M．設AB→=aA．?12a→?12b→?c→6．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點，BC→=3CEA．AB→+13ADC．AB→+137．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，給出下列各式：①（AB→+BC→）+CC1→．②（AA1→+A1D其中運算結果為向量ACA．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．已知{a→，b→，c→}是空間的一個基底，若m→=a→A．﹣3 B．?13 C．3 D二．多選題9．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為ACA．AB→+AD→+C．AB→+C110．如圖正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，則下列向量相等的是（）A．DO→與BO→ B．AC→與DB→ C．AD→與B111．若向量{a→，b→，cA．a→+b→，a→?b→，a→+2C．a→?b→，c→，a→+b→+12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1的中點為O，則下列互為相反向量的是（）A．OA→+ODB．OB→?OCC．OA1→D．OA→+三．填空題13．已知三棱錐O﹣ABC，其中D是線段BC的中點，如圖所示，用基向量OA→，OB→，OC→表示向量AD→14．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是BC，C1D1的中點，若MN→=aAB→+bAD→+cAA115．設e1→，e2→是兩個不共線的空間向量，若AB→=2e1→?e2→，BC→16．對于空間任意一點O，以下條件可以判定點P、A、B共線的是（填序號）．①OP→②5OP→③OP→④OP→四．解答題17．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中點，化簡下列各式：（1）AB→+BA1→；（2）18．如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E→=23A1D19．如圖，在空間四邊形SABC中，AC，BS為其對角線，O為△ABC的重心．（1）求證：OA→（2）化簡：SA→20．如