第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題13數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的求和（練）【對點(diǎn)演練】一、單選題1．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝給出了著名的三角垛公式：，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因?yàn)椋鶕?jù)題意結(jié)合分組求和運(yùn)算求解.【詳解】∵，由題意可得：數(shù)列的前項(xiàng)和為，又∵，∴數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：A.2．（2022秋·浙江金華·高三期末）1883年，德國數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間和；第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷步構(gòu)造后，所有去掉的區(qū)間長度和為（

）（注：或或或的區(qū)間長度均為）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項(xiàng)公式，可得第次操作剩余區(qū)間的長度和，即可得解.【詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長組成的數(shù)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉8個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以；設(shè)定義區(qū)間為，則區(qū)間長度為1，所以第次操作剩余區(qū)間的長度和為，則去掉的區(qū)間長度和為.故選：B3．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）中國古代的武成王廟是專門祭祀姜太公以及歷代良臣名將的廟宇，這類廟宇的頂部構(gòu)造頗有講究.如圖是某武成王廟頂部的剖面直觀圖，其中，，，且數(shù)列是第二項(xiàng)為的等差數(shù)列.若以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線的斜率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列是第二項(xiàng)為的等差數(shù)列可得，令，則根據(jù)題干可得：，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知：，令，，因?yàn)?，所以，因?yàn)閿?shù)列是第二項(xiàng)為的等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，因?yàn)椋?，同理則直線的斜率，故選：.4．（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中.如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（

）A．350 B．295 C．285 D．230【答案】C【分析】利用分組求和法和組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】記此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為，則，故選：C.二、多選題5．（2022秋·吉林·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年（公元1584年），他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為M，則依此規(guī)則，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．該等比數(shù)列的公比為C．插入的第9個數(shù)是插入的第5個數(shù)的倍 D．【答案】CD【分析】首先根據(jù)題意求出等比數(shù)列的公比以及，可以判斷BCD，再利用不等式證明A即可說明A錯誤.【詳解】由題意知，該數(shù)成等比數(shù)列記為，公比記為，則，，由等比數(shù)列性質(zhì)可知，解得，故B錯誤；記插入的11個數(shù)之和為M，則，則D正確；因?yàn)?，則插入的第9個數(shù)是，插入的第5個數(shù)為，則，故C正確；對于A，若，則，化簡得，即，即，但，故A錯誤.故選：CD三、填空題6．（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為__________．【答案】【分析】先由“兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再應(yīng)用基本不等式求得的最小值.【詳解】解：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴的最小值為．故答案為：.四、解答題7．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求當(dāng)n為何值時，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值.【答案】(1)；(2)或時，取得最大值.【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于公差的方程，求得d，可得答案；（2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由得，，當(dāng)或5時，取得最大值，最大值為10.8．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求;(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】(1)當(dāng)為奇數(shù)時，可得，即可證明數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)公式即可得通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)為偶數(shù)時，可得，即可得的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，從而得，利用錯位相減求和即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)為奇數(shù)，,即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，所以，，（2）解：當(dāng)為偶數(shù)，，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為所以，，，兩式相減得，故.9．（2022秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足,且.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【分析】(1)由與之間的關(guān)系式求的通項(xiàng)公式；由,可得,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)利用錯位相減求解即可.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，因?yàn)榉?，所?因?yàn)?所以,又，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.所以.所以；（2）解：因?yàn)?，所以，所以，兩式相減得所以10．（2022秋·河南·高三洛陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，遞增的等比數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和分別為，求.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)，求出，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合韋達(dá)定理求出，得到公比，寫出通項(xiàng)公式；（2）證明出為等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列求和公式和等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，滿足上式故的通項(xiàng)公式為，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以可看作方程的兩根，解得：或，因?yàn)榈缺葦?shù)列單調(diào)遞增，所以舍去，故，解得：，故的通項(xiàng)公式為；（2）因?yàn)?，所以，故為等差?shù)列，由等差數(shù)列求和公式得：，由等比數(shù)列求和公式得：.【沖刺提升】解答題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，點(diǎn)在直線，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)是否存在，使得對任意的，都有．【答案】(1)；(2)存在，2，使得對任意的，都有【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可得為等差數(shù)列，由的關(guān)系可得為等比數(shù)列，進(jìn)而可求其通項(xiàng)，（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解最值即可求解.【詳解】（1）點(diǎn)在直線上，所以又，∴，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴又當(dāng)時，得，當(dāng)，由

①，得

②由①－②整理得：，∵，∴∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故（2）設(shè)，由當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)或2時，取得最大值，即取得最大所以存在，2，使得對任意的，都有2．（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知條件因式分解變形，結(jié)合條件得，可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）將帶入化簡，寫出前項(xiàng)和的表達(dá)式，根據(jù)條件及性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以所以，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)樗?，則，因?yàn)?，故，所以，又，所以，所以的取值范圍?3．（2022·四川資陽·統(tǒng)考二模）已知為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，的前n項(xiàng)和為，求成立的n的最大值.【答案】(1)(2)7【分析】（1）代入公式求出公差即可求通項(xiàng)公式；（2）代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為：，，，.，即.（2），，，數(shù)列為等比數(shù)列，所以由，即，化簡得：，解得，，所以，要使成立的n的最大值為：7.4．（2022秋·江蘇徐州·高三期末）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，，成等差數(shù)列可得，再利用與的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）將代入，得出數(shù)列為等比數(shù)列，再使用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行證明.【詳解】（1）∵，，成等差數(shù)列，∴，即，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，由，有，兩式相減得，即，∴，又∵，∴數(shù)列中各項(xiàng)均不為，∴（），∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由第（1）問，數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，∴，∴，令，當(dāng)，，則（），∴數(shù)列，即是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴，∴得證.5．（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，4是,的等比中項(xiàng),且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試比較與的大小，并說明理由.【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，結(jié)合等比中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）由等差數(shù)列的求和公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，可得，再由作差比較法，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，4是,的等比中項(xiàng)，且，有，解得，，則；（2），，，，，由，可得．6．（2022秋·北京·高三北京八十中?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和記為.(1)寫出的最大值和最小值；(2)若，求的值；(3)是否存在數(shù)列，使得？如果存在，寫出此時的值；如果不存在，說明理由.【答案】(1)，；(2)0；(3)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求即可；（2）由（1）及遞推關(guān)系結(jié)合求出即可得解；（3）由遞推關(guān)系可得出項(xiàng)與的關(guān)系，據(jù)此可分析得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得或，?dāng)時，由，解得或，當(dāng)時，由，解得，所以或或，所以最大值為，最小值為.（2）當(dāng)時，，則或，此時由知，不滿足，舍去；當(dāng)時，，則或，滿足，不滿足，舍去；當(dāng)時，由，得或，由知滿足題意，當(dāng)時，不滿足題意，綜上，或，或，所以或或，故.（3）由，可得為整數(shù)，，所以，則，所以，若存在數(shù)列，使得，則，又為整數(shù)，所以方程無解，故不存在數(shù)列，使得.7．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)數(shù)列中，，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，且，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由可得到，根據(jù)累乘法求通項(xiàng)的方法，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）由可知，可判斷數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，即可求證.【詳解】（1）解：已知①，則，且②，，得，整理得，∴，，，，由累乘法可得，又，，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，，因?yàn)椋?，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，∴，，即，得證.8．（2022秋·上海黃浦·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列和有，，而數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明數(shù)列為等比數(shù)列，其中；(3)如果，試證明數(shù)列的單調(diào)性．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解即可.(2)根據(jù)給定的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義計(jì)算判斷作答.(3)由(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)，再求出，并利用作差法比較大小作答.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又?dāng)時，，所以；（2），而，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；（3），，，所以當(dāng)時，，數(shù)列為遞減數(shù)列．9．（2022秋·廣西南寧·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記的前項(xiàng)和為，若，均有，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）構(gòu)造證明即可；（2）由（1）可得，再累加可得，求出代入化簡可得，進(jìn)而根據(jù)恒成立方法求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），得，所以，所以．經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時，，亦滿足，所以．所以．因?yàn)槿我猓?，所以．易知，所以，即?shí)數(shù)的最小值為．10．（2022·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校?？家荒＃┮阎獢?shù)列?的前?項(xiàng)和為?，且?，__________．請?jiān)?成等比數(shù)列;?，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問題．(1)求數(shù)列?的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列?的前?項(xiàng)和?，求證：?．【答案】(1)任選一條件，都有?；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)得到數(shù)列?是首項(xiàng)為?，公差為1的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式列方程求解即可；（2）利用錯位相減法得到，即可得到，然后根據(jù)得到數(shù)列是遞增數(shù)列，即可得到.【詳解】（1）因?yàn)?，所?，即?，所以數(shù)列?是首項(xiàng)為?，公差為1的等差數(shù)列，其公差?．若選，由，得?，即，所以，解得?，所以，即數(shù)列?的通項(xiàng)公式為；若選，，成等比數(shù)列，由，，成等比數(shù)列，得?，則，所以?，所以；若選，因?yàn)?，所?，所以?，所以.（2）由題可知，所以，，兩式相減得，所以，所以，又，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，