北師大版2024·八年級上冊

第一章勾股定理

1.3勾股定理的應(yīng)用學(xué)

習

目

標123能夠運用勾股定理計算直角三角形的邊長，運用勾股定理的逆定理判斷三角形是否為直角三角形；能夠綜合運用勾股定理、逆定理以及基本幾何知識解決簡單的實際應(yīng)用問題，解決幾何圖形中的計算問題；掌握將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型求解的基本步驟。新知探究裝修工人李叔叔想檢測某塊裝修用磚（如圖）的邊AD

和邊BC

是否分別垂直于底邊AB。

(1)如果李叔叔隨身只帶了卷尺，那么你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？ABCD解：用卷尺分別測量

AD，DB，AB的長，若

AD2+AB2＝DB2，則∠A＝90°，即AD⊥AB。新知探究ABCD(2)李叔叔測得邊

AD

長30cm，邊

AB

長40cm，點

B，D

之間的距離是50cm。邊

AD

垂直于邊

AB

嗎？解：∵AD2+AB2＝302+402＝2500，DB2

＝502

＝2500，∴∠A＝90°，即AD⊥AB；∴邊

AD

垂直于邊

AB

。新知探究ABCD

(3)如果李叔叔隨身只帶了一把長度為20cm的刻度尺，那么他能檢驗邊

AD

是否垂直于邊

AB

嗎？解：能檢驗。在

AD上從

A

點量取12cm得點

E，在

AB

上從

A

點量取16cm得點

F。因為122+162=202，用刻度尺測

EF

長度，若

EF=20cm，根據(jù)勾股定理逆定理，AD⊥AB；若

EF≠20cm，則

AD不垂直

AB。EF嘗試·思考

如圖，正方形紙片

ABCD

的邊長為8cm，點

E

是邊

AD

的中點，將這個正方形紙片翻折，使點

C

落到點E

處，折痕交邊

AB

于點

G，交邊CD于點

F。你能求出

DF

的長嗎？ADBCGEFx48-x8-x解：∵點

E

是邊

AD

的中點，

設(shè)

DF=xcm，則

CF=EF=(8-x)cm，在Rt△DEF

中，DE2+DF2=EF2，則42+x2=(8-x)2，解得

x=3。∴DF的長為3cm。折疊問題新知探究例

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問：水深、葭長各幾何？(選自《九章算術(shù)》)題目大意：有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，那么它的頂端恰好到達岸邊的水面。這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？BOCA蘆葦問題新知探究BOCA解：設(shè)水池的水深

OA為

x尺，則蘆葦?shù)拈L度

OB為(x+1)尺。由于蘆葦位于水池中央，所以

AC為5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，得

AC2+OA2=OC2，即52

+x2

=(x+1)2。解得

x=12。則12

+

1=13。因此，水池的深度是12尺，蘆葦?shù)拈L度是13尺。蘆葦問題新知小結(jié)歸納解題步驟審題畫圖

標注已知和未知建模構(gòu)造Rt△選定理和方法列式求解檢驗作答實際問題數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)解決實際解釋應(yīng)用新知梯子問題1.如圖，一座城墻高

11.7m，墻外有一條護城河，在護城河外距離城墻根9m處架一架長為

15

m

的云梯，該云梯能否到達墻的頂端？為什么？解：如圖，因為

92+11.72=217.89

<

152，

所以長15m的云梯可以到達墻的頂端。方法二：如圖，因為152-92=122，12>11.7；

所以長15m的云梯可以到達墻的頂端。應(yīng)用新知旗桿問題2.八年2班數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)測量學(xué)校旗桿AB的高度時，發(fā)現(xiàn)升旗的繩子（無彈性）長度比旗桿多1米，當他們把繩子拉直，繩子末端C剛好接觸地面時，此時繩子末端C與旗桿的距離為5米，求旗桿AB的高度。1m5mAC=AB+1m解：設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為(x+1)米(x>1)。在Rt△ABC中，∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理得AB2+BC2=AC2；∴x2+52=(x+1)2，解得：x=12，答：旗桿的高度為12米。應(yīng)用新知階梯問題3.如圖，某會展中心在會展期間準備將高5m，長13m，寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米10元，則鋪完這個樓道至少需要

元。ACB解：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即AC2+52=132，解得AC=12m，則地毯總長為12+5=17m，則地毯總面積為17×2=34m2，所以鋪完這個樓道至少需要34×10=340元。340應(yīng)用新知大樹折斷問題4.如圖，由于大風，山坡上的樹甲從點A處被攔腰折斷（AB⊥地面），其樹頂端恰好落在樹乙（乙⊥地面）的根部C處。若AB=4米，BC=13米，兩棵樹的水平距離為12米，則樹甲折斷前的高度為

米。12米13米D解：過點C作CD⊥AB交AB延長線于點D，則∠D=90°，由題意可得：BC=13m，DC=12m，故BD2=132-122=25=52，∴AD=4+5=9m，則AC2=AD2+CD2=92+122=225=152，∴AC+AB=15+4=19m。19應(yīng)用新知半圓截面問題5.如圖，某隧道的橫截面由半圓和長方形構(gòu)成，其中長方形的長為4m，寬為2.6m。一輛卡車裝滿貨物后，高為3.6m，寬為2.4m，它能通過該隧道嗎？2.64ABCDO解：如圖，設(shè)O

為半圓的圓心，DB

⊥AB，易知OD=2m。當OC=AB=1.3m時，由勾股定理，得CD2=OD2－OC2=22－1.32=2.31。因為2.31>12，所以CD>1m，所以CD+BC>3.6m，所以它能通過該隧道。應(yīng)用新知航海問題6.如圖，某港口位于東西方向的海岸線上．“惠州”號、“中山”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”號每小時航行10海里，“中山”號每小時航行7.5海里．它們離開港口2h后相距25海里。如果知道“惠州”號沿東北方向航行，能知道“中山”號沿哪個方向航行嗎？解：由題意，得OA=7.5×2=15(海里)，

OB=10×2=20(海里)，AB=25海里，∵152+202=252，即OA2+OB2=AB2，∴∠AOB=90°，∵“惠州”號沿東北方向航行，即沿北偏東45°方向航行，∵∠BOC=45°，∴∠AOC=∠AOB

-∠BOC=45°?！唷爸猩健碧栄乇逼?5°（或西北）方向航行。應(yīng)用新知兩地之間選址問題7.如圖，某地方政府決定在相距50km的A，B兩站之間的公路旁E點，修建一個土特產(chǎn)加工基地，且使C、D兩村到點E的距離相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E應(yīng)建在離A站多少km的地方？解：由題意，得AB=50km，∠DAE=∠EBC=90°，

CE=DE，設(shè)AE=xkm，則：BE=(50-x)km，

在Rt△EAD中，DE2=AD2+AE2，

在Rt△EBC中，CE2=BC2+BE2，∵CE=DE，DA=30km，CB=20km，∴AD2+AE2=BC2