第04講數(shù)列求和(精練）A夯實基礎一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習（文））設，A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B由于，故原式.2．（2022·海南華僑中學高二期中）數(shù)列的前2022項和等于（

）A． B．2022 C． D．2019【答案】B解：設數(shù)列的前項和為，當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時，所以.故選：B3．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））已知數(shù)列滿足，且，，則（

）A．2021 B． C． D．【答案】B∵，即，則∴數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列則，即∴則故選：B．4．（2022·江蘇常州·高二期中）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最小值是A．25 B．26 C．27 D．28【答案】B因為數(shù)列中，，所以，，，，上式相加，可得，所以，所以，當且僅當，即時，等式相等，故選B．5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為（

）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D因為函數(shù)滿足，①，②，由①②可得，，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項和為.故選：D.6．（2022·全國·高三專題練習）數(shù)列的前10項和為(

)A． B． C． D．【答案】C∴其前10項和為：．故選：C．7．（2022·全國·高三專題練習（文））已知數(shù)列的前n項和為，則此數(shù)列奇數(shù)項的前m項和為（

）A． B． C． D．【答案】B當時，，因為當n=1時，不滿足，所以數(shù)列從第二項開始成等比數(shù)列，又，則數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列的前m項和.故選:B.8．（2022·陜西·無高一階段練習）已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B因為，所以，即，所以，由，可得，，，，則數(shù)列是遞增數(shù)列，，則，則.故選：B.二、多選題9．（2022·黑龍江·勃利縣高級中學高二期中）公差為d的等差數(shù)列滿足，，則下面結(jié)論正確的有（

）A．d＝2 B．C． D．的前n項和為【答案】ABD由題意得，，即，解得，所以，故A、B正確；得，故，故C錯誤；所以數(shù)列的前n項和為，故D正確.故選：ABD.10．（2022·廣東·執(zhí)信中學高二期中）已知數(shù)列滿足，對任意且恒有成立，記的前項和為，則（

）A．為等比數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為遞減數(shù)列 D．【答案】BCD因為，故可得，則，故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，；對：因為不是常數(shù)，故數(shù)列不是等差數(shù)列，故錯誤；對：由上述推導可知，數(shù)列是等差數(shù)列，故正確；對：因為，對任意的，都有，即，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故正確；對：，故，則，，故可得，故正確.故選：.三、填空題11．（2022·黑龍江實驗中學高二階段練習）數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意的，總有，，成等差數(shù)列，又記，數(shù)列的前項和______．【答案】由對于任意的，總有，，成等差數(shù)列可得：，當時可得，所以，所以，所以，由數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，又時，所以，所以，，.故答案為：.12．（2022·浙江·模擬預測）在數(shù)列中，為的前n項和，則的值為___________.【答案】2解：因為，所以.故答案為：2.四、解答題13．（2022·安徽·北大培文蚌埠實驗學校高三開學考試（文））已知數(shù)列的前n項和為，，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)(1)由得：即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，由得，設公差為d，，得，所以，故數(shù)列的通項公式為．(2)，所以．14．（2022·四川·威遠中學校高一階段練習（文））已知數(shù)列滿足，，令(1)求證：是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：，，①②①-②得，經(jīng)檢驗，當時上式也成立，即.所以即，且.所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.(2)由（1）得，.所以，兩式相減，得，B能力提升1．（2022·河南·開封市東信學校模擬預測（理））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2022項的和為___________.【答案】由題意可知，滿足，當時，，，以上各式累加得，.，當時，也滿足上式，∴，則.∴數(shù)列的前n項和為，∴.故答案為：.2．（2022·黑龍江·哈九中三模（文））設函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項和______．【答案】由題設，，所以，即且n≥2，當時，，當時，，所以，故答案為：.3．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））設數(shù)列的前n項和為，已知，則_________.【答案】960由，當n為奇數(shù)時，有；當n為偶數(shù)時，，∴數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，則，故答案為：960.4．（2022·全國·高二課時練習）數(shù)列滿足，則該數(shù)列從第5項到第15項的和為______．【答案】1504設數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，，故，，數(shù)列從第5項到第15項的和：，故答案為：1504．5．（2022·遼寧·渤海大學附屬高級中學模擬預測）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)(1)設數(shù)列公比為，由，，可得，化簡得，即，所以．(2)由（1）得，所以所以..6．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學高二階段練習）已知數(shù)列{an}的前n項和為，，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2＝0上．(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和Tn；(3)若，求對所有的正整數(shù)n都有成立的k的取值范圍．【答案】(1)，bn＝2n﹣1(2)(3)(1)因為①，當n＝1時，解得．當n≥2時，②，①﹣②得，整理得，即，所以數(shù)列{an}是以為首項，2為公比的等比數(shù)列；所以．數(shù)列{bn}滿足b1＝1，點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2＝0上．所以bn+1﹣bn＝2（常數(shù)），所以數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以bn＝2n﹣1．(2)由（1）得則①，②，①﹣②得，整理得．(3)由（1）得，所以，所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，即的最大值為1，因為對所有的正整數(shù)n都有都成立，所以，可得，所以恒成立，只需滿足即可，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，故k＜2，則k的取值范圍為．C綜合素養(yǎng)1．（2022·遼寧·模擬預測）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，若不等式恒成立，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C解：第1代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為，第2代“勾股樹”中，正方形的個數(shù)為，…，以此類推，第n代“勾股樹”中所有正方形的個數(shù)為，即，所以，因為，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，又，，所以n的最小值為9．故選：C．2．(多選）（2022·安徽·六安一中高二期中）在1261年，我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記為，的前n項和記為，則下列說法正確的有（

） B．的前n項和為 C． D．【答案】ABD從第一行開始，每一行的數(shù)依次對應的二項式系數(shù)，所以，為等比數(shù)列，，所以，故A正確；，所以的前n項和為，故B正確；依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的項數(shù)分別為0，1，2，3……構(gòu)成一個等差數(shù)列，項數(shù)之和為，的最大整數(shù)為10，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，在中去掉，取的就是第12行的第2項，，故C錯誤；，這11行中共去掉了22個1，所以，故D正確.故選：ABD.3．（2022·四川遂寧·三模（文））德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是______.【答案】因為，所以，由，，所以，所以，所以由，得，，，所以，令，（）則當，遞減，當時，遞增，因為，所以，所以，即的取值范圍是，故答案為：4．（2022·遼寧·高二階段練習）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自我國古代典籍《莊子·天下》，其中蘊含著等比數(shù)列的相關(guān)