2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與產(chǎn)品設(shè)計分析試卷一、函數(shù)模型在產(chǎn)品尺寸優(yōu)化中的應(yīng)用（一）問題背景某智能家居企業(yè)設(shè)計一款可折疊餐桌，要求桌面展開后為圓形，折疊后為正方形，且折疊過程中桌面面積損失率不超過15%。已知正方形邊長為x（單位：cm），圓形半徑為r（單位：cm），材料成本與面積成正比，比例系數(shù)為k=0.8元/cm2。（二）數(shù)學(xué)建模幾何關(guān)系分析折疊后正方形對角線長度等于圓形直徑，即(x\sqrt{2}=2r)，推導(dǎo)得(r=\frac{x\sqrt{2}}{2})。圓形面積(S_{\text{圓}}=\pir^2=\frac{\pix^2}{2})，正方形面積(S_{\text{正}}=x^2)。面積損失率(\eta=\frac{S_{\text{圓}}-S_{\text{正}}}{S_{\text{圓}}}\times100%)，代入得(\eta=\left(1-\frac{2}{\pi}\right)\times100%\approx36.3%)，超過15%，需優(yōu)化設(shè)計。約束條件修正若調(diào)整折疊結(jié)構(gòu)，使圓形半徑變?yōu)?r=\frac{x\sqrt{2}}{2}\timest)（t為縮放系數(shù)，t∈(0,1]），則(\eta=1-\frac{2}{\pit^2}\leq15%)，解得(t\geq\sqrt{\frac{2}{0.85\pi}}\approx0.86)。成本函數(shù)構(gòu)建實際材料成本(C(x)=k\timesS_{\text{圓}}\times(1+0.2t))（0.2t為折疊機構(gòu)附加成本），代入得(C(x)=0.8\times\frac{\pix^2}{2}t^2\times(1+0.2t))，化簡為(C(x)=0.4\pit^2(1+0.2t)x^2)。（三）優(yōu)化求解對t求導(dǎo)得(C'(t)=0.4\pix^2[2t(1+0.2t)+t^2\times0.2])，令C'(t)=0，解得t≈0.92時成本最小，此時x=80cm時總成本C=0.4π×0.922×1.184×802≈3280元。二、概率統(tǒng)計在用戶需求分析中的應(yīng)用（一）市場調(diào)研數(shù)據(jù)某團隊收集1000名用戶對智能手環(huán)的功能偏好，數(shù)據(jù)如下表：功能需求健康監(jiān)測運動記錄睡眠分析消息提醒防水性能偏好人數(shù)720680540420360付費意愿（元）50-15030-12020-10010-5015-80（二）數(shù)據(jù)分析相關(guān)性分析健康監(jiān)測與睡眠分析的Pearson相關(guān)系數(shù)r=0.78（p<0.01），表明兩者存在強相關(guān)性。使用列聯(lián)表檢驗運動記錄與防水性能的獨立性，χ2=23.56（df=4，p<0.001），拒絕獨立性假設(shè)，即運動愛好者更關(guān)注防水性能。聚類分析采用K-means算法將用戶分為3類：健康管理型（42%）：健康監(jiān)測（權(quán)重0.6）、睡眠分析（0.3）、消息提醒（0.1）運動專業(yè)型（35%）：運動記錄（0.5）、防水性能（0.3）、健康監(jiān)測（0.2）基礎(chǔ)功能型（23%）：消息提醒（0.5）、運動記錄（0.3）、防水性能（0.2）定價模型基于支付意愿分布，采用分層定價策略：高端款（含全部功能）：取各功能付費意愿上限均值，即（150+120+100+50+80）/5=100元基礎(chǔ)款（運動+消息）：（120+50）/2=85元，通過成本加成法定價199元三、立體幾何在結(jié)構(gòu)強度設(shè)計中的應(yīng)用（一）問題描述設(shè)計一款無人機螺旋槳，槳葉為正三棱柱與半橢球體組合結(jié)構(gòu)，底面正三角形邊長a=12cm，柱高h=8cm，橢球長軸2b=10cm，短軸2c=6cm。材料彈性模量E=70GPa，泊松比μ=0.3，需驗證最大應(yīng)力是否低于屈服強度σ=200MPa。（二）力學(xué)建模慣性矩計算正三棱柱截面慣性矩(I_z=\frac{\sqrt{3}a^4}{96}=\frac{\sqrt{3}\times12^4}{96}\approx374.12,\text{cm}^4)半橢球體體積(V=\frac{2}{3}\pib^2c=\frac{2}{3}\pi\times5^2\times3=50\pi,\text{cm}^3)彎曲應(yīng)力分析螺旋槳旋轉(zhuǎn)時離心力(F=m\omega^2R)，其中質(zhì)量m=ρV（ρ=2.7g/cm3），角速度ω=3000rad/min=50rad/s，槳葉重心距軸R=h+b=13cm。計算得(m=2.7\times50\pi\approx424.12,\text{g}=0.424,\text{kg})(F=0.424\times50^2\times0.13\approx137.8,\text{N})最大彎曲應(yīng)力(\sigma_{\text{max}}=\frac{My_{\text{max}}}{I_z})，彎矩M=F×R=137.8×0.13≈17.9N·m，(y_{\text{max}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}=6.93,\text{cm})，代入得(\sigma_{\text{max}}=\frac{17.9\times0.0693}{374.12\times10^{-8}}\approx33.4,\text{MPa}<200,\text{MPa})，滿足強度要求。四、優(yōu)化算法在參數(shù)配置中的應(yīng)用（一）問題定義某3D打印機噴頭設(shè)計中，需優(yōu)化溫度（T）、打印速度（v）、層高（h）三個參數(shù)，目標是使模型表面粗糙度Ra最小。實驗數(shù)據(jù)如下（Ra單位：μm）：實驗序號T(℃)v(mm/s)h(mm)Ra1200500.13.22220600.24.53210550.153.8（二）響應(yīng)面法建模假設(shè)Ra與參數(shù)的二次關(guān)系為：(Ra=\beta_0+\beta_1T+\beta_2v+\beta_3h+\beta_4T^2+\beta_5v^2+\beta_6h^2)代入數(shù)據(jù)解得：(Ra\approx12.5-0.11T-0.08v-15h+0.0002T^2+0.0005v^2+50h^2)求偏導(dǎo)得最優(yōu)參數(shù)：T=205℃，v=52mm/s，h=0.12mm，預(yù)測Ra=3.1μm。五、綜合應(yīng)用題某新能源汽車企業(yè)設(shè)計電池包，要求能量密度≥180Wh/kg，成本≤1.2元/Wh，循環(huán)壽命≥1500次。已知電池單體參數(shù)：電壓3.7V，容量5Ah，質(zhì)量400g，成本20元/節(jié)。（一）串聯(lián)與并聯(lián)設(shè)計電池包總電壓U=350V，需串聯(lián)數(shù)n=350/3.7≈95節(jié)，總?cè)萘緾=5Ah×m（m為并聯(lián)數(shù)），總能量E=U×C=350×5m×10?3=1.75mkWh，總質(zhì)量M=400×95mg=38mkg，能量密度(\rho=\frac{1.75m\times1000}{38m}\approx46.1,\text{Wh/kg})，不達標。（二）材料迭代方案若采用新型電極材料，單體能量提升至6Ah，質(zhì)量降至350g，成本增至25元/節(jié)，則：(\rho=\frac{350\times6m\times10^{-3}\times1000}{350\times95m\times10^{-3}}\approx63.2,\text{Wh/kg})，仍不滿足。需結(jié)合結(jié)構(gòu)優(yōu)化，如采用CTP（CelltoPack）技術(shù)減少殼體質(zhì)量30%，最終能量密度可達185Wh/kg，成本1.18元/Wh，滿足設(shè)計要求。六、開放性問題結(jié)合拓撲優(yōu)化算法，設(shè)計一款輕量化臺燈支架，要求在承受5N豎直載荷時最大變形量≤2mm，材料為6061鋁合金（密度2.7g/cm3，彈性模量69GPa）。請：建立有限元模型，劃分網(wǎng)格數(shù)量≥10000個；以體積分數(shù)0.3為約束，最小化柔度為目標函數(shù)；對比優(yōu)化前后支架質(zhì)量