第11頁（共11頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期中必刷常考題之一元二次方程一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?涼山州期末）一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化為一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)分別為（）A．1，4 B．﹣1，4x C．1，4x D．x2，﹣4x2．（2024秋?彝良縣期末）若m是方程x2＝x﹣2＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2﹣m的值為（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或23．（2024秋?平遙縣期末）已知x＝2是方程x2+m＝0的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．44．（2025?金沙縣校級(jí)一模）一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的常數(shù)項(xiàng)是（）A．2 B．﹣5 C．﹣1 D．15．（2024秋?梁園區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+5x﹣2m＝0的一個(gè)根是x＝1，則m的值為（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．36．（2024秋?龍南市期末）將方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，17．（2024秋?三臺(tái)縣期末）已知實(shí)數(shù)a是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根，則a2﹣3a+3的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．48．（2024秋?赫章縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a﹣1＝0的一個(gè)根是0，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．-12 D二．填空題（共5小題）9．（2024秋?達(dá)州期末）已知m是方程x2﹣5x﹣2＝0的一個(gè)根，則2m2﹣10m﹣2的值為．10．（2024秋?沁源縣期末）已知m是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的一個(gè)根，則24+m2﹣4m的值為．11．（2025?新華區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知x＝1是關(guān)于x的方程x2+2ax+a2＝3的一個(gè)根，則代數(shù)式a（a﹣1）+a2+5a的值為．12．（2025?深圳模擬）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一個(gè)根，則常數(shù)a的值是．13．（2024秋?涼州區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值是．三．解答題（共2小題）14．（2025春?宿遷校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．15．（2025春?霍邱縣月考）已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式a2

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期中必刷?？碱}之一元二次方程參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BBACDDDA一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?涼山州期末）一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化為一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)分別為（）A．1，4 B．﹣1，4x C．1，4x D．x2，﹣4x【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式即可解答．【解答】解：一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化為一般形式為﹣x2+4x+7＝0，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)分別為﹣1，4x．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c是常數(shù)且a≠0），ax2叫二次項(xiàng)、bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a、b、c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，據(jù)此解答即可．2．（2024秋?彝良縣期末）若m是方程x2＝x﹣2＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2﹣m的值為（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或2【考點(diǎn)】一元二次方程的解；代數(shù)式求值．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)方程的解的定義，m是方程的解，則m的值一定適合方程，將m代入方程中，然后利用整體思想即可求出代數(shù)式的值．【解答】解：由條件可得：m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解．熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．3．（2024秋?平遙縣期末）已知x＝2是方程x2+m＝0的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為a，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+2＝0，求解即可．【解答】解：設(shè)設(shè)方程的另一個(gè)根為a，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+2＝0，∴a＝﹣2；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．4．（2025?金沙縣校級(jí)一模）一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的常數(shù)項(xiàng)是（）A．2 B．﹣5 C．﹣1 D．1【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用．【答案】C【分析】按照定義即可找到常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：已知一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，則其常數(shù)項(xiàng)為﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的一般式，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?梁園區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+5x﹣2m＝0的一個(gè)根是x＝1，則m的值為（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．3【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義，把x＝1代入方程，即可解得m的值．【解答】解：由題意可知：12+5×1﹣2m＝0，∴m＝3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解滿足方程是解題的關(guān)鍵．6．（2024秋?龍南市期末）將方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；數(shù)感．【答案】D【分析】任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：將方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，可得3x2﹣5x+1＝0，則a，b，c的值分別為3，﹣5，1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．7．（2024秋?三臺(tái)縣期末）已知實(shí)數(shù)a是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根，則a2﹣3a+3的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到a2﹣3a＝1，代入a2﹣3a+3計(jì)算即可．【解答】解：由條件可知a2﹣3a﹣1＝0，∴a2﹣3a＝1，∴a2﹣3a+3＝1+3＝4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了應(yīng)用二次方程的解，代數(shù)式求值，熟練掌握方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?赫章縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a﹣1＝0的一個(gè)根是0，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．-12 D【考點(diǎn)】一元二次方程的解；解一元一次方程．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】將x＝0代入一元二次方程x2+x+a﹣1＝0得到a﹣1＝0，再解關(guān)于a的方程即可得到答案．【解答】解：將x＝0代入一元二次方程x2+x+a﹣1＝0，得a﹣1＝0，解得：a＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，解一元一次方程．熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）9．（2024秋?達(dá)州期末）已知m是方程x2﹣5x﹣2＝0的一個(gè)根，則2m2﹣10m﹣2的值為2．【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】2．【分析】根據(jù)題意，得到m2﹣5m﹣2＝0，進(jìn)而得到m2﹣5m＝2，利用整體代入法求出代數(shù)式的值即可．【解答】解：由條件可知m2﹣5m﹣2＝0，∴m2﹣5m＝2，∴2m2﹣10m﹣2＝2（m2﹣5m）﹣2＝2×2﹣2＝2；故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，求代數(shù)式的值，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．10．（2024秋?沁源縣期末）已知m是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的一個(gè)根，則24+m2﹣4m的值為20．【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】20．【分析】根據(jù)題意易得：m2﹣4m+4＝0，從而可得m2﹣4m＝﹣4，然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的一個(gè)根，∴m2﹣4m+4＝0，∴m2﹣4m＝﹣4，∴24+m2﹣4m＝24+（﹣4）＝20，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．11．（2025?新華區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知x＝1是關(guān)于x的方程x2+2ax+a2＝3的一個(gè)根，則代數(shù)式a（a﹣1）+a2+5a的值為4．【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】4．【分析】將x＝1代入方程可整理得到a2+2a的值，再整理代數(shù)式，為2a2+4a，由此可求．【解答】解：將x＝1代入方程可得：12+2a×1+a2＝3，即1+2a+a2＝3，整理可得a2+2a＝2，∴a（a﹣1）+a2+5a＝a2﹣a+a2+5a＝2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×2＝4，∴代數(shù)式a（a﹣1）+a2+5a的值為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的根的應(yīng)用以及代數(shù)式的化簡求值，求解出a2+2a的值是解決本題的關(guān)鍵．12．（2025?深圳模擬）已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一個(gè)根，則常數(shù)a的值是1．【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝1代入關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax＝0，列出關(guān)于a的方程，通過解該方程求得a值即可．【解答】解：由條件可得12﹣a＝0，解得，a＝1；故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解．熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．13．（2024秋?涼州區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，則m的值是﹣1．【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定義．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和常數(shù)為0，得m﹣1≠0且m2﹣1＝0，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的常數(shù)項(xiàng)為0，∴m-解得：m＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）14．（2025春?宿遷校級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．【考點(diǎn)】一元二次方程的定義；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】一元二次方程及應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】（1）等腰三角形；（2）x1＝0，x2＝1．【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根據(jù)等腰三角形的判定判斷即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形狀是等腰三角形；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即這個(gè)一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能理解一元二方程的解的定義是解（1）的關(guān)鍵，能根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出a＝b＝c是解（2）的關(guān)鍵．15．（2025春?霍邱縣月考）已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的一個(gè)根，求代數(shù)式a2【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【專題】方程與不等式；運(yùn)算能力．【答案】﹣1．【分析】由方程的解可得a2﹣2025a+1＝0，可得a2+1＝2025a，a2﹣2024a＝a﹣1，再代入a2【解答】解：由題意可得：a2﹣2025a+1＝0．∴a2+1＝2025a，∴a2﹣2024a＝a﹣1，∴a2【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的解的含義，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．2．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對(duì)方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．（2）解一元一次方程時(shí)先觀察方程的形式和特點(diǎn)，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號(hào)，且括號(hào)外的項(xiàng)在乘括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號(hào)．（3）在解類似于“ax+bx＝c”的方程時(shí)，將方程左邊，按合并同類項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時(shí)，要準(zhǔn)確計(jì)算，一弄清求x時(shí)，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時(shí)；二要準(zhǔn)確判斷符號(hào)，a、b同號(hào)x為正，a、b異號(hào)x為負(fù)．3．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整