2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫——模型構(gòu)建與決策實(shí)施真題模擬題庫考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述抽樣調(diào)查中抽樣誤差和非抽樣誤差的區(qū)別，并各舉一例說明。二、解釋什么是樣本統(tǒng)計量的抽樣分布？它在參數(shù)估計和假設(shè)檢驗(yàn)中分別扮演什么角色？三、已知某城市隨機(jī)抽取100名成年居民，其年平均收入（單位：萬元）的樣本均值為3.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1.2。請計算該城市成年居民年平均收入的樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。如果要求以95%的置信水平估計該城市成年居民年平均收入的總體均值，且允許誤差范圍不超過0.2萬元，問至少需要抽取多少名居民進(jìn)行調(diào)查？四、在一份關(guān)于消費(fèi)者購買意愿的調(diào)查中，提出了以下假設(shè)：H0：消費(fèi)者的購買意愿（用某量表得分表示）的總體均值等于50。H1：消費(fèi)者的購買意愿的總體均值不等于50。隨機(jī)抽取200名消費(fèi)者，其購買意愿得分的樣本均值為51.2，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10。假設(shè)購買意愿得分服從正態(tài)分布。請計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量的值，并說明在顯著性水平α=0.05下，你是否拒絕原假設(shè)？請解釋你的結(jié)論。五、某公司生產(chǎn)兩種型號的電池，為了比較兩種電池的壽命，隨機(jī)抽取了A型電池30只，B型電池40只進(jìn)行測試。得到A型電池的平均壽命為45小時，標(biāo)準(zhǔn)差為5小時；B型電池的平均壽命為48小時，標(biāo)準(zhǔn)差為6小時。請計算兩種電池平均壽命之差的95%置信區(qū)間。假設(shè)兩種電池壽命的總體方差相等。六、解釋相關(guān)系數(shù)（r）的定義及其取值范圍。描述相關(guān)系數(shù)r=0.8和r=-0.6分別代表什么含義？指出相關(guān)系數(shù)r不能直接說明變量間是否存在因果關(guān)系，并簡述原因。七、某零售商想要了解電視廣告的投放次數(shù)（X，單位：次/周）與產(chǎn)品銷量（Y，單位：件/周）之間的關(guān)系。隨機(jī)收集了15周的數(shù)據(jù)，并計算出以下統(tǒng)計量：樣本相關(guān)系數(shù)r=0.75，樣本均值X=5，Y=200，樣本標(biāo)準(zhǔn)差Sx=1.2，Sy=50。請建立Y對X的簡單線性回歸方程。請解釋回歸系數(shù)的含義，并預(yù)測當(dāng)電視廣告投放次數(shù)為6次/周時，產(chǎn)品的平均銷量是多少？八、解釋什么是模型的擬合優(yōu)度？常用的衡量指標(biāo)有哪些？在多元線性回歸中，調(diào)整后的R方（AdjustedR-squared）相比R方有什么優(yōu)勢？請說明理由。九、某公司經(jīng)理想要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)預(yù)測下季度的銷售額。他收集了過去5個季度的銷售額（Y，單位：萬元）和廣告投入（X1，單位：萬元）以及員工人數(shù)（X2，單位：人）的數(shù)據(jù)。通過統(tǒng)計分析，得到以下多元線性回歸方程（部分結(jié)果）：?=100+20X1+5X2R方=0.85，調(diào)整后的R方=0.82，F(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計量=40（p<0.05）。請解釋該回歸方程的整體擬合效果。假設(shè)下季度計劃投入廣告費(fèi)30萬元，增加員工人數(shù)至150人，請預(yù)測下季度的銷售額。請說明在使用該模型進(jìn)行預(yù)測時應(yīng)注意哪些潛在問題。十、某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，要求次品率不超過3%。質(zhì)檢員隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中有8件次品。請分別在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)該批產(chǎn)品的次品率是否顯著高于3%。請說明你的檢驗(yàn)思路和結(jié)論。十一、在實(shí)際決策中，如何根據(jù)統(tǒng)計模型的結(jié)果進(jìn)行風(fēng)險權(quán)衡？請舉例說明在哪些情況下，決策者可能更傾向于選擇保守的統(tǒng)計結(jié)論。十二、描述一個完整的統(tǒng)計建模流程，包括問題定義、數(shù)據(jù)收集、模型選擇、模型構(gòu)建、模型評估和模型應(yīng)用等主要步驟。試卷答案一、抽樣誤差是指由于隨機(jī)抽樣引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異，它是一種隨機(jī)誤差，可以通過增大樣本量或采用更有效的抽樣方法來減小。非抽樣誤差是指除抽樣誤差之外的其他所有誤差，包括抽樣框誤差、無回答誤差、測量誤差等，它可能是由非隨機(jī)因素引起的，難以完全消除。例如，抽樣誤差的例子是某城市成年居民樣本的年平均收入與總體實(shí)際年平均收入之間的差異；非抽樣誤差的例子是調(diào)查問卷設(shè)計不合理導(dǎo)致受訪者理解錯誤而引起的回答偏差。二、樣本統(tǒng)計量的抽樣分布是指樣本統(tǒng)計量（如樣本均值、樣本比例）自身所服從的分布規(guī)律。它在參數(shù)估計中扮演著角色，因?yàn)槲覀兛梢酝ㄟ^了解抽樣分布的性質(zhì)（如均值、標(biāo)準(zhǔn)誤）來構(gòu)建置信區(qū)間，估計總體參數(shù)的置信區(qū)間。在假設(shè)檢驗(yàn)中，抽樣分布是計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量并確定其分布（如t分布、正態(tài)分布）的基礎(chǔ)，通過比較檢驗(yàn)統(tǒng)計量與臨界值或p值，我們可以判斷是否拒絕原假設(shè)。三、樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差SE=s/sqrt(n)=1.2/sqrt(100)=0.12萬元。所需樣本量n=(Z_(α/2)*SE)/E=(1.96*0.12)/0.2=0.2352/0.2=1.176。由于樣本量必須為整數(shù)，且結(jié)果偏小，應(yīng)向上取整，n=2。但此計算結(jié)果明顯偏小，可能存在計算或理解偏差。重新計算：n=(Z_(α/2)*σ)/E=(1.96*1.2)/0.2=2.352/0.2=11.76。向上取整，n=12。因此，至少需要抽取12名居民。四、檢驗(yàn)統(tǒng)計量t=(樣本均值-假設(shè)均值)/(標(biāo)準(zhǔn)誤)=(51.2-50)/(10/sqrt(200))=1.2/(10/14.14)=1.2/0.707=1.697。自由度df=n-1=200-1=199。查t分布表或使用計算工具，t_(0.025,199)≈1.972。由于|t|=1.697<1.972，或者p值>0.05。因此，在α=0.05顯著性水平下，不拒絕原假設(shè)。結(jié)論：沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)表明消費(fèi)者的購買意愿總體均值與50存在顯著差異。五、由于假設(shè)總體方差相等，使用pooledvarianceestimator:Sp^2=[(n1-1)S1^2+(n2-1)S2^2]/(n1+n2-2)=[(30-1)5^2+(40-1)6^2]/(30+40-2)=[29*25+39*36]/68=[725+1404]/68=2129/68≈31.2647。Sp=sqrt(31.2647)≈5.5907。標(biāo)準(zhǔn)誤SE_(bar(Y1)-bar(Y2))=Sp*sqrt(1/n1+1/n2)=5.5907*sqrt(1/30+1/40)=5.5907*sqrt(0.03333+0.025)=5.5907*sqrt(0.05833)≈5.5907*0.2415≈1.353。置信區(qū)間:(bar(Y1)-bar(Y2))±t_(α/2,df)*SE_(bar(Y1)-bar(Y2))=(45-48)±t_(0.025,68)*1.353=-3±2.000*1.353=-3±2.706。區(qū)間為[-5.706,-0.294]。因此，95%置信區(qū)間為(-5.706,-0.294)。六、相關(guān)系數(shù)r是衡量兩個變量線性關(guān)系強(qiáng)度和方向的統(tǒng)計量，其取值范圍在-1到1之間。r=0.8表示兩個變量之間存在較強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系，即一個變量增加，另一個變量也傾向于以接近0.8的比率增加。r=-0.6表示兩個變量之間存在較強(qiáng)的負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，即一個變量增加，另一個變量傾向于以接近0.6的比率減少。相關(guān)系數(shù)r不能直接說明變量間是否存在因果關(guān)系，因?yàn)橄嚓P(guān)關(guān)系可能是由其他未觀測變量（混淆變量）引起的，或者相關(guān)關(guān)系可能是虛假的，或者存在反向因果關(guān)系。例如，冰淇淋銷量和溺水人數(shù)都相關(guān)，但并非冰淇淋導(dǎo)致溺水。七、簡單線性回歸方程為Y=b0+b1X。b1=r*(Sy/Sx)=0.75*(50/1.2)=0.75*41.6667≈31.25。b0=Y-b1X=200-31.25*5=200-156.25=43.75?；貧w方程為Y=43.75+31.25X?；貧w系數(shù)b1=31.25的含義是，當(dāng)電視廣告投放次數(shù)X每增加一個單位（次/周），預(yù)計產(chǎn)品的銷量Y將平均增加31.25件/周。預(yù)測銷量:?=43.75+31.25*6=43.75+187.5=231.25。因此，當(dāng)電視廣告投放次數(shù)為6次/周時，預(yù)測產(chǎn)品的平均銷量是231.25件。八、模型的擬合優(yōu)度是指模型對觀測數(shù)據(jù)的解釋程度或適應(yīng)程度。常用的衡量指標(biāo)有：1.R方（R-squared）：表示模型解釋的因變量總變異的比例，取值在0到1之間，越接近1表示擬合越好。2.調(diào)整后的R方（AdjustedR-squared）：在R方的基礎(chǔ)上考慮了模型中自變量的數(shù)量，對增加不顯著的自變量會使其下降。它更適用于比較包含不同數(shù)量自變量的模型。調(diào)整后的R方相比R方的優(yōu)勢在于，它避免了為了提高R方而盲目增加不必要的自變量，能夠更客觀地評價模型的解釋能力和穩(wěn)定性。九、回歸方程的整體擬合效果由R方和調(diào)整后的R方衡量。R方=0.85表示模型解釋了因變量（銷售額）總變異的85%，擬合程度較高。調(diào)整后的R方=0.82略低于R方，這可能是由于增加了自變量（員工人數(shù)）但它們對銷售額的解釋能力有限，或者模型中存在其他問題。F檢驗(yàn)統(tǒng)計量=40（p<0.05）表明模型整體上是統(tǒng)計顯著的，即至少有一個自變量對銷售額有顯著的線性影響。預(yù)測銷售額:?=100+20*30+5*150=100+600+750=1450萬元。使用該模型進(jìn)行預(yù)測時應(yīng)注意：1.模型的線性假設(shè)是否成立。2.模型的適用范圍是否僅限于歷史數(shù)據(jù)所覆蓋的時間段和條件。3.模型的外推預(yù)測能力有限，特別是當(dāng)自變量取值遠(yuǎn)超歷史數(shù)據(jù)范圍時。4.模型可能存在多重共線性等問題。十、檢驗(yàn)次品率p是否顯著高于3%（0.03）。設(shè)次品率為p，H0:p<=0.03,H1:p>0.03。使用樣本比例z檢驗(yàn):p?=8/200=0.04。標(biāo)準(zhǔn)誤SE_(p?)=sqrt[p?(1-p?)/n]=sqrt[0.03(1-0.03)/200]=sqrt[0.0291/200]=sqrt[0.0001455]≈0.01206。檢驗(yàn)統(tǒng)計量z=(p?-p?)/SE_(p?)=(0.04-0.03)/0.01206=0.01/0.01206≈0.829。對于單尾檢驗(yàn)（右尾），p值=P(Z>0.829)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，P(Z<0.829)≈0.7939。因此，p值=1-0.7939=0.2061。比較p值與α=0.05，p值(0.2061)>α(0.05)。結(jié)論：不拒絕原假設(shè)。沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)表明該批產(chǎn)品的次品率顯著高于3%。十一、在實(shí)際決策中，根據(jù)統(tǒng)計模型的結(jié)果進(jìn)行風(fēng)險權(quán)衡通常涉及以下方面：1.顯著性水平（α）的選擇：較高的α意味著更愿意接受錯誤拒絕原假設(shè)（I類錯誤）的風(fēng)險，傾向于采取行動；較低的α意味著更愿意接受錯誤接受原假設(shè)（II類錯誤）的風(fēng)險，傾向于保守。2.檢驗(yàn)統(tǒng)計量的臨界值：提高臨界值會降低I類錯誤風(fēng)險，但也可能增加II類錯誤風(fēng)險。3.置信水平（1-α）的選擇：較高的置信水平意味著對估計區(qū)間包含真實(shí)參數(shù)的信心更強(qiáng)，決策更保守。4.模型的不確定性：統(tǒng)計模型總是包含不確定性，決策者需要評估模型預(yù)測的精度和可靠性。舉例：在一個藥品審批中，如果假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)是“新藥效果無異于安慰劑”（H0），拒絕H0意味著批準(zhǔn)新藥。拒絕H0犯I類錯誤（實(shí)際上效果等同于安慰劑）可能導(dǎo)致患者受傷害；不拒絕H0犯II類錯誤（實(shí)際上藥物有效）則意味著錯過了好藥。通常情況下，為了保護(hù)患者安全，會采用較嚴(yán)格的顯著性水平（如α=0.01），更傾向于不批準(zhǔn)，即更傾向于保守的統(tǒng)計結(jié)論。十二、一個完整的統(tǒng)計建模流程通常包括：1.問題定義：清晰地闡述需要解決的問題