2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)與決策應(yīng)用題解析試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一某快餐連鎖店為了解其新推出的健康菜單的受歡迎程度，在三個(gè)不同區(qū)域（A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)）各隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。調(diào)查中包含一個(gè)問(wèn)題：“您是否喜歡這款健康菜單？”結(jié)果如下：A區(qū)有65人喜歡，B區(qū)有55人喜歡，C區(qū)有70人喜歡。1.請(qǐng)分別計(jì)算三個(gè)區(qū)域樣本中喜歡該健康菜單顧客的比例。2.假設(shè)總體中喜歡該健康菜單顧客的比例在三個(gè)區(qū)域間沒(méi)有差異，請(qǐng)計(jì)算總體比例在95%置信水平下的合并估計(jì)置信區(qū)間。3.請(qǐng)分別檢驗(yàn)A區(qū)與B區(qū)顧客對(duì)健康菜單的喜好是否存在顯著差異（α=0.05）。請(qǐng)完整寫出假設(shè)檢驗(yàn)的步驟，包括提出假設(shè)、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、做出統(tǒng)計(jì)決策。4.請(qǐng)分別檢驗(yàn)A區(qū)與C區(qū)顧客對(duì)健康菜單的喜好是否存在顯著差異（α=0.05）。請(qǐng)完整寫出假設(shè)檢驗(yàn)的步驟。5.基于以上分析，該快餐連鎖店是否可以認(rèn)為不同區(qū)域的顧客對(duì)其健康菜單的喜好存在差異？請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)結(jié)果簡(jiǎn)要說(shuō)明理由，并指出該分析可能存在的局限性。試題二某公司人力資源部希望了解員工的工作滿意度與其工作年限之間是否存在關(guān)系。隨機(jī)抽取了50名員工，記錄了他們的工作年限（X，單位：年）和工作滿意度評(píng)分（Y，滿分100分）。經(jīng)過(guò)分析，得到以下回歸方程的摘要信息（部分）：*回歸方程：Y=50+3X*R2=0.45*標(biāo)準(zhǔn)誤差（S.E.）=5*X的樣本均值（均值）=5年*Y的樣本均值（均值）=65分*n=501.解釋回歸方程中系數(shù)“3”的含義。2.計(jì)算當(dāng)工作年限為4年時(shí)，員工工作滿意度的預(yù)測(cè)值。3.解釋R2=0.45的含義。4.請(qǐng)計(jì)算回歸系數(shù)“3”的95%置信區(qū)間（假設(shè)總體服從正態(tài)分布）。請(qǐng)說(shuō)明計(jì)算過(guò)程中用到的關(guān)鍵信息或公式（無(wú)需具體計(jì)算結(jié)果）。5.假設(shè)該公司計(jì)劃招聘一批新員工（工作年限接近0年），請(qǐng)基于當(dāng)前模型預(yù)測(cè)其平均工作滿意度評(píng)分，并簡(jiǎn)要說(shuō)明該預(yù)測(cè)的可靠性（結(jié)合模型R2和實(shí)際情境）。6.如果某位員工工作年限為8年，其實(shí)際滿意度得分為75分。請(qǐng)計(jì)算其實(shí)際得分與預(yù)測(cè)得分之間的殘差，并簡(jiǎn)要說(shuō)明該殘差可能代表什么。試題三一家制藥公司研發(fā)了一種新的降血壓藥物。為了評(píng)估該藥物的有效性，進(jìn)行了一項(xiàng)隨機(jī)雙盲對(duì)照試驗(yàn)。選取了200名血壓較高的患者，隨機(jī)分成兩組，每組100人。一組服用新藥（實(shí)驗(yàn)組），另一組服用安慰劑（對(duì)照組）。經(jīng)過(guò)一個(gè)月的治療，記錄了兩組患者收縮壓的變化量（單位：毫米汞柱，mmHg）。假設(shè)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)處理（如中心化或標(biāo)準(zhǔn)化）后，樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差如下：*實(shí)驗(yàn)組（新藥）：樣本均值ΔX?=15,樣本標(biāo)準(zhǔn)差sX=8*對(duì)照組（安慰劑）：樣本均值Δ??=5,樣本標(biāo)準(zhǔn)差sY=101.請(qǐng)?zhí)岢隽慵僭O(shè)和備擇假設(shè)，用以檢驗(yàn)新藥是否比安慰劑更有效地降低收縮壓。2.假設(shè)兩組樣本方差相等（即可合并方差），請(qǐng)寫出合并方差估計(jì)量的計(jì)算公式（無(wú)需計(jì)算結(jié)果）。3.基于上述假設(shè)，請(qǐng)寫出用于檢驗(yàn)假設(shè)的t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式。4.說(shuō)明在計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，需要哪些關(guān)鍵信息（除了已給均值和標(biāo)準(zhǔn)差外）。5.假設(shè)計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為2.5（實(shí)際計(jì)算過(guò)程省略），樣本量n1=n2=100。請(qǐng)說(shuō)明如何根據(jù)該t值和自由度（df）判斷是否應(yīng)拒絕零假設(shè)（α=0.05）。6.從統(tǒng)計(jì)決策的角度，該試驗(yàn)結(jié)果對(duì)新藥是否更有效地降低收縮壓提供了怎樣的證據(jù)？請(qǐng)結(jié)合假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論進(jìn)行說(shuō)明。試題四某零售商希望了解其在兩個(gè)不同渠道（線上渠道X和線下渠道Y）銷售的某款產(chǎn)品的銷售額（Z，單位：萬(wàn)元）與投入的廣告費(fèi)用（A，單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系。他們收集了過(guò)去12個(gè)月的數(shù)據(jù)，并分別對(duì)線上和線下渠道的數(shù)據(jù)進(jìn)行了回歸分析。1.簡(jiǎn)述在進(jìn)行這兩個(gè)回歸分析時(shí)，應(yīng)如何定義因變量（Y）和自變量（X）。2.假設(shè)線上渠道的回歸分析結(jié)果顯示，廣告費(fèi)用每增加1萬(wàn)元，銷售額平均增加5萬(wàn)元，且R2=0.60。請(qǐng)解釋R2=0.60在此情境下的具體含義。3.假設(shè)線下渠道的回歸分析結(jié)果顯示，廣告費(fèi)用每增加1萬(wàn)元，銷售額平均增加3萬(wàn)元，且R2=0.35。請(qǐng)比較這兩個(gè)渠道廣告投入對(duì)銷售額的影響。4.請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)原假設(shè)和一個(gè)備擇假設(shè)，用以檢驗(yàn)線上渠道廣告投入對(duì)銷售額的影響是否顯著大于線下渠道（α=0.05）。請(qǐng)說(shuō)明該檢驗(yàn)可能采用的方法類型（如配對(duì)樣本t檢驗(yàn)或其他）。5.如果該零售商計(jì)劃未來(lái)增加廣告預(yù)算，請(qǐng)基于以上回歸分析結(jié)果，為線上和線下渠道分別提出簡(jiǎn)要的營(yíng)銷建議，并說(shuō)明建議的依據(jù)。---試卷答案試題一1.A區(qū)比例=65/100=0.65；B區(qū)比例=55/100=0.55；C區(qū)比例=70/100=0.70。2.合并比例p?=(65+55+70)/(100+100+100)=190/300≈0.6333。合并標(biāo)準(zhǔn)誤SE_?p=sqrt[p?(1-p?)*(1/100+1/100+1/100)]=sqrt[0.6333*(1-0.6333)*3/100]≈sqrt[0.2410*0.03]≈sqrt[0.00723]≈0.0850。95%置信區(qū)間=0.6333±1.96*0.0850≈0.6333±0.1674，即(0.4659,0.8007)。3.H?:p_A=p_B(A區(qū)與B區(qū)喜好比例相同)；H?:p_A≠p_B。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(p_A-p_B)/sqrt[p?(1-p?)*(1/n_A+1/n_B)]=(0.65-0.55)/sqrt[0.6333*(1-0.6333)*(1/100+1/100)]=0.10/sqrt[0.2410*0.02]=0.10/sqrt[0.00482]≈0.10/0.0694≈1.44。拒絕域?yàn)閆<-1.96或Z>1.96。由于1.44介于-1.96和1.96之間，不能拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平下，沒(méi)有足夠證據(jù)表明A區(qū)與B區(qū)顧客對(duì)健康菜單的喜好存在顯著差異。4.H?:p_A=p_C(A區(qū)與C區(qū)喜好比例相同)；H?:p_A≠p_C。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(p_A-p_C)/sqrt[p?(1-p?)*(1/n_A+1/n_C)]=(0.65-0.70)/sqrt[0.6333*(1-0.6333)*(1/100+1/100)]=-0.05/sqrt[0.2410*0.02]=-0.05/sqrt[0.00482]≈-0.05/0.0694≈-0.72。拒絕域?yàn)閆<-1.96或Z>1.96。由于-0.72介于-1.96和1.96之間，不能拒絕H?。結(jié)論：在α=0.05水平下，沒(méi)有足夠證據(jù)表明A區(qū)與C區(qū)顧客對(duì)健康菜單的喜好存在顯著差異。5.基于單次抽樣和假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)A區(qū)與B區(qū)、A區(qū)與C區(qū)之間沒(méi)有發(fā)現(xiàn)顯著差異（p值均大于0.05）。這意味著沒(méi)有強(qiáng)統(tǒng)計(jì)證據(jù)表明三個(gè)區(qū)域顧客的整體喜好比例存在差異。然而，這種結(jié)論是基于有限的樣本（每個(gè)區(qū)域100人），可能存在抽樣誤差。此外，假設(shè)檢驗(yàn)僅判斷差異的統(tǒng)計(jì)顯著性，并不代表實(shí)際差異的大小或商業(yè)重要性。因此，雖然統(tǒng)計(jì)上不顯著，但公司仍可考慮其他非統(tǒng)計(jì)因素（如區(qū)域市場(chǎng)潛力、成本效益等）來(lái)制定差異化營(yíng)銷策略。試題二1.系數(shù)“3”表示在控制其他因素不變的情況下，員工的工作年限每增加1年，其工作滿意度評(píng)分預(yù)計(jì)平均增加3分。2.預(yù)測(cè)值=50+3*4=50+12=62分。3.R2=0.45表示在員工工作滿意度的總變異中，有45%可以通過(guò)工作年限與滿意度之間的線性關(guān)系來(lái)解釋。4.置信區(qū)間計(jì)算需用到樣本標(biāo)準(zhǔn)誤oftheslope(SE_β?)，其計(jì)算涉及S.E.、樣本量n、X的樣本方差s2x等。公式為：b?±t_(α/2,n-2)*SE_β?。區(qū)間上下限為：預(yù)測(cè)值±t_(α/2,n-2)*SE_β?。5.預(yù)測(cè)評(píng)分=50+3*0≈50分。該預(yù)測(cè)的可靠性較低。首先，R2=0.45表明模型只能解釋約45%的滿意度變異，擬合程度一般。其次，當(dāng)X=0時(shí)（新員工），模型基于的是樣本均值附近的情況，而新員工的滿意度可能具有不同的特征或經(jīng)歷快速變化，模型預(yù)測(cè)可能偏離實(shí)際。因此，基于0年經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)平均滿意度應(yīng)持謹(jǐn)慎態(tài)度。6.殘差=實(shí)際得分-預(yù)測(cè)得分=75-(50+3*8)=75-74=1分。該殘差為正，表示該員工的實(shí)際滿意度高于基于其工作年限的預(yù)測(cè)滿意度。這可能意味著該員工特別滿意其工作，或者模型對(duì)其的預(yù)測(cè)能力在此例中較好，或者存在其他未包含在模型中的正向因素。試題三1.H?:μX≤μY(新藥效果≤安慰劑效果，即平均變化量無(wú)差異)；H?:μX>μY(新藥效果>安慰劑效果，即新藥平均變化量更大)。2.合并方差估計(jì)量s_p2=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)。3.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(X?-??)/sqrt[s_p2*(1/n?+1/n?)]。4.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t時(shí)，需要：兩組樣本的均值（ΔX?,Δ??）、兩組樣本的標(biāo)準(zhǔn)差（sX,sY）、兩組樣本的樣本量（n?,n?）、以及合并方差估計(jì)量s_p（或其計(jì)算所需的s?2,s?2）。5.自由度df=n?+n?-2=100+100-2=198。查t分布表，α=0.05，單尾檢驗(yàn)，df=198時(shí)，臨界值t_(0.05,198)≈1.645（或使用更精確值，但通常用正態(tài)近似值）。比較觀測(cè)t值（2.5）與臨界值（1.645）：由于2.5>1.645，落入拒絕域。因此，拒絕H?。6.統(tǒng)計(jì)決策上，t檢驗(yàn)結(jié)果顯示在α=0.05水平下，有顯著證據(jù)表明新藥組的收縮壓平均變化量顯著高于安慰劑組。這為“新藥比安慰劑更有效地降低收縮壓”提供了統(tǒng)計(jì)支持。然而，此結(jié)論基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，還需考慮樣本代表性、試驗(yàn)設(shè)計(jì)（如盲法實(shí)施）、以及可能的副作用等因素后，才能決定是否推廣使用。試題四1.對(duì)于線上渠道回歸，定義Y=銷售額（Z），X=廣告費(fèi)用（A）。對(duì)于線下渠道回歸，定義Y=銷售額（Z），X=廣告費(fèi)用（A）。2.R2=0.60表示在線上渠道，銷售額變動(dòng)的60%可以通過(guò)廣告費(fèi)用變動(dòng)的線性關(guān)系來(lái)解釋。即廣告投入對(duì)線上銷售額有較強(qiáng)的解釋力。3.線上渠道廣告投入對(duì)銷售額的平均影響（系數(shù)3萬(wàn)元/萬(wàn)元）大于線下渠道（系數(shù)1.5萬(wàn)元/萬(wàn)元）。線上渠道每增加1萬(wàn)元廣告費(fèi)，平均銷售額增加3萬(wàn)元；線下渠道每增加1萬(wàn)元廣告費(fèi)，平均銷售額增加1.5萬(wàn)元。同時(shí)，線上渠道的R2（0.60）也高于線下渠道（0.35），表明廣告投入對(duì)線上銷售額的解釋程度更高。4.可以使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)來(lái)比較兩個(gè)回歸系數(shù)的均值。原假設(shè)H?:β_X線上-β_X線下≤0；備擇假設(shè)H?:β_X線上-β_X線下>0。需要比較線上回歸系數(shù)（β_X線上≈3）與線下回歸系數(shù)（β_X線下≈1.5）的差值，并計(jì)算該差值的標(biāo)準(zhǔn)誤，然后計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量并確定p值