中學(xué)數(shù)學(xué)幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的重要分支，它以空間形式為研究對(duì)象，不僅是邏輯推理的訓(xùn)練場，也是培養(yǎng)空間想象能力的基石。中學(xué)階段的幾何學(xué)習(xí)，從最基本的點(diǎn)線面開始，逐步構(gòu)建起對(duì)平面圖形和立體圖形的認(rèn)知體系。本文旨在梳理中學(xué)數(shù)學(xué)幾何的核心知識(shí)點(diǎn)，力求邏輯清晰，突出重點(diǎn)，為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供一份實(shí)用的參考。一、幾何的基石：基本元素與公理體系任何復(fù)雜的幾何圖形都是由基本的幾何元素構(gòu)成的，理解這些基本元素及其相互關(guān)系是學(xué)好幾何的第一步。1.1點(diǎn)、線、面、體*點(diǎn)：點(diǎn)是構(gòu)成幾何圖形的最基本元素，它沒有大小，僅表示位置。*線：線是點(diǎn)的集合，有直線和曲線之分。中學(xué)階段主要研究直線，它沒有粗細(xì)，向兩方無限延伸。射線（向一方無限延伸）和線段（直線上兩點(diǎn)間的部分）是直線的重要組成部分。*面：面是線的集合，有平面和曲面。中學(xué)幾何主要研究平面圖形，以及簡單的立體圖形的表面。*體：體是面的集合，由平面或曲面圍成，占有一定的空間。1.2基本幾何圖形及其表示*角：由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。角的度量、比較以及角的平分線是重要內(nèi)容。我們會(huì)遇到銳角、直角、鈍角、平角和周角等概念。*相交線與平行線：*相交線：兩條直線相交，會(huì)形成對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角。對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。當(dāng)兩條直線相交所成的角為直角時(shí)，稱這兩條直線互相垂直，其交點(diǎn)叫做垂足。垂線有諸多性質(zhì)，如“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”。*平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。平行線的判定與性質(zhì)是重點(diǎn)，如“同位角相等，兩直線平行”、“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”等，要注意區(qū)分判定與性質(zhì)的條件與結(jié)論。1.3幾何公理與基本事實(shí)公理是幾何推理的出發(fā)點(diǎn)，是不需要證明而被公認(rèn)的事實(shí)。例如“兩點(diǎn)確定一條直線”、“兩點(diǎn)之間線段最短”、“經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”等，這些基本事實(shí)構(gòu)成了整個(gè)幾何邏輯體系的基礎(chǔ)。二、三角形：平面幾何的核心三角形是平面幾何中最基本也最重要的封閉圖形，許多復(fù)雜圖形都可以通過分割轉(zhuǎn)化為三角形來研究。2.1三角形的基本概念與性質(zhì)*三角形的構(gòu)成：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。三角形的邊、角、頂點(diǎn)是其基本要素。*三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。這是判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的依據(jù)。*三角形的內(nèi)角和與外角：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，且大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。*三角形中的重要線段：*中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，三條中線交于重心。*高線（高）：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段，三條高交于垂心。*角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段，三條角平分線交于內(nèi)心。*中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。2.2全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。*全等三角形的判定方法：*SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。*全等三角形的判定是幾何證明的重要工具，需要熟練掌握各種判定條件，并能靈活運(yùn)用。2.3特殊三角形*等腰三角形：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形的兩底角相等（等邊對(duì)等角）；頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（三線合一）。反過來，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊）。*等邊三角形（正三角形）：三邊都相等的三角形。等邊三角形的各角都等于60°，它具有等腰三角形的所有性質(zhì)，并且在對(duì)稱軸數(shù)量、外接圓內(nèi)切圓半徑等方面有特殊性。*直角三角形：有一個(gè)角為直角的三角形。直角三角形的兩個(gè)銳角互余。勾股定理是直角三角形的核心性質(zhì)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。其逆定理也成立，可用于判斷三角形是否為直角三角形。直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、四邊形：多樣化的平面圖形由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做四邊形。我們主要研究一些特殊的四邊形。3.1平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。*性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等；對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線互相平分；是中心對(duì)稱圖形。*判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形。3.2矩形、菱形、正方形這些都是特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有各自的獨(dú)特性質(zhì)。*矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形。性質(zhì)：四個(gè)角都是直角；對(duì)角線相等。判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形；對(duì)角線相等的平行四邊形；有三個(gè)角是直角的四邊形。*菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形。性質(zhì)：四條邊都相等；對(duì)角線互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。判定：一組鄰邊相等的平行四邊形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形；四條邊都相等的四邊形。*正方形：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形。它既是矩形又是菱形，因此具有矩形和菱形的所有性質(zhì)，是特殊的平行四邊形。3.3梯形一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。平行的兩邊叫做梯形的底，不平行的兩邊叫做梯形的腰。*等腰梯形：兩腰相等的梯形。等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等；對(duì)角線相等。*直角梯形：一腰垂直于底的梯形。四、圓：完美的曲線圖形圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形，這個(gè)定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。4.1圓的基本概念與性質(zhì)*圓的對(duì)稱性：圓既是中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱中心為圓心），又是軸對(duì)稱圖形（任意一條直徑所在的直線都是對(duì)稱軸）。*垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。及其推論，對(duì)于解決與弦、弧有關(guān)的問題至關(guān)重要。*圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。*圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。4.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系*點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，由點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系決定。*直線與圓的位置關(guān)系：相離、相切、相交，由圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系決定。*切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。*切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。*圓與圓的位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含（包括同心圓），由兩圓的圓心距與兩圓半徑的大小關(guān)系決定。五、幾何變換初步幾何變換是研究圖形性質(zhì)和解決幾何問題的重要思想方法。*平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置。平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。*旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小。旋轉(zhuǎn)后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。*軸對(duì)稱：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸。對(duì)于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線對(duì)折后，它們能夠