2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期第一階段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．43．若平面的法向量為，平面的法向量為，直線l的方向向量為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．小剛參與一種答題游戲，需要解答A，B，C三道題.已知他答對這三道題的概率分別為，，，且各題答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為，則他三道題都答錯的概率為（

）A． B． C． D．6．在直三棱柱中，，，，分別是，的中點，則直線與直線所成角的余弦值（

）A． B． C． D．7．若過點，的直線的傾斜角的取值范圍是，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．是定義在R上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026二、多選題9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量與向量的夾角為B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量與向量共面10．已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于點中心對稱B．在上單調(diào)遞減C．將曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像D．直線是曲線的一條對稱軸11．如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則（

）

A．當在平面上運動時，四棱錐的體積不變B．當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C．若是的中點，當在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是D．使直線與平面所成的角為的點P的軌跡長度為三、填空題12．已知向量平行于向量，則m+n＝．13．如圖，二面角的棱上有兩個點，線段與分別在這個二面角兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱．若二面角的平面角為，且，，則．14．邢臺一中高二年級研究性學(xué)習(xí)小組為了實地測量某塔的高度，選取與塔底中心O在同一個水平面內(nèi)的兩個測量基點A與B，在A點測得：塔頂P的仰角為45°，O在A的北偏東60°處，B在A的正東方向36米處，且在B點測得O與A的張角為45°，則此塔的高度約為米（四舍五入，保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：，）.四、解答題15．已知的頂點，，，為的中點．(1)求直線的斜率；(2)判斷的形狀；(3)設(shè)分別為的中點，求直線的斜率．16．如圖所示，在平行六面體中，O為AC的中點．設(shè)，，．

(1)用，，表示；(2)設(shè)E是棱上的點，且，用，，表示．17．某年級數(shù)學(xué)興趣小組組織游戲闖關(guān)活動，共設(shè)置了20道數(shù)學(xué)問題，滿分100分.結(jié)束后在所有的答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績分成六段：，，……，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該年級全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；(2)活動中，甲、乙兩位同學(xué)獨立參加競賽，已知甲同學(xué)答對了12道，乙同學(xué)答對了8道，假設(shè)每道數(shù)學(xué)問題難度相當，被答對的可能性都相同.任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對的概率.18．如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點，(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．19．已知向量，，定義新運算：.若函數(shù)，則稱為向量，的點積函數(shù).例如：向量，，則向量，的點積函數(shù).(1)若向量，（，），且向量，的點積函數(shù)，求的值；(2)若向量，，求向量，的點積函數(shù)的值域；(3)若向量，的點積函數(shù)為，且存在，使得成立，求的取值范圍.

題號12345678910答案DCABCBBCABDABD題號11答案ABD1．D先求得集合，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】由題可知，，所以，故選：D．2．C根據(jù)復(fù)數(shù)運算求得，進而求得.【詳解】由得，兩邊乘以得，所以.故選：C3．A利用空間向量研究空間位置關(guān)系，一一判定選項即可.【詳解】對于A，若，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以或，故B錯誤；對于C，若，則，即，易得，故C錯誤；對于D，若，則，即，易得，故D錯誤.故選：A4．B由正弦定理結(jié)合已知，可推得.進而根據(jù)三角形解得個數(shù)推得，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應(yīng)有，且，所以，所以.故選：B．5．C根據(jù)條件，先求的有關(guān)值，再求對應(yīng)事件的概率.【詳解】記小剛解答A，B，C三道題正確分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨立，且.恰好能答對兩道題為事件，且兩兩互斥，所以，整理得，他三道題都答錯為事件，故.故選：C.6．B建立空間直角坐標系，設(shè)，利用異面直線所成角的向量法求解即可.【詳解】因為直三棱柱，所以底面，又底面，所以，，又因為，所以兩兩垂直，以為軸建立如圖所示坐標系，設(shè)，則，，，，所以，，設(shè)直線與直線所成角為，則，所以直線與直線所成角的余弦值為.故選：B7．B結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系，分斜率不存在與斜率存在計算即可得.【詳解】當時，直線的斜率不存在，兩點橫坐標相等，即；當時，直線的斜率存在，則或，解得或；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．C首先推導(dǎo)出，從而得到，再根據(jù)計算可得.【詳解】因為，即，所以，又，所以，所以.故選：C9．ABD根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示得出向量夾角判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計算出投影向量判斷C；得出向量共面判斷D.【詳解】對于A：設(shè)向量與向量的夾角為，則，又因為，所以，A選項正確；對于B：因為,，所以，B選項正確；對于C：向量在向量上的投影向量為，C選項錯誤；對于D：因為向量，所以，得出向量與向量共面，D選項正確.故選：ABD.10．ABD根據(jù)條件求出的值，然后根據(jù)三角函數(shù)的知識逐一判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，所以，即，即，因為，所以函數(shù)圖像關(guān)于點中心對稱，故A正確；當時，，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；將曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，故C錯誤；因為，所以直線是曲線的一條對稱軸，故D正確；故選：ABD11．ABDA選項，考慮錐體的底面積、高均未變，故體積不變；B選項，找出異面直線所成的角，在三角形中判斷角的大??；CD選項，找到點軌跡，計算可得.【詳解】對A：如圖：

當在平面上運動時，四棱錐的底面面積為定值4，高為點到平面的距離為定值2，所以為定值.故A正確；對B：如圖

當在線段上運動時，與所成角就是與所成的角，因為為等邊三角形，所以當點與線段的端點重合時，與所成的角最小，為，當點為線段中點時，與所成的角最大，為.故B正確；對C：如圖：

因為是的中點，當在底面上運動，且滿足平面時，所在的平面為如圖正六邊形，正六邊形的邊長為，當點與中點重合時，最小，為.故C錯誤；對D：如圖：

使直線與平面所成的角為的點P的軌跡為對角線、以及平面內(nèi)以為圓心，以2為半徑的圓的，故點的軌跡長度為：.故D正確.故選：ABD12．##直接利用向量的坐標運算，向量共線的充要條件求出結(jié)果．【詳解】由于向量平行于向量，故，解得，n，故m+n＝，故答案為：．13．根據(jù)已知條件用空間向量的模的公式求出的長.【詳解】由條件知，又二面角的平面角為，則，所以，所以．故答案為：.14．26中,運用正弦定理，先求出，再根據(jù)等腰直角三角形知識得到即可.【詳解】中，，,.所以.在中，運用正弦定理，可得，代入值求得，由于為等腰直角三角形，則，則此塔的高度約為米.故答案為：26.15．(1)；(2)等腰直角三角形；(3).（1）應(yīng)用中點坐標公式及斜率的兩點式求斜率；（2）根據(jù)已知求得，，，則有、，即可得三角形形狀；（3）由題設(shè)有，結(jié)合（2）可得直線的斜率.【詳解】（1）因為為的中點，結(jié)合已知坐標有，則；（2）由，，，由，，知是直角三角形．又，結(jié)合已知，則是的垂直平分線，所以是等腰直角三角形．（3）由于分別為的中點，所以是的中位線，則，所以，故直線的斜率為．16．(1)(2)（1）根據(jù)題意，由空間向量的線性運算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由空間向量的線性運算，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）因為，且，，，則.（2）17．(1)，75；(2)（1）根據(jù)頻率之和為即可求出，根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的求法求中位數(shù)即可；（2）根據(jù)相互獨立事件的乘法公式及對立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖有，解得，因為，所以中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為x，則有，得，所以估計該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為75；（2）設(shè)“任選一道題，甲答對”，“任選一道題，乙答對”，“任選一道題，丙答對”，則由古典概型概率計算公式得：，，所以有，記“甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對”，則有，且有與互斥，因為每位同學(xué)獨立作答，所以A，B互相獨立，則A與，與B，與均相互獨立，所以，所以任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對的概率.18．(1)證明見解析(2)(3)（1）取中點，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當空間直角坐標系，計算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計算即可得解；（3）借助空間中點到平面的距離公式計算即可得解.【詳解】（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，由是的中點，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、、、，則有、、，設(shè)平