2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與虛擬世界構(gòu)建試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在虛擬校園三維建模中，教學(xué)樓的一根斜梁可抽象為向量$\vec{a}=(3,4,12)$，若要計(jì)算其在地面（$xOy$平面）上的投影長(zhǎng)度，正確的算法是（）A.$\sqrt{3^2+4^2+12^2}$B.$\sqrt{3^2+4^2}$C.$\sqrt{4^2+12^2}$D.$\sqrt{3^2+12^2}$某VR教育軟件中，函數(shù)$f(x)=\ln(x^2-4x+5)$的圖像被用作虛擬迷宮的路徑邊界，該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.$(-\infty,2)$B.$(2,+\infty)$C.$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$D.$(1,3)$在虛擬化學(xué)實(shí)驗(yàn)室中，模擬溶液濃度變化需用到微分方程。若某反應(yīng)中物質(zhì)濃度$C(t)$滿足$\frac{dC}{dt}=kC(1-C)$（$k$為常數(shù)），則該方程的通解是（）A.$C(t)=e^{kt}+C_0$B.$C(t)=\frac{1}{1+e^{-kt}+C_0}$C.$C(t)=\frac{1}{1+Ce^{-kt}}$D.$C(t)=\sin(kt)+C_0$用空間直角坐標(biāo)系構(gòu)建虛擬教室時(shí)，講臺(tái)的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為$(0,0,0)$，$(4,0,0)$，$(4,1,0)$，$(0,1,0)$，若將其沿向量$(0,0,0.5)$平移后作為講桌模型，則新坐標(biāo)系中講桌底面的法向量是（）A.$(0,0,1)$B.$(0,1,0)$C.$(1,0,0)$D.$(0,0,0.5)$某虛擬社區(qū)用戶數(shù)量$N(t)$（單位：萬(wàn)人）隨時(shí)間$t$（單位：月）的增長(zhǎng)模型為$N(t)=\frac{20}{1+e^{-0.5t}}$，則該社區(qū)用戶數(shù)量的增長(zhǎng)速率最快的時(shí)刻是（）A.$t=0$B.$t=2\ln2$C.$t=\ln2$D.$t=2$在三維虛擬游戲中，某角色的移動(dòng)軌跡參數(shù)方程為$\begin{cases}x=2\cost\y=2\sint\z=t\end{cases}$（$t\geq0$），則該角色在$t=\pi$時(shí)的瞬時(shí)速度大小為（）A.$\sqrt{5}$B.$2$C.$\sqrt{3}$D.$1$為優(yōu)化VR設(shè)備的散熱系統(tǒng)，需計(jì)算散熱片的表面積。若散熱片可抽象為$z=x^2+y^2$被平面$z=4$截得的旋轉(zhuǎn)拋物面，則該曲面的表面積為（）A.$\int_0^{2\pi}\int_0^2\sqrt{1+4r^2}rdrd\theta$B.$\int_0^{2\pi}\int_0^4\sqrt{1+4r^2}rdrd\theta$C.$\int_0^{2\pi}\int_0^2\sqrt{1+4r^2}drd\theta$D.$\int_0^{2\pi}\int_0^4\sqrt{1+4r^2}drd\theta$某虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中，隨機(jī)事件$A$（實(shí)驗(yàn)成功）與事件$B$（設(shè)備穩(wěn)定）的概率滿足$P(A|B)=0.9$，$P(B)=0.8$，$P(\overline{B})=0.2$，$P(A|\overline{B})=0.3$，則$P(B|A)=$（）A.$0.9$B.$0.8$C.$0.72$D.$0.923$用分形幾何生成虛擬山脈時(shí)，需計(jì)算科赫曲線的維度。若第$n$次迭代后曲線長(zhǎng)度為$L_n=3^n$，線段數(shù)量為$N_n=4^n$，則該分形的豪斯多夫維度為（）A.$\log_34$B.$\log_43$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$在虛擬經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，兩種商品的價(jià)格波動(dòng)模型為$\begin{cases}dx/dt=2x-y\dy/dt=-x+2y\end{cases}$，則該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)$(0,0)$的穩(wěn)定性是（）A.穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)B.不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)C.鞍點(diǎn)D.中心為實(shí)現(xiàn)虛擬場(chǎng)景的光影渲染，需計(jì)算點(diǎn)光源對(duì)平面的照度。若光源強(qiáng)度為$I$，光源到平面的距離為$d$，入射角為$\theta$，則照度$E$的計(jì)算公式為（）A.$E=\frac{I}{d^2}\cos\theta$B.$E=\frac{I}{d^2}\sin\theta$C.$E=Id^2\cos\theta$D.$E=Id^2\sin\theta$某VR社交平臺(tái)的用戶互動(dòng)網(wǎng)絡(luò)可抽象為無(wú)向圖，其鄰接矩陣為$\begin{pmatrix}0&1&1\1&0&0\1&0&0\end{pmatrix}$，則該網(wǎng)絡(luò)中連接度為2的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在虛擬人體解剖模型中，血管的一段被抽象為半徑$r=0.1\sint$（單位：cm）的圓柱，若血液流速$v=5$cm/s，則$t=0$時(shí)刻該段血管的血流量（單位：cm3/s）為_(kāi)_______。用傅里葉變換處理VR設(shè)備的傳感器信號(hào)時(shí)，若原始信號(hào)為$f(t)=\sin(2t)+\cos(4t)$，則其頻譜中振幅不為零的頻率點(diǎn)是________。某虛擬城市的交通流滿足拉普拉斯方程$\frac{\partial^2\rho}{\partialx^2}+\frac{\partial^2\rho}{\partialy^2}=0$，若$\rho(x,y)=x^3+axy^2$是該方程的解，則常數(shù)$a=$________。在量子計(jì)算VR模擬中，一個(gè)量子比特的狀態(tài)用復(fù)數(shù)向量$\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}$表示，若$|\alpha|^2=0.6$，則$|\beta|^2=$，該量子態(tài)的施密特秩為。（第一空2分，第二空3分）三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）在虛擬植物園建模中，某植物的生長(zhǎng)曲線滿足邏輯斯蒂方程$\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K})$，其中$N(t)$為葉片數(shù)量，$r=0.2$/天，$K=100$片。若初始葉片數(shù)量$N(0)=10$片，求：（1）葉片數(shù)量增長(zhǎng)到50片所需的時(shí)間；（2）第10天的葉片生長(zhǎng)速率。（12分）為構(gòu)建虛擬圖書(shū)館的穹頂結(jié)構(gòu)，需計(jì)算半球面$x^2+y^2+z^2=R^2$（$z\geq0$）被圓柱面$x^2+y^2=Rx$截得的曲面面積（$R>0$）。（1）寫(xiě)出該曲面在球坐標(biāo)系下的方程；（2）計(jì)算曲面面積$S$。（12分）某VR教育平臺(tái)的用戶留存率模型為：第$n$個(gè)月的留存用戶數(shù)$a_n$與前兩個(gè)月的關(guān)系為$a_n=1.5a_{n-1}-0.5a_{n-2}$，初始條件$a_1=1000$，$a_2=1200$。（1）求該遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）預(yù)測(cè)第12個(gè)月的留存用戶數(shù)（精確到整數(shù)）。（12分）在虛擬物理實(shí)驗(yàn)室中，小球在重力場(chǎng)與電場(chǎng)復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡滿足微分方程組：$\begin{cases}\frac{d^2x}{dt^2}=E/m\\frac{d^2y}{dt^2}=-g\end{cases}$（$E,m,g$為常數(shù)），初始條件$x(0)=0$，$y(0)=0$，$x'(0)=0$，$y'(0)=v_0$。（1）求解該方程組，得到軌跡方程$y=f(x)$；（2）若$E=10N/C$，$m=0.1kg$，$g=10m/s^2$，$v_0=10m/s$，求小球落回$y=0$平面時(shí)的水平位移。（12分）為優(yōu)化VR頭盔的視場(chǎng)角，需計(jì)算人眼視野的空間范圍。若人眼瞳孔中心為原點(diǎn)，水平視野角為$120^\circ$，垂直視野角為$90^\circ$，建立球坐標(biāo)系$(\theta,\phi,r)$（$\theta$為方位角，$\phi$為極角）。（1）寫(xiě)出視野邊界的極角$\phi$與方位角$\theta$的關(guān)系；（2）計(jì)算該視野范圍在單位球面上的面積。（12分）某虛擬社交網(wǎng)絡(luò)的信息傳播模型為$SIR$模型：$\begin{cases}\frac{dS}{dt}=-\betaSI\\frac{dI}{dt}=\betaSI-\gammaI\\frac{dR}{dt}=\gammaI\end{cases}$，其中$S,I,R$分別為易感者、感染者、恢復(fù)者比例，$\beta=0.3$/天，$\gamma=0.1$/天。（1）證明$S+I+R=1$為守恒量；（2）若初始條件$S(0)=0.99$，$I(0)=0.01$，$R(0)=0$，求感染峰值$I_{\text{max}}$出現(xiàn)的時(shí)間$t^*$。四、開(kāi)放創(chuàng)新題（本大題共1小題，共20分）虛擬世界構(gòu)建中的數(shù)學(xué)建模：某科技公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一款“元宇宙校園”VR應(yīng)用，需解決以下技術(shù)問(wèn)題，請(qǐng)從數(shù)學(xué)角度給出解決方案：（1）利用空間幾何知識(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)可折疊的虛擬教學(xué)樓模型，要求展開(kāi)時(shí)為長(zhǎng)方體（長(zhǎng)$a$、寬$b$、高$h$），折疊后體積縮小為原來(lái)的1/8，寫(xiě)出折疊變換的矩陣表示；（2）為模擬校園內(nèi)的人流密度，建立偏微分方程模型，考慮擴(kuò)散效應(yīng)與人群聚集效應(yīng)，寫(xiě)出方程的一般形式并解釋各項(xiàng)物理意義；（3）若要實(shí)現(xiàn)虛擬場(chǎng)景的實(shí)時(shí)渲染，需將三維模型的多邊形網(wǎng)格簡(jiǎn)化，已知原網(wǎng)格有$V$個(gè)頂點(diǎn)、$E$條邊、$F$個(gè)面，利用