專題04二次函數(shù)（6大考點34題）考點01二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其小綜合1．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，已知開口向下的拋物線與x軸交于點，對稱軸為直線．則下列結(jié)論正確的有（

）①；②；③方程的兩個根為；④拋物線上有兩點和，若且，則．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線的對稱軸為，與x軸的一個交點位于，兩點之間．下列結(jié)論：①；

②；③；

④若，為方程的兩個根，則．其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·湖北·中考真題）拋物線與軸相交于點．下列結(jié)論：①；②；③；④若點在拋物線上，且，則．其中正確的結(jié)論有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2023·湖北黃石·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點，且對稱軸為直線．有以下結(jié)論：①；②；③當，時，有；④對于任何實數(shù)，關(guān)于的方程必有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個6．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，已知拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點在第一象限，其部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①；②；③；④若，（其中）是拋物線上的兩點，且，則，其中正確的選項是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④7．（2023·湖北十堰·中考真題）已知點在直線上，點在拋物線上，若且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023·湖北黃岡·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列論中：①；②若點均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若m為任意實數(shù)，則；④方程的兩實數(shù)根為，且，則．正確結(jié)論的序號為（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④9．（2023·湖北武漢·中考真題）拋物線（是常數(shù)，）經(jīng)過三點，且．下列四個結(jié)論：①；②；③當時，若點在該拋物線上，則；④若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．其中正確的是（填寫序號）．10．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．考點02二次函數(shù)的實際應用11．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離m．

12．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，一位籃球運動員投籃時，球從點出手后沿拋物線行進，籃球出手后距離地面的高度與籃球距離出手點的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系式是．下列說法正確的是（填序號）．①籃球行進過程中距離地面的最大高度為；②籃球出手點距離地面的高度為．

13．（2023·湖北隨州·中考真題）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，增加村民收入，某村委會干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷農(nóng)產(chǎn)品，在試銷售的30天中，第x天（且x為整數(shù)）的售價p（元/千克）與x的函數(shù)關(guān)系式（且x為整數(shù)），銷量q（千克）與x的函數(shù)關(guān)系式為，已知第5天售價為50元/千克，第10天售價為40元/千克，設第x天的銷售額為W元(1)___________，___________；(2)求第x天的銷售額W元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)在試銷售的30天中，銷售額超過1000元的共有多少天？14．（2023·湖北十堰·中考真題）“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統(tǒng)習俗，在“端午節(jié)”來臨前，某超市購進一種品牌粽子，每盒進價是40元，并規(guī)定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒，設每盒售價為x元，日銷售量為p盒．(1)當時，__________；(2)當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W（元）最大？最大利潤是多少？(3)小強說：“當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大，”小紅說：“當日銷售利潤不低于8000元時，每盒售價x的范圍為．”你認為他們的說法正確嗎？若正確，請說明理由；若不正確，請直接寫出正確的結(jié)論．15．（2023·湖北武漢·中考真題）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機．通過實驗，收集了飛機相對于出發(fā)點的飛行水平距離（單位：）以、飛行高度（單位：）隨飛行時間（單位：）變化的數(shù)據(jù)如下表．飛行時間02468…飛行水平距離010203040…飛行高度022405464…探究發(fā)現(xiàn)：與，與之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學過的函數(shù)來描述．直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式和關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．問題解決：如圖，活動小組在水平安全線上處設置一個高度可以變化的發(fā)射平臺試飛該航模飛機．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題．

（1）若發(fā)射平臺相對于安全線的高度為0m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；（2）在安全線上設置回收區(qū)域．若飛機落到內(nèi)（不包括端點），求發(fā)射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．16．（2023·湖北黃岡·中考真題）加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在當?shù)卣闹С窒?，建成了一處勞動實踐基地．2023年計劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元/．

(1)當___________時，元/；(2)設2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？(3)學校計劃今后每年在這土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術(shù)改進，預計種植成本逐年下降，若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當a為何值時，2025年的總種植成本為元？17．（2023·湖北·中考真題）某商店銷售某種商品的進價為每件30元，這種商品在近60天中的日銷售價與日銷售量的相關(guān)信息如下表：時間：第x（天）日銷售價（元/件）50日銷售量（件）（，x為整數(shù)）設該商品的日銷售利潤為w元．(1)直接寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式__________________；(2)該商品在第幾天的日銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？18．（2024·湖北·中考真題）如圖，某校勞動實踐基地用總長為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田，墻長為42m．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位：m)，與墻平行的一邊長為y(單位：m)，面積為S(單位：)．(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍)；(2)矩形實驗田的面積S能達到嗎？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．(3)當x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？19．（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發(fā)火箭的第二級．(1)若火箭第二級的引發(fā)點的高度為．①直接寫出a，b的值；②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．(2)直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發(fā)射點的水平距離超過．20．（2023·湖北黃石·中考真題）某工廠計劃從現(xiàn)在開始，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設備，該設備的生產(chǎn)成本為萬元/件．設第個生產(chǎn)周期設備的售價為萬元/件，售價與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)．當時，；當時，．(1)求，的值；(2)設第個生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設備的數(shù)量為件，且y與x滿足關(guān)系式．當時，工廠第幾個生產(chǎn)周期獲得的利潤最大?最大的利潤是多少萬元?當時，若有且只有個生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，求實數(shù)的取值范圍．考點03二次函數(shù)壓軸解答題中的坐標問題21．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；(3)當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．22．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，已知．點E位于第二象限且在直線上，，，連接．

(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；(2)求證：；(3)直線EA交x軸于點．將經(jīng)過B，C兩點的拋物線向左平移2個單位，得到拋物線．①若直線與拋物線有唯一交點，求t的值；②若拋物線的頂點P在直線上，求t的值；③將拋物線再向下平移，個單位，得到拋物線．若點D在拋物線上，求點D的坐標．23．（2023·湖北恩施·中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．

(1)如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若為軸上的點，為軸上方拋物線上的點，當為等邊三角形時，求點，的坐標；(3)若拋物線經(jīng)過點，，，且，求正整數(shù)m，n的值．24．（2023·湖北·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點，頂點為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結(jié)果）(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點，求的度數(shù)；(3)如圖2，若動直線與拋物線交于兩點（直線與不重合），連接，直線與交于點．當時，點的橫坐標是否為定值，請說明理由．考點04二次函數(shù)壓軸解答題中的解析式問題25．（2023·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于兩點（在的左邊），交軸于點．

(1)直接寫出三點的坐標；(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點，連接．若與相似，求的值；(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點．直線與拋物線交于兩點，過的中點作直線（異于直線）交拋物線于兩點，直線與直線交于點．問點是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．26．（2025·湖北·中考真題）拋物線與軸相交于點和點，與軸相交于點，是拋物線的頂點，是拋物線上一動點，設點的橫坐標為．(1)求的值；(2)如圖1，若點在對稱軸左側(cè)，過點作對稱軸的垂線，垂足為，求的值；(3)定義：拋物線上兩點M，N之間的部分叫做拋物線?。ê它c和）．過，分別作軸的垂線，過拋物線弧的最高點和最低點分別作軸的垂線，直線與圍成的矩形叫做拋物線弧的特征矩形．若點在第四象限，記拋物線弧的特征矩形的周長為．①求關(guān)于的函數(shù)解析式；②過點作軸，交拋物線于點，點與點不重合．記拋物線弧的特征矩形的周長為．若，直接寫出的長．27．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于，兩點（在的右邊），交軸于點．(1)直接寫出點，，的坐標；(2)如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點作直線，交y軸于點．若平分線段，求點的坐標；(3)如圖（2），點與原點關(guān)于點對稱，過原點的直線交拋物線于，兩點（點在軸下方），線段交拋物線于另一點，連接．若，求直線的解析式．考點05二次函數(shù)壓軸解答題中的面積問題28．（2023·湖北荊州·中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設的面積為，的面積為．①當點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．29．（2023·湖北鄂州·中考真題）某數(shù)學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，叫做拋物線的準線方程．準線l與y軸的交點為H．其中原點O為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標為，準線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓練】(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標和準線l的方程：___________，___________；【技能訓練】(2)如圖2，已知拋物線上一點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標；【能力提升】(3)如圖3，已知拋物線的焦點為F，準線方程為l．直線m：交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為，到直線m的距離為，請直接寫出的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線平移至．拋物線內(nèi)有一定點，直線l過點且與x軸平行．當動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離始終等于點P到點F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線上的動點P到點的距離等于點P到直線l：的距離．請閱讀上面的材料，探究下題：(4)如圖4，點是第二象限內(nèi)一定點，點P是拋物線上一動點，當取最小值時，請求出的面積．考點06二次函數(shù)壓軸解答題中的參數(shù)值及范圍問題30．（2023·湖北黃岡·中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，點P為第一象限拋物線上的點，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點A的坐標為_____，______；(2)如圖1，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，點D在y軸負半軸上，，點Q為拋物線上一點，，點E，F(xiàn)分別為的邊上的動點，，記的最小值為m．①求m的值；②設的面積為S，若，請直接寫出k的取值范圍．31．（2023·湖北襄陽·中考真題）在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過拋物線的頂點．

(1)如圖，當拋物線經(jīng)過原點時，其頂點記為．①求拋物線的解析式并直接寫出點的坐標；②時，的最小值為2，求的值；③當時.動點在直線下方的拋物線上，過點作軸交直線于點，令，求的最大值．(2)當拋物線不經(jīng)過原點時，