2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)A-Level試卷考試時間：1小時30分鐘滿分：75分注意事項：本試卷為中國區(qū)域?qū)倬?，涵蓋純數(shù)（P1/P3）與統(tǒng)計（S1）模塊，不允許使用計算器。所有題目需在答題冊指定區(qū)域作答，寫在試卷上的答案無效。解答需寫出必要步驟，僅給出最終結(jié)果不得分。一、純數(shù)部分（共45分）1.代數(shù)與函數(shù)（10分）(a)已知函數(shù)(f(x)=\frac{2x^2-5x-3}{x^2-4})，求：函數(shù)的定義域；當(dāng)(x\to2^+)時的極限值；函數(shù)圖像的垂直漸近線方程。(b)解不等式組：[\begin{cases}|3x-1|\leq5\\frac{x^2-4x+3}{x+2}>0\end{cases}]并在數(shù)軸上表示解集。2.微積分（15分）(a)已知曲線(y=x^3-6x^2+9x+2)，求：曲線在點(x=2)處的切線方程；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點；曲線與x軸圍成的封閉圖形面積。(b)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)(n)，[1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2]3.三角函數(shù)與復(fù)數(shù)（12分）(a)在(\triangleABC)中，已知(AB=5)，(AC=7)，(\angleBAC=60^\circ)，求：(BC)的長度；(\sin\angleABC)的值。(b)設(shè)復(fù)數(shù)(z=2-2i)，(w=1+\sqrt{3}i)，計算：(z\cdotw)的模及輻角主值；在復(fù)平面內(nèi)，將(z)對應(yīng)的向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)(60^\circ)后得到的新復(fù)數(shù)。4.矩陣與線性代數(shù)（8分）(a)已知矩陣(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix})，求：(\mathbf{A})的逆矩陣(\mathbf{A}^{-1})；解矩陣方程(\mathbf{A}\mathbf{X}=\begin{pmatrix}5\11\end{pmatrix})。(b)某超市銷售甲、乙兩種商品，2025年10月銷售額（單位：萬元）矩陣為(\begin{pmatrix}12&15\8&10\end{pmatrix})，其中行表示分店（A、B），列表示商品（甲、乙）。若11月甲商品銷售額增長20%，乙商品增長10%，用矩陣乘法表示11月銷售額矩陣。二、統(tǒng)計部分（共30分）5.數(shù)據(jù)處理與概率（15分）(a)某中學(xué)隨機抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)月考成績（單位：分），數(shù)據(jù)如下：[\begin{array}{c|ccccc}\text{分數(shù)段}&[40,50)&[50,60)&[60,70)&[70,80)&[80,90)&[90,100]\\hline\text{頻數(shù)}&3&7&12&15&9&4\\end{array}]繪制頻率分布直方圖（要求標注坐標軸刻度）；計算樣本的中位數(shù)和平均數(shù)；若成績80分以上為“優(yōu)秀”，用樣本估計全校1200名學(xué)生中“優(yōu)秀”人數(shù)。(b)從5張分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5的卡片中隨機抽取2張（不放回），求：兩張卡片數(shù)字之和為偶數(shù)的概率；兩張卡片數(shù)字乘積大于10的概率。6.概率分布與統(tǒng)計推斷（15分）(a)某高鐵站每天客流量(X)（單位：千人）服從正態(tài)分布(N(20,4^2))，求：(P(16<X<28))；若日接待能力上限為25千人，求一天內(nèi)客流量超出上限的概率（參考數(shù)據(jù)：(\Phi(1)=0.8413)，(\Phi(1.25)=0.8944)，(\Phi(2)=0.9772)）。(b)為研究“線上學(xué)習(xí)時長”與“數(shù)學(xué)成績”的相關(guān)性，某機構(gòu)隨機調(diào)查10名學(xué)生，數(shù)據(jù)如下表：線上學(xué)習(xí)時長（小時/周）(x)46810121416182022數(shù)學(xué)成績（分）(y)65727885889092959698計算相關(guān)系數(shù)(r)（精確到0.01），并判斷相關(guān)性強弱；求(y)關(guān)于(x)的線性回歸方程(\hat{y}=\hat{a}x+\hat)（其中(\hat{a})精確到0.01，(\hat)精確到整數(shù)）；預(yù)測線上學(xué)習(xí)時長為15小時/周的學(xué)生數(shù)學(xué)成績。三、附加題（共10分，不計入總分，供參考）(a)證明：對于任意正實數(shù)(a,b,c)，(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{a+b+c}{2})。(b)某物流公司用無人機配送包裹，無人機在距離地面高度(h)處沿水平方向勻速飛行，當(dāng)觀測到地面目標點(P)時，俯角為(\theta)，繼續(xù)飛行(t)秒后俯角變?yōu)?\phi)，若無人機速度為(v)，用(h,\theta,\phi,v)表示(t)。命題說明：試卷嚴格遵循2025年CAIE與愛德思考試局中國區(qū)考綱，強化無計算器場景下的代數(shù)運算與邏輯推理（如第2(b)題數(shù)學(xué)歸納法）。融入本土化情境（