2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)城市學(xué)校試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((1,3])C.((2,3])D.([2,3])復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則實(shí)數(shù)(m=)（）A.-4B.-2C.2D.4函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+x^3}{x^2+1})的大致圖像為（）（選項(xiàng)圖略，提示：奇函數(shù)、定義域?yàn)镽、x→+∞時(shí)f(x)→+∞）已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，且(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha+\cos^2\alpha=)（）A.(\frac{3}{5})B.(\frac{6}{5})C.(\frac{9}{5})D.(\frac{12}{5})某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖和側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖為矩形，直角邊分別為3、4、5）A.10cm3B.20cm3C.30cm3D.40cm3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（程序框圖描述：初始S=0，i=1；循環(huán)i≤n時(shí)，S=S+1/(i(i+2))，i=i+2；輸出S）A.(\frac{5}{12})B.(\frac{7}{12})C.(\frac{9}{16})D.(\frac{11}{18})已知等比數(shù)列({a_n})的前n項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3|BF|，則直線l的斜率為（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm2\sqrt{2})C.(\pm3)D.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的最小正周期為(\pi)，且其圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱，則(\varphi=)（）A.(-\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{6})C.(-\frac{\pi}{3})D.(\frac{\pi}{3})在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面ABC，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(36\pi)D.(49\pi)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2ax+a,&x\leq0,\\lnx-ax,&x>0\end{cases})有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.((0,1))B.((1,+\infty))C.((0,\frac{1}{e}))D.((\frac{1}{e},1))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為_(kāi)_______。二項(xiàng)式((x-\frac{2}{x})^6)的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于A、B兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則k=________。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則數(shù)列({a_na_{n+1}})的前n項(xiàng)和(T_n=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列({a_n})的前n項(xiàng)和為(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前n項(xiàng)和(T_n)。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為d，由題意得：(\begin{cases}a_1+2d=5,\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\end{cases})解得(a_1=1)，(d=2)，故(a_n=2n-1)。（2）由（1）知(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n)，則(T_n=\frac{1}{2}(4^1+4^2+\cdots+4^n)=\frac{1}{2}\times\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{2(4^n-1)}{3})。18.（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，將成績(jī)分為[50,60)，[60,70)，…，[90,100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（1）求圖中a的值；（2）估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到0.1）；（3）若從成績(jī)?cè)赱50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績(jī)?cè)谕唤M的概率。解析：（1）由頻率分布直方圖得：((0.005+0.015+0.030+a+0.020)\times10=1)，解得(a=0.030)。（2）平均數(shù)(\overline{x}=55\times0.05+65\times0.15+75\times0.3+85\times0.3+95\times0.2=78.5)；設(shè)中位數(shù)為m，由(0.05+0.15+0.3=0.5)，得中位數(shù)為75.0。（3）成績(jī)?cè)赱50,60)的學(xué)生有5人，[90,100]的學(xué)生有20人，共25人。從25人中抽2人，共有(C_{25}^2=300)種可能；2人在同一組的可能數(shù)為(C_5^2+C_{20}^2=10+190=200)，故概率(P=\frac{200}{300}=\frac{2}{3})。19.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=BC=AA_1=2)，(\angleABC=90^\circ)，D為AC的中點(diǎn)。（1）求證：(B_1C\parallel)平面(A_1BD)；（2）求二面角(A-A_1B-D)的余弦值。解析：（1）連接(AB_1)交(A_1B)于點(diǎn)O，連接OD。在直三棱柱中，O為(AB_1)中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，故OD為(\triangleAB_1C)的中位線，則(OD\parallelB_1C)，又(OD\subset)平面(A_1BD)，(B_1C\not\subset)平面(A_1BD)，所以(B_1C\parallel)平面(A_1BD)。（2）以B為原點(diǎn)，BA、BC、BB1為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(A(2,0,0))，(A_1(2,0,2))，(B(0,0,0))，(D(1,1,0))。(\vec{BA_1}=(2,0,2))，(\vec{BD}=(1,1,0))，設(shè)平面(A_1BD)的法向量(\vec{n}=(x,y,z))，則(\begin{cases}2x+2z=0,\x+y=0\end{cases})，取(x=1)，得(\vec{n}=(1,-1,-1))。平面(AA_1B)的法向量(\vec{m}=(0,1,0))，則(\cos\theta=\frac{|\vec{m}\cdot\vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})，故二面角(A-A_1B-D)的余弦值為(\frac{\sqrt{3}}{3})。20.（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(P(0,2))的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，求直線l的方程。解析：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2)。將點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）設(shè)直線l的方程為(y=kx+2)，與橢圓聯(lián)立得：((1+4k^2)x^2+16kx+8=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{16k}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{8}{1+4k^2})。由以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，得(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=x_1x_2+y_1y_2=0)，又(y_1y_2=(kx_1+2)(kx_2+2)=k^2x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4)，代入得((1+k^2)x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4=0)，解得(k^2=\frac{3}{2})，即(k=\pm\frac{\sqrt{6}}{2})，故直線l的方程為(y=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}x+2)。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\inR)）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，定義域?yàn)?(0,+\infty))，(f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2)。令(g(x)=\lnx-2x+2)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2)，當(dāng)(x\in(0,\frac{1}{2}))時(shí)，(g'(x)>0)，(g(x))單調(diào)遞增；當(dāng)(x\in(\frac{1}{2},+\infty))時(shí)，(g'(x)<0)，(g(x))單調(diào)遞減。(g(\frac{1}{2})=\ln\frac{1}{2}-1+2=1-\ln2>0)，(g(1)=0-2+2=0)，故當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))單調(diào)遞增；當(dāng)(x\in(1,+\infty))時(shí)，(f'(x)<0)，(f(x))單調(diào)遞減。（2）(f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1))，由題意知(f'(1)=0)，且在x=1附近左側(cè)(f'(x)>0)，右側(cè)(f'(x)<0)。令(h(x)=\lnx-2a(x-1))，則(h'(x)=\frac{1}{x}-2a)。①若(a\leq0)，則(h'(x)>0)，(h(x))在((0,+\infty))單調(diào)遞增，當(dāng)(x\in(0,1))時(shí)，(h(x)<h(1)=0)，不符合題意；②若(a>0)，令(h'(x)=0)得(x=\frac{1}{2a})，當(dāng)(\frac{1}{2a}>1)即(0<a<\frac{1}{2})時(shí)，(h(x))在((0,1))單調(diào)遞增，在((1,\frac{1}{2a}))單調(diào)遞減，此時(shí)(h(x)<h(1)=0)在(x>1)時(shí)成立，符合題意；當(dāng)(\frac{1}{2a}=1)即(a=\frac{1}{2})時(shí)，(h'(x)\leq0)，(h(x))單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)(\frac{1}{2a}<1)即(a>\frac{1}{2})時(shí)，(h(x))在((1,+\infty))單調(diào)遞減，(h(x)<0)，但在(x\in(\frac{1}{2a},1))時(shí)(h(x)>0)，不符合題意。綜上，(a\in(0,\frac{1}{2}))。22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\inR)）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\inR)恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；（3）在（2）的條件下，證明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\inN^*)）。解析：（1）(f'(x)=e^x-a)，當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))在R上單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時(shí)，令(f'(x)