2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)知識(shí)與技能試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,+∞)C.[2,3]D.[1,3]函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和對(duì)稱軸方程分別是（）A.π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)B.2π，x=kπ+π/12(k∈Z)C.π，x=kπ/2+π/6(k∈Z)D.2π，x=kπ+π/6(k∈Z)已知數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，a?=1，a?+a?=14，則數(shù)列{a?}的前10項(xiàng)和S??=（）A.100B.110C.120D.130某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則實(shí)數(shù)m=（）A.-3B.-1C.1D.3已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(diǎn)(2,√3)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/2-y2/4=1C.x2/1-y2/2=1D.x2/4-y2/8=1函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值分別是（）A.2，-2B.2，0C.0，-2D.1，-2從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.100種C.120種D.140種已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，則k=（）A.±√3/3B.±1C.±√3D.±2已知函數(shù)f(x)=2^x+a·2^(-x)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（）A.-1B.0C.1D.2在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√13C.√19D.√23某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試，得到如下頻率分布直方圖：則這100名學(xué)生數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A.75，73B.75，74C.76，73D.76，74二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）計(jì)算：log?8+2^(-1)-(π-3)^0=________.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，若f(a)=f(3)，則a=________.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長為________.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=x2，則f(2025)=________.三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足sinA+sinB=2sinC，a=2b.（1）求cosC的值；（2）若△ABC的面積為3√15/4，求c的值.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1(n∈N*).（1）證明：數(shù)列{a?+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和S?.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E分別是棱BC，B?C?的中點(diǎn).（1）求證：DE//平面A?ABB?；（2）求三棱錐A?-BDE的體積.（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x(a∈R).（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為40元，銷售單價(jià)為60元，該廠為了擴(kuò)大銷售，決定在原來的基礎(chǔ)上降價(jià)銷售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每降低1元，月銷售量就增加10件.（1）設(shè)銷售單價(jià)降低x元，月銷售利潤為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)降低多少元時(shí)，月銷售利潤最大？最大月銷售利潤是多少？（3）為了使月銷售利潤不低于5000元，且盡可能地減少庫存，銷售單價(jià)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.A3.B4.D5.A6.C7.A8.B9.A10.C11.A12.B二、填空題314.115.816.1三、解答題解：（1）由正弦定理得a+b=2c，又a=2b，所以2b+b=2c，即c=3b/2.由余弦定理得cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4b2+b2-9b2/4)/(2×2b×b)=(11b2/4)/(4b2)=11/16.（2）由（1）知cosC=11/16，所以sinC=√(1-cos2C)=√(1-121/256)=√135/16=3√15/16.因?yàn)椤鰽BC的面積為3√15/4，所以1/2absinC=3√15/4，即1/2×2b×b×3√15/16=3√15/4，解得b2=4，即b=2.所以c=3b/2=3×2/2=3.（1）證明：因?yàn)閍???=2a?+1，所以a???+1=2(a?+1).又a?+1=2，所以數(shù)列{a?+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知a?+1=2×2^(n-1)=2^n，所以a?=2^n-1.所以S?=(2^1-1)+(2^2-1)+...+(2^n-1)=(2^1+2^2+...+2^n)-n=2(2^n-1)/(2-1)-n=2^(n+1)-n-2.（1）證明：連接A?B，因?yàn)镈，E分別是棱BC，B?C?的中點(diǎn)，所以DE//A?B.又DE?平面A?ABB?，A?B?平面A?ABB?，所以DE//平面A?ABB?.（2）解：因?yàn)锳B=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=√(AB2+AC2)=√(4+4)=2√2，所以BD=BC/2=√2.因?yàn)槿庵鵄BC-A?B?C?是直三棱柱，所以AA?⊥平面ABC，所以AA?是三棱錐A?-BDE的高，且AA?=2.因?yàn)镈，E分別是棱BC，B?C?的中點(diǎn)，所以S△BDE=S△ABC/4=1/2×2×2/4=1/2.所以三棱錐A?-BDE的體積V=1/3×S△BDE×AA?=1/3×1/2×2=1/3.（1）解：因?yàn)闄E圓C的離心率為√2/2，所以c/a=√2/2，即c=√2a/2.又a2=b2+c2，所以a2=b2+a2/2，即a2=2b2.因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(1,√2/2)，所以1/a2+(√2/2)2/b2=1，即1/2b2+1/2b2=1，解得b2=1，所以a2=2.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1.（2）解：設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，聯(lián)立方程組{x2/2+y2=1,y=kx+m,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.所以x?+x?=-4km/(1+2k2)，x?x?=(2m2-2)/(1+2k2).因?yàn)镺A⊥OB，所以x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0，整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0.所以(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=0，整理得3m2=2k2+2，即m2=(2k2+2)/3.因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)=16k2m2-8(1+2k2)(m2-1)=16k2×(2k2+2)/3-8(1+2k2)((2k2+2)/3-1)=32k2(k2+1)/3-8(1+2k2)(2k2-1)/3=32k^4+32k2-16k^4+8/3=16k^4+32k2+8/3>0恒成立.所以|AB|=√(1+k2)√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+k2)√[16k2m2/(1+2k2)2-4(2m2-2)/(1+2k2)]=√(1+k2)√[16k2×(2k2+2)/3/(1+2k2)2-4(2×(2k2+2)/3-2)/(1+2k2)]=√(1+k2)√[32k2(k2+1)/3(1+2k2)2-4(4k2+4-6)/3(1+2k2)]=√(1+k2)√[32k2(k2+1)/3(1+2k2)2-4(4k2-2)/3(1+2k2)]=√(1+k2)√[32k^4+32k2-16k^4+8/3(1+2k2)2]=√(1+k2)√[16k^4+32k2+8/3(1+2k2)2]=√(1+k2)√[8(2k^4+4k2+1)/3(1+2k2)2]=√(1+k2)×2√6√(2k^4+4k2+1)/3(1+2k2).點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√[(2k2+2)/3]/√(1+k2)=√[2(k2+1)/3]/√(1+k2)=√6/3.所以△AOB的面積S=1/2×|AB|×d=1/2×√(1+k2)×2√6√(2k^4+4k2+1)/3(1+2k2)×√6/3=1/2×√(1+k2)×12√(2k^4+4k2+1)/9(1+2k2)=2√(1+k2)√(2k^4+4k2+1)/3(1+2k2).令t=1+2k2(t≥1)，則k2=(t-1)/2，所以S=2√(1+(t-1)/2)√(2((t-1)/2)^2+4((t-1)/2)+1)/3t=2√((t+1)/2)√(2(t2-2t+1)/4+2(t-1)+1)/3t=2√((t+1)/2)√((t2-2t+1)/2+2t-2+1)/3t=2√((t+1)/2)√((t2-2t+1+4t-4+2)/2)/3t=2√((t+1)/2)√((t2+2t-1)/2)/3t=2√[(t+1)(t2+2t-1)]/4/3t=√[(t+1)(t2+2t-1)]/3t.令f(t)=(t+1)(t2+2t-1)/t2=(t3+2t2-t+t2+2t-1)/t2=(t3+3t2+t-1)/t2=t+3+1/t-1/t2，t≥1.則f'(t)=1-1/t2+2/t3=(t3-t+2)/t3.因?yàn)閠≥1，所以t3-t+2≥1-1+2=2>0，所以f'(t)>0，即f(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)t=1時(shí)，f(t)取得最小值，最小值為f(1)=(1+1)(1+2-1)/1=2×2=4，所以S=√f(t)/3≥√4/3=2/3.所以△AOB面積的最大值為2/3.（1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xlnx-x2+x，所以f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2.令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2.當(dāng)x∈(0,1/2)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.所以g(x)≤g(1/2)=ln(1/2)-2×(1/2)+2=-ln2-1+2=1-ln2>0，所以f'(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）解：f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，即lnx-2ax+2a≤0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立，整理得2a(x-1)≥lnx在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.當(dāng)x=1時(shí)，0≥0，不等式恒成立.當(dāng)x>1時(shí)，2a≥lnx/(x-1)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.令h(x)=lnx/(x-1)(x>1)，則h'(x)=(1/x(x-1)-lnx)/(x-1)2=(x-1-xlnx)/x(x-1)2.令φ(x)=x-1-xlnx(x>1)，則φ'(x)=1-(lnx+1)=-lnx<0，所以φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.所以φ(x)<φ(