小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與運算”教學(xué)的整體性與一致性淺析

[摘

要]

“數(shù)與運算”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要主題之一，2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準指出，數(shù)的認識與數(shù)的運算均要以“計數(shù)單位”為核心要素進行統(tǒng)領(lǐng)，體現(xiàn)教學(xué)的整體性與一致性。本文對“數(shù)與運算”教學(xué)的整體性與一致性內(nèi)涵進行分析，在教學(xué)實施中應(yīng)凸顯計數(shù)單位，認識數(shù)的本質(zhì)一致性；發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，感悟數(shù)的運算一致性；梳理教學(xué)內(nèi)容，整體建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的視角看待數(shù)與運算，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識體系的理解和建構(gòu)，鍛煉數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。[關(guān)鍵詞]

數(shù)與運算；整體性；一致性在小學(xué)階段，“數(shù)與代數(shù)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，包括“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個主題?！皵?shù)與運算”包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的認識及其四則運算?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》指出，“數(shù)與運算”的教學(xué)要讓學(xué)生在認識整數(shù)的基礎(chǔ)上，認識小數(shù)和分數(shù)，通過數(shù)的認識和數(shù)的運算有機結(jié)合，感悟計數(shù)單位的意義和在運算中的作用，感悟運算的一致性。[\o""[i]]數(shù)與運算的一致性都是基于計數(shù)單位的，無論是從整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)到有理數(shù)，還是從加、減、乘、除四則運算到混合運算，均以“計數(shù)單位”為核心要素。因此，在“數(shù)與運算”的主題教學(xué)中，需以“計數(shù)單位”這一核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，體現(xiàn)教學(xué)的整體性和一致性。一、數(shù)與運算的整體性與一致性內(nèi)涵分析（一）“數(shù)的認識”的整體性與一致性小學(xué)階段“數(shù)的認識”包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的認識，雖然在表現(xiàn)形式上不盡相同，但在本質(zhì)上都具有抽象的特征，即從具體的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系中抽象出數(shù)。整數(shù)的認識是從數(shù)量抽象為數(shù)，小數(shù)和分數(shù)是對具體的數(shù)量及關(guān)系的抽象、刻畫與表征。在數(shù)的認識中，教師要幫助學(xué)生理解十進制計數(shù)法，感悟整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)單位的十進關(guān)系，感悟分數(shù)單位，進一步形成數(shù)感?！皵?shù)的認識”是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的核心概念之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起始，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的知識基礎(chǔ)。從數(shù)概念的形成和組成角度來看，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)都是基于“計數(shù)單位”建構(gòu)的，本質(zhì)上是一個整體，具有一致性。整數(shù)的認識以自然數(shù)為基礎(chǔ)，即表示物體個數(shù)的1、2、3……這樣的數(shù)，當自然數(shù)擴展到“0”便是小學(xué)階段的“整數(shù)”概念，整數(shù)的計數(shù)單位是個、十、百、千......小數(shù)是為了表示比“個（一）”更小的數(shù)量，將“個（一）”進一步平均細分成10份、100份、1000份……得到更小的計數(shù)單位（0.1）、（0.01）、（0.001）……分數(shù)與小數(shù)相似，但分數(shù)比小數(shù)更具一般性，可以平均分成任意份而不局限于平均分成10n份，得到、、……這樣的計數(shù)單位，從而實現(xiàn)對更廣泛的數(shù)量的表達。[\o""[ii]]不同的是，整數(shù)和小數(shù)相鄰計數(shù)單位間的進率都是“10”，這種計數(shù)方式為十進制計數(shù)法，而分數(shù)的進制取決于分數(shù)單位，通?？捶謹?shù)的分母，由分數(shù)單位確定“滿幾進一”。由于小數(shù)的計數(shù)單位也是十進制的，與整數(shù)的表述和結(jié)構(gòu)“形似”，教材和教學(xué)中往往將整數(shù)的經(jīng)驗直接遷移到小數(shù)的學(xué)習(xí)中，這也體現(xiàn)了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常常是“從特殊到一般”。從不同數(shù)域體會數(shù)的本質(zhì)意義，盡管整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的概念不同，但其最終結(jié)構(gòu)都可以表述為“幾個計數(shù)單位的組合”。其表達形式的一致性是“多少個計數(shù)單位”，表達內(nèi)容是“有幾個計數(shù)單位”。整體來看，“計數(shù)單位”是數(shù)的概念及其構(gòu)成的核心，當用計數(shù)單位來表達一個數(shù)時，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)，都具有高度的一致性。（二）“數(shù)的運算”的整體性與一致性數(shù)的運算包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的四則運算。運算的對象為整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)，運算的意義為加法、減法、乘法、除法運算的含義。從算理、算法的視角看，無論是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的哪一種運算，都最終指向計數(shù)單位的累加、遞減、創(chuàng)生和細分。這里的創(chuàng)生是指原有運算對象中的計數(shù)單位不能滿足運算的需要而必須創(chuàng)造產(chǎn)生新的計數(shù)單位再運作于運算的過程。[\o""[iii]]數(shù)的每一種運算不是獨立存在的，如小數(shù)、分數(shù)的加、減、乘、除運算都可以和整數(shù)的加、減、乘、除運算建立聯(lián)系，使學(xué)生初步感悟運算的整體性與一致性。在整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的加減法運算中，整數(shù)加減是數(shù)位對齊（末尾對齊），相同數(shù)位上的數(shù)相加減；小數(shù)加減是小數(shù)點對齊，相同數(shù)位上的數(shù)相加減；分數(shù)加減是同分母時分母不變、分子相加減，異分母時先通分再按同分母分數(shù)計算。但這些不同的表述僅僅是基于操作程序的算法總結(jié)，并非具有共通性的算理，其實質(zhì)是：把數(shù)轉(zhuǎn)化為基于計數(shù)單位的表達，例如,256=2個百+5個十+6個一，0.56=5個0.1+6個0.01，=7個

。加減實際上是“計數(shù)單位個數(shù)的加減”，所以計數(shù)單位也是計算的核心要素。從基于計數(shù)單位的表達來看，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加減運算的本質(zhì)是一致的。在整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的乘除法運算中，基礎(chǔ)是乘法，而除法是乘法的逆運算。如果把數(shù)轉(zhuǎn)化為基于計數(shù)單位的表達，那么整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)乘法的共同點是都包含兩類計算——計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)相乘，從而獲得新的計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)。例如，0.3×0.5=（3×5）×（0.1×0.1）=15×0.01=0.15，×=（4×3）×（×）=12×=

。因此，整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的乘法運算在算理上是一致的。關(guān)于除法運算的一致性存在著不同的理解思路。史寧中先生在《關(guān)于除數(shù)是分數(shù)或者小數(shù)除法的一個注》中指出，除法運算的一致性要關(guān)注兩個方面：乘除法運算的一致性和整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)運算的一致性。小數(shù)可以寫成十進制的分數(shù)，分數(shù)的除法要把乘除法看作一個整體，根據(jù)除法是乘法的逆運算來推導(dǎo)，并且以“等式性質(zhì)”為支持，得到“除以一個不為0的數(shù)等價于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，然后以此關(guān)聯(lián)整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的除法運算，體現(xiàn)一致性。[\o""[iv]]而從運算算理的、算法上分析，除法運算的一致性體現(xiàn)在：計數(shù)單位與計數(shù)單位相除，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相除。從運算意義上分析，加法是運算意義的基礎(chǔ)，減法、乘法、除法都是在加法基礎(chǔ)上衍生而來，那么除法與加法、減法、乘法之間也是有一致性的，都是對計數(shù)單位進行操作。[\o""[v]]分數(shù)除法和小數(shù)除法一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，強調(diào)算理一致性的教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)化的過程，感知數(shù)學(xué)的整體性。因此，要構(gòu)建對數(shù)運算一致性的全局性理解，就要用整體的眼光看待數(shù)的運算，發(fā)揮“計數(shù)單位”的統(tǒng)領(lǐng)作用，縱向探索整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)運算的一致性，橫向打通四則運算的一致性，從而達到算理貫通、算法統(tǒng)整的目標，促進學(xué)生理解與感悟數(shù)的運算一致性。二、數(shù)與運算的整體性與一致性教學(xué)實施（一）凸顯計數(shù)單位，認識數(shù)的本質(zhì)一致性在數(shù)的認識教學(xué)中，理解數(shù)的概念，關(guān)鍵是數(shù)的結(jié)構(gòu)，即以計數(shù)單位為基本要素的數(shù)的組成，在計數(shù)單位的統(tǒng)領(lǐng)下進一步建構(gòu)數(shù)的體系。同時，從不同數(shù)域體會數(shù)的本質(zhì)意義，感悟數(shù)概念形成與發(fā)展的一致性。1.從不同形式的表達中提煉基于計數(shù)單位的統(tǒng)一表達數(shù)的認識包括數(shù)的抽象、計數(shù)法、數(shù)的讀寫、數(shù)的大小比較等，在這些環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師都可以滲透“計數(shù)單位”，引領(lǐng)學(xué)生不斷感悟數(shù)概念的一致性，體會數(shù)的本質(zhì)。例如，蘇教版二年級下冊“認識萬以內(nèi)的數(shù)”，先讓學(xué)生自主表達對一個數(shù)的理解，在學(xué)生多樣化表達的基礎(chǔ)上進行提煉，體會基于計數(shù)單位的統(tǒng)一表達，以324為例，如圖：學(xué)生自主進行表達時，可以利用方格、算珠、數(shù)軸等各種方式，在此基礎(chǔ)上進行數(shù)學(xué)化總結(jié)提升，體會基于計數(shù)單位的統(tǒng)一表達，即324=3個百+2個十+4個一。在進行數(shù)數(shù)活動時，從800數(shù)到1000，當學(xué)生能一個一個數(shù)，也能十個十個數(shù)，并且都能正確數(shù)出來時，教師不能僅僅停留在數(shù)正確的層面，在學(xué)生數(shù)完數(shù)之后，可以進一步比較、討論這些數(shù)法的異同，讓學(xué)生感受到雖然數(shù)法不同，但是它們都在用計數(shù)單位數(shù)數(shù)，數(shù)的是這些計數(shù)單位的個數(shù)，讓學(xué)生邊數(shù)數(shù)邊思考，感受數(shù)是由不同計數(shù)單位和計數(shù)單位個數(shù)組成的。2.在不同的數(shù)域中感悟數(shù)概念本質(zhì)的一致性在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識的結(jié)構(gòu)呈螺旋式上升，由具體到抽象，由簡單到復(fù)雜。數(shù)的認識在教材中的安排也是如此，初步認識了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)之后，再深入學(xué)習(xí)更大的整數(shù)、小數(shù)的意義和性質(zhì)、分數(shù)的意義和性質(zhì)。隨著學(xué)生對數(shù)概念學(xué)習(xí)的不斷深入，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)之間的聯(lián)系，通過對比、歸納、提問、討論等方式引發(fā)學(xué)生深度思考數(shù)的本質(zhì)問題，讓學(xué)生體會數(shù)概念的一致性，體會計數(shù)單位及其個數(shù)的價值，為感悟運算的一致性奠定基礎(chǔ)。[\o""[vi]]比如小數(shù)的讀法，為什么小數(shù)0.56讀作零點五六而不是讀作零點五十六？教師要引導(dǎo)學(xué)生討論整數(shù)與小數(shù)的讀法看似不同，實則本質(zhì)相同，感悟整數(shù)與小數(shù)的讀法本質(zhì)上都是讀出計數(shù)單位及計數(shù)單位的個數(shù)，讓學(xué)生體會整數(shù)和小數(shù)概念本質(zhì)上是一致的，從而建立整數(shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系。再比如，蘇教版全套教材共安排了三次認識分數(shù)，分別是三年級上冊“分數(shù)的初步認識（一）”、三年級下冊“分數(shù)的初步認識（二）”和五年級下冊“分數(shù)的意義和性質(zhì)”。在第三次學(xué)習(xí)分數(shù)時，教材對分數(shù)單位的闡述只有一句話：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分數(shù)。表示其中一份的數(shù)，叫作分數(shù)單位。這句話沒有很清晰地將分數(shù)單位對于分數(shù)意義的重要性揭示出來，只闡明了分數(shù)單位是一個“數(shù)”，以至于在很多課堂中，分數(shù)單位的教學(xué)不夠深入，僅處于“了解”的水平。分數(shù)的認識要層層深入，一是對分數(shù)單位的理解，分數(shù)是由若干個分數(shù)單位構(gòu)成的，如是由3個構(gòu)成，是由7個構(gòu)成；二是會基于分數(shù)單位對分數(shù)進行表達，如

=4個，3=3個1+4個；三是明確“分數(shù)單位”就是分數(shù)的“計數(shù)單位”，和整數(shù)中的“個”“十”“百”……小數(shù)中的“0.1”“0.01”“0.001”……這些計數(shù)單位的意義是一致的。此時的學(xué)生已經(jīng)認識過整數(shù)和小數(shù)，這樣從整體上進行理解把握，計數(shù)單位的重要性才能凸顯，才能深刻理解數(shù)的本質(zhì)一致性。（二）發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系，感悟數(shù)的運算一致性建立數(shù)與運算之間的聯(lián)系，體會數(shù)的運算的一致性，可以基于運算律、等式的基本性質(zhì)和計數(shù)單位，發(fā)揮計數(shù)單位在數(shù)的運算中的統(tǒng)領(lǐng)作用，使學(xué)生經(jīng)歷運算意義、算理和算法的探索過程，整體設(shè)計教學(xué)。數(shù)的運算的教學(xué)，要在當前“體現(xiàn)聯(lián)系、重視溝通”的基礎(chǔ)上再深入一步，重視用計數(shù)單位來表達與轉(zhuǎn)化計算過程，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在關(guān)聯(lián)。使學(xué)生對整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)運算的一致性理解不是停留在“類比”、“相當于”的層面，而是領(lǐng)會其本質(zhì)上的一致性。例如，在加法運算中，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加法運算過程可以統(tǒng)一表示為將計數(shù)單位的個數(shù)相加。又如，在乘法運算中，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的乘法運算過程可以統(tǒng)一表示為個數(shù)乘以個數(shù)，計數(shù)單位乘以計數(shù)單位。從以上轉(zhuǎn)化過程可以看出運算本質(zhì)的一致性，減法、除法同樣可以通過這樣的轉(zhuǎn)化實現(xiàn)一致性的理解。（三）梳理教學(xué)內(nèi)容，整體建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)數(shù)與運算的一致性理解，并不是某節(jié)課或某幾個知識點的教學(xué)改進，它是一項整體設(shè)計，是整體性與結(jié)構(gòu)化理念的體現(xiàn)。相信根據(jù)2022年版新課標修訂的教材會對以上內(nèi)容有很好的布局和設(shè)計，但是目前來看，基于現(xiàn)行教材學(xué)習(xí)運算的經(jīng)歷，學(xué)生缺少有序和系統(tǒng)的數(shù)的運算一致性理解的經(jīng)驗。在新課標、舊教材的背景之下，更應(yīng)重視教學(xué)內(nèi)容的整體性，用結(jié)構(gòu)化理念組織教學(xué)內(nèi)容。趙莉、吳正憲、史寧中在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)認識與運算一致性的研究與實踐——以“數(shù)與運算”總復(fù)習(xí)為例》一文中給予了我們啟示：可以利用練習(xí)課和復(fù)習(xí)課，特別是復(fù)習(xí)課的時間，對數(shù)的概念和數(shù)的運算知識進行梳理，將基于計數(shù)單位表達的算理、算法與現(xiàn)行教材進行溝通，擴大學(xué)生的視野，體會運算的一致性。[\o""[vii]]在小數(shù)除法運算中，以12.6÷0.3為例，如圖：以上梳理不僅溝通了運用商不變性質(zhì)轉(zhuǎn)化成整數(shù)再除的小數(shù)除法計算方法，與基于計數(shù)單位表達的小數(shù)除法計算方法相聯(lián)系，而且使得小數(shù)除法的算理與整數(shù)除法始終保持一致。數(shù)的認識和數(shù)的運算基于計數(shù)單位的一致性理解，對于突出數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)聯(lián)系，體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的整體性和結(jié)構(gòu)化具有重要意義，同時它是一項系統(tǒng)工程，與“數(shù)與運算”主題內(nèi)容的布局調(diào)整和相應(yīng)的教材設(shè)計密切相關(guān)。因此，