1/12019-2021北京重點(diǎn)區(qū)高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編函數(shù)的概念及其表示章節(jié)綜合一、單選題1．（2019·北京朝陽·高一期末）下列函數(shù)中，值域是的是A． B．C． D．2．（2020·北京朝陽·高一期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值不恒為正，則在下列函數(shù)中，只可能是（）A． B．C． D．3．（2020·北京西城·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．二、雙空題4．（2019·北京海淀·高一期末）已知函數(shù)（Ⅰ）若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________；（Ⅱ）稱實(shí)數(shù)為函數(shù)的包容數(shù)，如果函數(shù)滿足對任意，都存在，使得.在①；②；③；④；⑤中，函數(shù)的包容數(shù)是________．（填出所有正確答案的序號）5．（2019·北京朝陽·高一期末）已知函數(shù)．若在上是單調(diào)函數(shù)，則______；若對任意實(shí)數(shù)k，方程都有解，則a的取值范圍是______．6．（2019·北京東城·高一期末）已知函數(shù)．______．若方程有且只有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．7．（2021·北京市第四中學(xué)順義分校高一期末）已知函數(shù)，那么_________;當(dāng)函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.8．（2020·北京東城·高一期末）已知函數(shù)，則_____；若，則實(shí)數(shù)_____．9．（2020·北京西城·高一期末）函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是_____；滿足f(x0)＞1的x0的取值范圍是_____．三、填空題10．（2019·北京海淀·高一期末）已知，則_____11．（2019·北京東城·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．12．（2021·北京東城·高一期末）函數(shù)的定義域?yàn)開_______．四、解答題13．（2019·北京朝陽·高一期末）如果函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上的值域恰為，則稱函數(shù)為上的等域函數(shù)，稱為函數(shù)的一個等域區(qū)間．Ⅰ已知函數(shù)，其中且，，．當(dāng)時，若函數(shù)是上的等域函數(shù)，求的解析式；證明：當(dāng)，時，函數(shù)不存在等域區(qū)間；Ⅱ判斷函數(shù)是否存在等域區(qū)間？若存在，寫出該函數(shù)的一個等域區(qū)間；若不存在，請說明理由．14．（2020·北京西城·高一期末）設(shè)函數(shù)其中P，M是非空數(shù)集．記f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝?，且f(x)是定義在R上的增函數(shù)，求集合P，M；（Ⅲ）判斷命題“若P∪M≠R，則f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以證明．15．（2019·北京朝陽·高一期末）已知函數(shù)，．Ⅰ當(dāng)時，求的最大值；Ⅱ若函數(shù)為偶函數(shù)，求m的值；Ⅲ設(shè)函數(shù)，若對任意，總有，使得，求m的取值范圍．16．（2021·北京東城·高一期末）已知函數(shù)（Ⅰ）求的值并直接寫出的零點(diǎn)；（Ⅱ）用定義證明在區(qū)間上為減函數(shù).17．（2021·北京朝陽·高一期末）設(shè)函數(shù)，且.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若關(guān)于的方程恰有三個實(shí)數(shù)解，寫出實(shí)數(shù)的取值范圍（不必證明）.18．（2019·北京東城·高一期末）已知函數(shù)．Ⅰ畫出的圖象；Ⅱ根據(jù)圖象寫出的值域、單調(diào)區(qū)間．

參考答案1．D【分析】利用不等式性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性對選項(xiàng)依次求值域即可．【詳解】對于A：的值域?yàn)椋粚τ贐：，，，的值域?yàn)?；對于C：的值域?yàn)?；對于D：，，，的值域?yàn)?；故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查函數(shù)值域的求法，考查不等式性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性，是一道基礎(chǔ)題．2．C【解析】逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).【詳解】對于A，當(dāng)時，的值域?yàn)?；對于B，當(dāng)時，的值域?yàn)?；對于C，因?yàn)楫?dāng)時，，故的值域?yàn)椋缘暮瘮?shù)值不恒為正；對于D，當(dāng)時，的取值范圍為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查在給定范圍上的函數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)判斷，一般地，可結(jié)合解析式的具體形式選擇合適的方法求出函數(shù)的值域即可，本題屬于中檔題.3．D【解析】根據(jù)偶次方根被開方數(shù)非負(fù)、分母不為0，可建立等式關(guān)系，進(jìn)而可求出函數(shù)的定義域.【詳解】由題意，可得，解得或.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.4．Ⅰ或Ⅱ②③【分析】Ⅰ考慮指數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍；Ⅱ由題意可得的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹謩e討論五種情況，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的單調(diào)性，求得值域，即可判斷．【詳解】Ⅰ函數(shù)，由時，，無零點(diǎn)；若時，，當(dāng)時，，無零點(diǎn)；當(dāng)時，由，即，由時，遞增，可得，由，可得，無零點(diǎn)；綜上可得或；Ⅱ由題意可得的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹?，?dāng)時，由時，；由時，，，，不滿足題意；當(dāng)時，由時，；由時，，，滿足題意；當(dāng)時，由時，；由時，，，滿足題意；當(dāng)時，由時，；由時，，，不滿足題意；當(dāng)時，由時，；由時，，，不滿足題意．綜上可得函數(shù)的包容數(shù)是②③．故答案為或；②③．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題和函數(shù)的任意性、存在性問題解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．0【分析】作出函數(shù)的圖象，由單調(diào)性的定義，結(jié)合圖象可得a的值；由題意可得的值域?yàn)镽，由，解得或，討論，時，時，函數(shù)的圖象和值域是否為R，即可得到所求范圍．【詳解】作出函數(shù)的圖象，在上是單調(diào)函數(shù)，可得，而的對稱軸為，可得在R上遞增，即有；對任意實(shí)數(shù)k，方程都有解，即恒有解，即直線和的圖象恒有交點(diǎn)，可得的值域?yàn)镽，由時，時，；時，遞增，且，不成立；由，解得或，當(dāng)時，由圖象可得的值域?yàn)镽，當(dāng)時，由圖象可得的值域不為R，綜合可得a的范圍是故答案為0，【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．6．4【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，直接代入即可求出當(dāng)，，時，函數(shù)的解析式和圖象，利用的交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，作出函數(shù)的圖象如圖，其中，，，，設(shè)直線，當(dāng)分別過，，時，則，，得，，得，由圖象知要使方程有且只有一個實(shí)根，則在A，B之間的區(qū)域，即，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為4，．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，求出函數(shù)的解析式，作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．7．【解析】由可得結(jié)果，函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與的圖象僅有三個交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得答案.【詳解】函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與的圖象僅有三個交點(diǎn).作出函數(shù)的圖象,如圖.由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與的圖象有三個交點(diǎn).所以函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：；8．或【解析】結(jié)合已知函數(shù)解析式,把代入即可求解,結(jié)合已知函數(shù)解析式及,對進(jìn)行分類討論分別求解．【詳解】,則；,①當(dāng)時,可得,即,②當(dāng)時,可得,即,綜上可得或．故答案為：；或【點(diǎn)睛】本題考查了求分段函數(shù)的函數(shù)值的問題,解題時應(yīng)對自變量進(jìn)行分析,是基礎(chǔ)題．9．2（﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】直接解方程求出零點(diǎn)即可知零點(diǎn)個數(shù)，注意分段函數(shù)分段求解．解不等式f(x0)＞1也同樣由函數(shù)解析式去求解．【詳解】時，，，當(dāng)時，，共2個零點(diǎn)，即零點(diǎn)個數(shù)為2；當(dāng)時，，，當(dāng)時，，即，∴的的取值范圍是．故答案為：2；．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)，已知分段函數(shù)值求自變量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范圍即可．10．2【分析】由，得，由此能求出結(jié)果．【詳解】，．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．11．【分析】且解不等式即可．【詳解】且，由此解得,故填【點(diǎn)睛】求函數(shù)的定義域是基本考點(diǎn)，根式下面的值要大于等于0．12．【解析】解不等式組可得答案.【詳解】由函數(shù)有意義得，解得且.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)解析式，求函數(shù)定義域的方法：1、有分式時：分母不為0；2、有根號時：開奇次方，根號下為任意實(shí)數(shù)，開偶次方，根號下大于或等于0；3、有指數(shù)時：當(dāng)指數(shù)為0時，底數(shù)一定不能為0；4、有根號與分式結(jié)合時，根號開偶次方在分母上時：根號下大于0；5、有指數(shù)函數(shù)形式時：底數(shù)和指數(shù)都含有，指數(shù)底數(shù)大于0且不等于1；6、有對數(shù)函數(shù)形式時，自變量只出現(xiàn)在真數(shù)上時，只需滿足真數(shù)上所有式子大于0，自變量同時出現(xiàn)在底數(shù)和真數(shù)上時，要同時滿足真數(shù)大于0，底數(shù)要大0且不等于1.13．(Ⅰ)；見證明；(Ⅱ)見解析【分析】Ⅰ當(dāng)時，若函數(shù)是上的等域函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，建立方程關(guān)系，進(jìn)行求解即可；當(dāng)，時，根據(jù)等域區(qū)間的定義建立方程關(guān)系，進(jìn)行判斷；Ⅱ結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，建立方程關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】Ⅰ已知函數(shù)，其中且，，．當(dāng)時，若函數(shù)是上的等域函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，則，得，此時當(dāng)時，為減函數(shù)，則，得，不滿足條件．即；證明：當(dāng)，時，，即，則為減函數(shù)，假設(shè)函數(shù)存在等域區(qū)間，則，兩式作差得，即，，，，，，則，等式不成立，即函數(shù)不存在等域區(qū)間；Ⅱ函數(shù)不存在等域區(qū)間，證明假設(shè)函數(shù)存在等域區(qū)間，則，即，兩式作差得，即，即函數(shù)過，的割線斜率等于4，為減函數(shù)，任意兩點(diǎn)的割線斜率為負(fù)數(shù)，故不成立，即不存在等域區(qū)間．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，結(jié)合等域區(qū)間的定義建立方程組關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14．（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命題，證明見解析【解析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能過求出f(P)∪f(M)．(Ⅱ)由f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(0)＝0，得到當(dāng)x＜0時，f(x)＜0，(﹣∞，0)?P．同理可證(0，+∞)?P．由此能求出P，M．(Ⅲ)假設(shè)存在非空數(shù)集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．證明0∈P∪M．推導(dǎo)出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能證明命題“若P∪M≠R，則f(P)∪f(M)≠R”是真命題．【詳解】(Ⅰ)因?yàn)镻＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f(M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因?yàn)閒(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(0)＝0，所以當(dāng)x＜0時，f(x)＜0，所以(﹣∞，0)?P．同理可證(0，+∞)?P．因?yàn)镻∩M＝?，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)該命題為真命題．證明如下：假設(shè)存在非空數(shù)集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．首先證明0∈P∪M．否則，若0?P∪M，則0?P，且0?M，則0?f(P)，且0?f(M)，即0?f(P)∪f(M)，這與f(P)∪f(M)＝R矛盾．若?x0?P∪M，且x0≠0，則x0?P，且x0?M，所以x0?f(P)，且﹣x0?f(M)．因?yàn)閒(P)∪f(M)＝R，所以﹣x0∈f(P)，且x0∈f(M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f(-x0)＝﹣x0，且f(-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根據(jù)函數(shù)的定義，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，這與x0≠0矛盾．綜上，該命題為真命題．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義問題，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識，考查命題真假的判斷與證明，考查并集定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15．（Ⅰ）2（Ⅱ）-2（Ⅲ）【分析】Ⅰ代入m的值，求出函數(shù)的最大值即可；Ⅱ根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，二次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)為0，可得m的值；Ⅲ求解的值域M和的值域N，可得，即可求解實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】Ⅰ時，，故的最大值是2；Ⅱ函數(shù)，為偶函數(shù)，可得，可得即實(shí)數(shù)m的值為；（Ⅲ)，，那么的值域．當(dāng)時，總有，使得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域是的值域的子集；即：當(dāng)時，函數(shù)，其對稱軸，當(dāng)時，即，可得；；此時無解．當(dāng)時，即可得；或m；可得：當(dāng)時，即，可得；；此時無解．綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡，圖象即性質(zhì)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題．16．（Ⅰ）0，零點(diǎn)為和；（Ⅱ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）根據(jù)解析式可求得，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可求得函數(shù)的零點(diǎn)；（Ⅱ）根據(jù)減函數(shù)的定義，按照取值、作差、變形、判號、下結(jié)論這五個步驟可證結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以．?dāng)時，由解得；當(dāng)時，由解得，所以的零點(diǎn)為和．（Ⅱ），且，則，由，得，，所以，即，所以在區(qū)間上為減函數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的五個步驟是解題關(guān)鍵.17．（1）；（2）在區(qū)間上為增函數(shù)，證明見詳解；（2）【解析】（1）將直接代入