2025年高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)之法運(yùn)用試題一、函數(shù)、極限與連續(xù)（一）選擇題設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{4-x^2}}$，則其定義域?yàn)椋ǎ〢.$(-1,2)$B.$[-1,2]$C.$(-1,2]$D.$[-1,2)$當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列無(wú)窮小量中與$x$等價(jià)的是（）A.$\sin2x$B.$1-\cosx$C.$\ln(1+x)$D.$e^x-1-x$函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處間斷的類(lèi)型為（）A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.無(wú)窮間斷點(diǎn)D.振蕩間斷點(diǎn)（二）填空題$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}=$__________.設(shè)$f(x)=\begin{cases}x^2+a,&x\leq0,\\sinx,&x>0\end{cases}$在$x=0$處連續(xù)，則$a=$__________.曲線(xiàn)$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$的水平漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_________.（三）解答題計(jì)算極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-\sinx}{x^2}$.證明方程$x^3-3x+1=0$在區(qū)間$(0,1)$內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.二、導(dǎo)數(shù)與微分（一）選擇題設(shè)$f(x)=x^2\sinx$，則$f'(0)=$（）A.$0$B.$1$C.$-1$D.不存在函數(shù)$y=\ln(1+x^2)$的微分$dy=$（）A.$\frac{2x}{1+x^2}dx$B.$\frac{1}{1+x^2}dx$C.$2x\ln(1+x^2)dx$D.$\frac{x}{1+x^2}dx$（二）填空題設(shè)$y=x^x$，則$y'=$__________.曲線(xiàn)$y=x^3-2x+1$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________.（三）解答題設(shè)函數(shù)$y=y(x)$由方程$x^2+y^2=e^{xy}$確定，求$\frac{dy}{dx}$.設(shè)$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1,\ax+b,&x>1\end{cases}$在$x=1$處可導(dǎo)，求常數(shù)$a$和$b$的值.三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）選擇題函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值為（）A.$1$B.$0$C.$-3$D.$-8$曲線(xiàn)$y=x^4-2x^3$的拐點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.$(0,0)$B.$(1,-1)$C.$(2,0)$D.$(3,27)$（二）填空題函數(shù)$f(x)=x+\frac{1}{x}$的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_________.函數(shù)$f(x)=e^x-x-1$的極小值為_(kāi)_________.（三）解答題求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$的單調(diào)區(qū)間和極值.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為$C(x)=2x^2+5x+100$（元），需求函數(shù)為$p=100-0.5x$（其中$p$為單價(jià)，$x$為產(chǎn)量），求最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn).四、不定積分（一）選擇題$\int\sin^2x\cosxdx=$（）A.$\frac{1}{3}\sin^3x+C$B.$-\frac{1}{3}\cos^3x+C$C.$\sinx-\frac{1}{3}\sin^3x+C$D.$\cosx-\frac{1}{3}\cos^3x+C$下列等式正確的是（）A.$d\left(\intf(x)dx\right)=f(x)$B.$\intf'(x)dx=f(x)$C.$\intdf(x)=f(x)+C$D.$\fracww6c6mq{dx}\left(\intf(x)dx\right)=f(x)+C$（二）填空題$\int\frac{1}{x^2+4}dx=$__________.$\intxe^{-x}dx=$__________.（三）解答題計(jì)算不定積分$\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$.計(jì)算不定積分$\int\lnxdx$.五、定積分（一）選擇題$\int_{-1}^{1}x^3\cosxdx=$（）A.$0$B.$2\int_{0}^{1}x^3\cosxdx$C.$2\int_{-1}^{0}x^3\cosxdx$D.$1$設(shè)$F(x)=\int_{0}^{x}t\sintdt$，則$F'(x)=$（）A.$\sinx$B.$x\sinx$C.$x\cosx$D.$\sinx+x\cosx$（二）填空題$\int_{0}^{\pi}\sin^2xdx=$__________.曲線(xiàn)$y=x^2$與直線(xiàn)$y=2x$所圍成的圖形面積為_(kāi)_________.（三）解答題計(jì)算定積分$\int_{0}^{4}\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx$.求由曲線(xiàn)$y=e^x$，$y=e^{-x}$及直線(xiàn)$x=1$所圍成的圖形繞$x$軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.六、空間解析幾何與向量代數(shù)（一）選擇題向量$\vec{a}=(1,2,3)$與$\vec=(2,-1,1)$的數(shù)量積$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.$3$B.$4$C.$5$D.$6$平面$2x-y+z-3=0$的法向量為（）A.$(2,1,1)$B.$(2,-1,1)$C.$(-2,1,-1)$D.$(2,-1,-1)$（二）填空題點(diǎn)$P(1,2,3)$到平面$x+y+z-1=0$的距離為_(kāi)_________.直線(xiàn)$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$的方向向量為_(kāi)_________.（三）解答題求過(guò)點(diǎn)$M(1,0,-2)$且平行于平面$3x-y+2z-1=0$的平面方程.求直線(xiàn)$\begin{cases}x+y+z=1,\2x-y+3z=4\end{cases}$的參數(shù)方程.七、多元函數(shù)微積分（一）選擇題設(shè)$f(x,y)=x^2y+e^{xy}$，則$f_x(1,0)=$（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$函數(shù)$z=x^3+y^3-3xy$的極值點(diǎn)為（）A.$(0,0)$B.$(1,1)$C.$(-1,-1)$D.$(1,-1)$（二）填空題設(shè)$z=f(x^2+y^2)$，其中$f$可導(dǎo)，則$\frac{\partialz}{\partialx}=$__________.二重積分$\iint\limits_{D}xyd\sigma$，其中$D$是由$x=0$，$y=0$及$x+y=1$所圍成的區(qū)域，則該積分值為_(kāi)_________.（三）解答題設(shè)$z=e^{xy}\sin(x+y)$，求$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$.計(jì)算二重積分$\iint\limits_{D}(x^2+y^2)d\sigma$，其中$D$是由圓$x^2+y^2=4$所圍成的區(qū)域.八、無(wú)窮級(jí)數(shù)（一）選擇題級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$的斂散性為（）A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.無(wú)法判斷冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收斂域?yàn)椋ǎ〢.$(-1,1)$B.$[-1,1)$C.$(-1,1]$D.$(-\infty,+\infty)$（二）填空題級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$的和為_(kāi)_________.冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$的和函數(shù)為_(kāi)_________（$|x|<1$）.（三）解答題判斷級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$的斂散性，若收斂，求其和.將函數(shù)$f(x)=\frac{1}{1+x}$展開(kāi)成$x$的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間.九、常微分方程（一）選擇題微分方程$y''+y=0$的通解為（）A.$y=C_1e^x+C_2e^{-x}$B.$y=(C_1+C_2x)e^x$C.$y=C_1\cosx+C_2\sinx$D.$y=C_1\cosx+C_2x\sinx$微分方程$y'+2y=e^x$的通解為（）A.$y=\frac{1}{3}e^x+Ce^{-2x}$B.$y=e^x+Ce^{-2x}$C.$y=\frac{1}{3}e^x+Ce^{2x}$D.$y=e^x+Ce^{2x}$（二）填空題微分方程$y'=2xy$的通解為_(kāi)_________.微分方程$y''-4y'+4y=0$滿(mǎn)足初始條件$y(0)=1$，$y'(0)=2$的特解為_(kāi)_________.（三）解答題求微分方程$xy'+y=xe^x$的通解.設(shè)函數(shù)$y(x)$滿(mǎn)足$y''+2y'+y=0$，且$y(0)=0$，$y'(0)=1$，求$y(x)$.十、綜合應(yīng)用題某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為$1000$元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加$50$元，已知該產(chǎn)品的需求函數(shù)為$p=200-0.5x$（其中$p$為單價(jià)，$x$為產(chǎn)量），求：（1）總成本函數(shù)、總收入函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)；（2）最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn).設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，且滿(mǎn)足$f(x)=x+\int_{0}^{1}f(t)