2021-2022學年廣東省深圳市龍華區(qū)高峰學校九年級（下）第三次測試數(shù)學試卷一、選擇題（共5題，每題5分，共25分）1.的平方根是（）A.±8 B.±4 C.±2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)算術平方根性質求出，再求出4的平方根即可.【詳解】∵，∴4的平方根是±2.故選：C.【點睛】本題主要考查了求一個數(shù)的平方根，掌握平方根和算術平方根的性質是解題的關鍵.2.下列各數(shù)中1.414，，，，，，，2.10110010001，無理數(shù)的個數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義（無限不循環(huán)小數(shù)）進行判斷即可選出正確選項．詳解】有理數(shù)：1.414，，，2.10110010001；無理數(shù)：，，，；故選：C【點睛】本題考查了無理數(shù)的定義，值得注意的是和無法開出的根式都屬于無理數(shù)．3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由同類項的概念可判斷A，由多項式乘以多項式可判斷B，由完全平方公式可判斷C，由多項式除以單項式可判斷D，從而可得答案.【詳解】解：不是同類項，不能合并，故A不符合題意；故B不符合題意；，故C不符合題意；，運算正確，故D符合題意；故選D【點睛】本題考查的是合并同類項，整式的乘法運算，多項式乘以多項式，完全平方公式的應用，多項式除以單項式，掌握以上基礎運算是解本題的關鍵.4.如圖，為圓的直徑，點在的延長線上，，與圓相切，切點分別為，，若，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連結OC，OD，根據(jù)切線性質得出∠PCO=∠PDO=90°，先證Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），得出∠COP=∠DOP=，根據(jù)圓周角定理得出∠COD=2∠CBD，可求，利用勾股定理求即可．【詳解】解：連結OC，OD，∵，與圓相切，∴∠PCO=∠PDO=90°，在Rt△PCO和Rt△PDO，∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），∴∠COP=∠DOP=，∵∠COD=2∠CBD，∴，∵AB=4，∴OA=OC=2，在Rt△PCO中根據(jù)勾股定理，∴．故選擇C．【點睛】本題考查切線性質，三角形全等判定與性質，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，掌握切線性質，三角形全等判定與性質，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義是解題關鍵．5.二次函的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經(jīng)過點，其對稱軸為直線x＝1．下列結論：①abc>0；②4a+2b+c<0；③若拋物線經(jīng)過點，則關于x的一元二次方程的兩根分別為-3，5；④3a+c=0．上述結論中正確結論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質依次判斷即可．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，，∵對稱軸為直線，∴，∴，∴，∴①錯誤；∵拋物線經(jīng)過點，對稱軸為，∴拋物線經(jīng)過點；∴當時，，∴4a+2b+c>0，∴②錯誤；∵拋物線過，∴點關于對稱軸為對稱的點也在拋物線上，∴關于x的一元二次方程的兩根分別為-3，5，∴③正確；∵拋物線過點，∴，∴，∴，∴④正確；故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，待定系數(shù)法，二次函數(shù)與坐標軸的交點，利用特殊值代入得到特殊的式子是解題的關鍵．二、填空題（共5題，每題5分，共25分）6.若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，則ab＝_____．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式的形式可知，求解即可．【詳解】解：∵x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，∴，解得：b＝3或﹣1，當a＝﹣3，b＝3時，ab＝（﹣3）3＝﹣27，當a＝﹣3，b＝﹣1時，ab＝（﹣3）﹣1，故答案為：﹣27或．【點睛】本題考查了完全平方公式，根據(jù)公式形式得到是解題關鍵．7.若某正多邊形的一條邊長是4，一個外角為45°，則該正多邊形的周長為_____．【答案】32【解析】【分析】根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個內(nèi)角相等，各個外角也相等，直接用360°÷45°可求得邊數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵正多邊形外角和是360度，正多邊形的一個外角是45°，∴360°÷45°=8即該正多邊形的邊數(shù)是8，∴該正多邊形的周長=8×4=32，故答案為：32．【點睛】本題主要考查了多邊形外角和是360度和正多邊形的性質（正多邊形的各個內(nèi)角相等，各個外角也相等）．8.如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，三個切點分別為D、E、F，若BF＝2，AF＝3，則ABC的面積是______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題意利用切線的性質以及正方形的判定方法得出四邊形OECD是正方形，進而利用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：連接DO，EO，∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3又∵∠C=90°，∴四邊形OECD是矩形，又∵EO=DO，∴矩形OECD是正方形，設EO=x，則EC=CD=x，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2故（x+2）2+（x+3）2=52，解得：x=1，∴BC=3，AC=4，∴S△ABC=×3×4=6.故答案為：6．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意得出四邊形OECF是正方形以及運用方程思維和勾股定理進行分析是解題的關鍵．9.圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點C是弧AB中點，點D是優(yōu)弧AB上的一點，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于_____．【答案】【解析】【分析】連接OA、OC，根據(jù)垂徑定理，C是弧AB的中點可知，OC垂直AB，∠D=30°，可知∠AOC=60°，再用三角函數(shù)關系就可以求出OE的長；【詳解】：如圖，連接OA、OC，OC交AB于點E，∵點C是弧AB中點，AB＝6，∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∴∠OAE＝30°，∴OE＝AE?tan30°＝3，故圓心O到弦AB的距離為．故答案為：．【點睛】本題考查垂徑定理、圓周角圓心角的關系和三角函數(shù)關系求邊長；熟練掌握圓周角與圓心角的關系和垂徑定理是解決本題的關鍵．10.如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE＝DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為6，則線段DH長度的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠l=∠2，利用“SAS"證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點O，連接OH，OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關系可知當O，D，H三點共線時，DH的長度最小．【詳解】解：取AB的中點O，連接OH、OD，如圖：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，∵O為AB的中點，∴OH＝AOAB＝3，在Rt△AOD中，OD＝3，根據(jù)三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，最小值＝OD﹣OH＝33．故答案為：33．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的三邊關系等知識，確定出DH最小時點H的位置是解題關鍵，也是本題的難點．三、解答題（第11題6+6＝12分，第12題12分，第13題12分，第14題6+8＝14分，共50分）11.（1）計算：﹣12018|1|；（2）先化簡，再求值：（2x﹣3）2﹣（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝cos60°．【答案】（1）；（2）﹣2x2﹣2x+25，【解析】【分析】（1）運用冪的運算、二次根式、絕對值、立方根的計算法則即可得到答案；（2）利用完全平方公式、平方差公式和整式的乘法先化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值代入即可得到答案；【詳解】解：（1）原式＝﹣1+5﹣（1）﹣2﹣3＝41﹣5．（2）原式＝4x2﹣12x+9﹣（x2﹣16）+10x﹣5x2＝4x2﹣12x+9﹣x2+16+10x﹣5x2＝﹣2x2﹣2x+25，當x＝cos60°時，原式＝﹣22251+25．【點睛】本題考查冪運算、二次根式、絕對值、立方根的計算，完全平方公式、平方差公式和特殊角的三角函數(shù)值的化簡求值；掌握實數(shù)的運算法則是解決本題的關鍵．12.在“新冠”疫情期間，全國人民“眾志成城，同心抗疫”，某商家決定將一個月獲得的利潤全部捐贈給社區(qū)用于抗疫．已知商家購進一批產(chǎn)品，成本為10元/件，擬采取線上和線下兩種方式進行銷售．調查發(fā)現(xiàn)，線下的月銷量（單位：件）與線下售價（單位：元/件，）滿足一次函數(shù)的關系，部分數(shù)據(jù)如下表：（1）求與的函數(shù)關系式；（2）若線上售價始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為400件．試問：當為多少時，線上和線下月利潤總和達到最大？并求出此時的最大利潤．【答案】（1）；（2）當線下售價定為19元/件時，月利潤總和最大，此時最大利潤是7300元．【解析】【分析】（1）由待定系數(shù)法求出y與x的函數(shù)關系式即可；

（2）設線上和線下月利潤總和為w元，則w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）2+7300，由二次函數(shù)的性質即可得出答案．【詳解】解：（1）因為y與x滿足一次函數(shù)的關系，所以設y=kx+b.將點（12，1200），（13，1100）代入函數(shù)解析式得解得∴與的函數(shù)關系式為．（2）設商家線上和線下的月利潤總和為元，則可得=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）=-100x2+3800x-28800=，因為-100<0，所以當x=19時，w有最大值，為7300，所以當線下售價定為19元/件時，月利潤總和最大，此時最大利潤是7300元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識；弄清題意，找準各量間的關系，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．13.如圖，AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，半徑OE⊥AC于點D．過點A作⊙O的切線與OE的延長線交于點P，PC，AB的延長線交于點F．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若PC＝2AD，AB＝10．求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質可得，根據(jù)等腰三角形的性質得出，利用全等三角形的判定和性質可得，，根據(jù)切線的判定即可證明；（2）由等腰三角形的性質可得，利用切線長定理得出，根據(jù)等邊三角形的判定和性質可得，，由三角形內(nèi)角和定理及直角三角形的性質可得，，根據(jù)勾股定理得出，結合圖形可得陰影部分面積等于三角形面積減去扇形BOC的面積即可得．【小問1詳解】證明：連接OC，∵PA是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴，∵于點D，，∴，在與中，，∴，∴∴，∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；小問2詳解】解：∵于點D，，∴，∵PA，PC是⊙O的切線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，，．【點睛】題目主要考查切線的判定和性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，切線長定理，勾股定理解三角形，直角三角形的性質，扇形的面積公式等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．14.如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0，c＞0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，且以AB為直徑的圓經(jīng)過點C．（1）若點A（﹣4，0），點B（16，0），求C點坐標和函數(shù)關系式．（2）若點D是圓與拋物線的交點（D與A、B、C不重合），在（1）的條件下，坐標軸上是否存在一點P，使得以P、B、C為頂點的三角形與△CBD相似？若存在，請求點P坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，P點坐標為（4，0）或（，0）或（0，56）或（，0）【解析】【分析】（1）由題意可知圓的圓心坐標為G（6，0），半徑為10，則CG＝10，可求C（0，8），再將A（﹣4，0），B（16，0）代入y＝ax2+bx+8，即可求得解析式；（2）由對稱性可求出D（12，8），分四種情況討論：①如圖1，當∠CPB＝∠CDB時，△BCD∽△CBP；②如圖2，當∠CDB＝∠CPB時，△BCD∽△PBC；③如圖3，當P點在BD的延長線上時，△BCD∽△BPC；④如圖4，當∠DCB＝∠PBC時，△BCD∽△PBC，求出點P坐標即可．【小問1詳解】解：∵A（﹣4，0），B（16，0），∴AB＝20，AB的中點G（6，0），∴CG＝10，令x＝0，則y＝c，∴C（0，c），∴36+c2＝100，∴c＝±8，∵c