專題06平面向量目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學考要求 1基礎知識梳理 2考點精講講練 5考點一：平面向量的概念 5考點二：平面向量的線性運算 9考點三：平面向量基本定理的應用 11考點四：平面向量的坐標運算 14考點五：平面向量的共線問題 17考點六：平面向量數(shù)量積的基本運算 19考點七：平面向量的夾角 22考點八：平面向量的模 25考點九：平面向量的垂直 27實戰(zhàn)能力訓練 30 明晰學考要求 1、了解向量的實際背景，理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；2、理解向量的幾何表示；3、掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；4、掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義；5、了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義；6、了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；7、會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；8、理解用坐標表示的平面向量共線的條件；9、理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；10、了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系；11、掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；12、能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系；13、會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；14、會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.基礎知識梳理一、向量的有關概念名稱定義表示方法注意事項向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量或；?；蚱矫嫦蛄渴亲杂上蛄苛阆蛄块L度等于0的向量，方向是任意的記作零向量的方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量常用表示非零向量的單位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量與共線可記為與任一向量平行或共線平行向量又叫共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量的相反向量為二、向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算（1）交換律：（2）結(jié)合律：減法減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算（1）；（2）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，；；三、共線向量定理及平面向量基本定理共線向量定理：向量與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得平面向量的基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.五、平面向量的坐標運算1.向量加法、減法、數(shù)乘運算及設，則2.向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.②設，則3.平面向量共線的坐標表示設則六、平面向量數(shù)量積的概念（1）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作,即，其中是與的夾角.【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.投影向量：①定義：如圖，設是兩個非零向量，，作如下的變換：過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為得到，則稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.②計算：設與方向相同的單位向量為，與的夾角為，則向量在向量上的投影向量是.七、平面向量數(shù)量積的運算律已知向量和實數(shù),則交換律；數(shù)乘結(jié)合律；分配律.八、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角及性質(zhì)設非零向量，是與的夾角，（1）數(shù)量積：；（2）模：.（3）夾角：（4）垂直與平行：；（5）設向量，θ為向量的夾角.數(shù)量積模夾角兩非零向量的充要條件考點精講講練考點一：平面向量的概念解決與向量概念有關題目的關鍵是突出向量的核心——方向和長度,只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關的問題.【典型例題】例1．（2020高一下·天津靜?！W業(yè)考試）下列關于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量與同向，且，則.其中正確的序號為A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）例2．（2023高三上·廣西·學業(yè)考試）如圖，O是正六邊形的中心，下列向量中，與是平行向量的為（

）A． B． C． D．例3．（2023高二上·黑龍江·學業(yè)考試）下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離例4．（2023高三·北京·學業(yè)考試）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的是（

）A． B． C． D．【即時演練】1．給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動，零向量的長度為零，方向是任意的；②若，都是單位向量，則；③向量與相等.其中正確命題的序號為（

）A．① B．③ C．①③ D．①②2．如圖，在圓中，向量，，是（

）

A．有相同起點的向量 B．相反向量C．模相等的向量 D．相等向量3．如圖，四邊形中，，則必有（

）A． B． C． D．4．已知點是平行四邊形的對角線的交點，則（

）A． B．C． D．考點二：平面向量的線性運算向量的線性運算形式上類似于實數(shù)加減法與乘法滿足的運算法則,實數(shù)運算中去括號、移項、合并同類項等變形手段在向量的線性運算中均可使用.【典型例題】例1．如圖，在矩形中，（）

A． B． C． D．例2．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）如圖，四邊形是正方形，則（

）A． B． C． D．例3．（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）如圖，平行四邊形中，是邊上的一點，則（

）A． B．C． D．例4．（2019高二下·廣西·學業(yè)考試）設為非零向量，則（

）．A． B． C． D．【即時演練】1．在三棱錐中，等于（

）A． B． C． D．2．（

）A． B．C． D．3．已知非零向量，滿足，則（

）A． B．C．與的方向相同 D．與的方向相反4．已知正方形的邊長為2，則（

）A． B． C． D．考點三：平面向量基本定理的應用運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止【典型例題】例1．（2024高二下·福建·學業(yè)考試）如圖，已知平行四邊形ABCD，，E為CD中點，則（

）A． B． C． D．例2．（2023高二·安徽·學業(yè)考試）如圖，在平行四邊形中，點是的中點，設，則等于（

）A． B．C． D．例3．（2024高二上·福建·學業(yè)考試）如圖，在中，，分別是，的中點，若，則向量可表示為（

）A． B． C． D．例4．（2024高三·廣東·學業(yè)考試）在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，若，則的值為.【即時演練】1．在平行四邊形ABCD中，點E為線段CD的中點，記，，則（

）A． B． C． D．2．在△ABC中，D是BC上一點，滿足，M是AD的中點，若，則（

）A． B．1 C． D．3．已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，4．已知向量不共線，且，則的值等于（

）A．3 B． C．0 D．2考點四：平面向量的坐標運算（1）若已知向量的坐標,則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行；（2）若已知有向線段兩端點的坐標,則必須先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算；（3）向量的線性坐標運算可類比數(shù)的運算進行.【典型例題】例1．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）點，,則向量＝（

）A． B． C． D．例2．（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）已知向量，則（

）A． B． C． D．例3．（2020高二下·山東·學業(yè)考試）在平面直角坐標系中，為坐標原點，向量，則線段中點的坐標為（

）A． B． C． D．例4．（2023高二·云南·學業(yè)考試），則的坐標為.【即時演練】1．點，,則向量＝（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，則向量的坐標為（

）A． B．?1,1C． D．4．已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底表示，則（

）A． B．C． D．考點五：平面向量的共線問題用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路：（1）若,且與所在的直線無公共點,則這兩條直線平行.（2）若,且與所在的直線有公共點,則這兩條直線重合.【典型例題】例1．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知向量，若，則（

）A．9 B． C．1 D．例2．（2020高三·安徽·學業(yè)考試）若點A(-2，-3)?B(0，y)?C(2，5)共線，則y的值等于(

)A．-4 B．-1 C．1 D．4例3．（2020高二·廣西·學業(yè)考試）已知向量，則下列坐標表示的向量與共線的是（

）A． B． C． D．例4．（2021高二上·新疆·學業(yè)考試）已知向量，，且，則．【即時演練】1．已知向量，不共線，且，，若與同向共線，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．C．1或 D．或2．設，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點A，B，D共線，則k的值為（

）A．－8 B．8 C．6 D．－63．若，，，三點共線，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．-1 D．-34．已知向量，若，則．考點六：平面向量數(shù)量積的基本運算向量數(shù)量積的求法：（1）求兩個向量的數(shù)量積,首先確定兩個向量的模及向量的夾角,其中準確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關鍵；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算；（3）先將各向量用坐標表示,直接進行數(shù)量積運算【典型例題】例1．（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）如圖，是邊長為2的等邊三角形，則（

）A．4 B． C．2 D．例2．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）已知向量，則（

）A．2 B． C．10 D．例3．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則；.

例4．（2024高二下·浙江·學業(yè)考試）向量是兩個單位向量，夾角為，則．【即時演練】1．已知單位向量的夾角為，則（

）A． B． C．0 D．12．若向量與的夾角為，，，則．3．在等邊中，，則．4．已知向量，滿足，，且，則.考點七：平面向量的夾角求向量的夾角的關鍵是計算及,在此基礎上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算,最后借助,求出值；【典型例題】例1．（2023高三上·新疆·學業(yè)考試）已知向量，則向量與（

）A．互相平行 B．夾角為 C．夾角為 D．互相垂直例2．已知向量，則向量與夾角的余弦值為．例3．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為.例4．（2023高二·甘肅·學業(yè)考試）已知向量、滿足且，則向量與的夾角為.【即時演練】1．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．2．若向量，，則與的夾角為（

）．A． B． C． D．3．中，設，若，則的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．無法確定4．已知，，均為單位向量，且滿足，則.考點八：平面向量的模（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應用,勿忘記開方.（2）若,則,于是有【典型例題】例1．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C．3 D．2例2．（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）已知，且，則.例3．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知單位向量與單位向量的夾角為，則．例4．（2024高二下·湖南株洲·學業(yè)考試）已知向量，，則=.【即時演練】1．已知平面向量為單位向量，若，則（

）A．0 B．1 C． D．32．設向量，滿足，，則等于（

）A． B．2 C．5 D．83．已知，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知向量，且，則（

）A．1 B．2 C． D．0考點九：平面向量的垂直【典型例題】例1．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）已知向量，，若，則實數(shù)（

）A．1 B． C．4 D．例2．（2023高三·新疆·學業(yè)考試）若，，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．例3．（2022高二·湖南·學業(yè)考試）在中，，為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形例4．（2024高二上·新疆·學業(yè)考試）已知向量.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值.【即時演練】1．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A． B． C．2