專題03函數(shù)的概念及其性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識梳理 1考點精講講練 5考點一：函數(shù)的概念及表示方法 5考點二：求函數(shù)的解析式 8考點三：分段函數(shù)求值 9考點四：分段函數(shù)與方程、不等式問題 10考點五：函數(shù)的定義域問題 11考點六：函數(shù)的值域或最值問題 13考點七：函數(shù)的單調(diào)性問題 14考點八：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)或解析式 16考點九：比較大小及解不等式 17實戰(zhàn)能力訓(xùn)練 19明晰學(xué)考要求1、了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；2、在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3、了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；4、理解兩數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義;結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；5、會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).基礎(chǔ)知識梳理一、函數(shù)1.函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2.構(gòu)成函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素為定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.注意：相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等．（1）兩個函數(shù)是否是相等函數(shù)，取決于它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時，才表示相等函數(shù)．（2）函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函數(shù).3.函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.二、函數(shù)的定義域及解析式1.函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：1.分式函數(shù)中分母不等于零. 2.偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.3.一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R. 4.的定義域是.2.函數(shù)的解析式1.函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方式，對于不是的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式.2.求函數(shù)的解析式時，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式，不注明定義域往往導(dǎo)致錯誤.三、分段函數(shù)分段函數(shù)的概念：若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，則這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．注意：分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集．四、函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)單調(diào)性的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)圖象描述自左向右看，圖象是上升的自左向右看，圖象是下降的設(shè)，，若有或，則在閉區(qū)間上是增函數(shù)；若有或，則在閉區(qū)間上是減函數(shù)2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．注意：（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個函數(shù)在不同的區(qū)間上，可以有不同的單調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．（2）函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域．（3）“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”是兩個不同的概念，注意區(qū)分，顯然.3．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論（1）若均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；（2）奇函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；五、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足條件對于任意的，都有；存在，使得對于任意的，都有；存在，使得結(jié)論為最大值為最小值注意：（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；（2）若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點值就是函數(shù)的最值.六、函數(shù)的奇偶性1．函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有圖象關(guān)于軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有圖象關(guān)于原點對稱注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個x，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點對稱）．2．函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反；（2），在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)（3）若奇函數(shù)的定義域包括，則．（4）若函數(shù)是偶函數(shù)，則．考點精講講練考點一：函數(shù)的概念及表示方法（1）判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件：①必須是非空數(shù)集；②中任意一元素在中有且只有一個元素與之對應(yīng)．（2）根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的方法：①任取一條垂直于軸的直線；②在定義域內(nèi)平行移動直線；③若與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)．【典型例題】例1．下列圖象中，表示定義域和值域均為的函數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．

例2．（2016高三下·浙江·學(xué)業(yè)考試）下列圖象中，不可能成為函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．例3．某同學(xué)離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程，圖中d軸表示該學(xué)生離學(xué)校的距離，t軸表示所用的時間，則符合學(xué)生走法的只可能是（）A． B．C． D．例4．（2018高二上·云南昆明·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)用列表法表示如下表，則012201例5．（2022高三·北京·學(xué)業(yè)考試）對于溫度的計量，世界上大部分國家使用攝氏溫標(biāo)（），少數(shù)國家使用華氏溫標(biāo)（），兩種溫標(biāo)間有如下對應(yīng)關(guān)系：攝氏溫標(biāo)（）…01020304050…華氏溫標(biāo)（）…32506886104122…根據(jù)表格中數(shù)值間呈現(xiàn)的規(guī)律，給出下列三個推斷：①對應(yīng)；②對應(yīng)；③存在某個溫度，其攝氏溫標(biāo)的數(shù)值等于其華氏溫標(biāo)的數(shù)值．其中所有正確推斷的序號是．【即時演練】1．托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”.下列對應(yīng)關(guān)系中，滿足從集合到集合的一個函數(shù)是（

）A． B． C． D．2．下列圖形中，不可作為函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如表所示，函數(shù)的圖象是如圖所示，則的值為（

）12343-1

A．-1 B．0 C．3 D．44．已知定義在上的函數(shù)表示為：x0y102設(shè)，的值域為M，則（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)的定義域為，且自變量與函數(shù)值的關(guān)系對應(yīng)如表：12343212（1）；（2）不等式的解集為．考點二：求函數(shù)的解析式待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式．換元法(有時可用“配湊法”)：已知函數(shù)的解析式求的解析式，可用換元法(或“配湊法”)，即令，反解出，然后代入中求出，從而求出；【典型例題】例1．（2023高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）已知，則的解析式可取為（

）A． B．C． D．例2．（2019高一·山東濟(jì)南·學(xué)業(yè)考試）已知，則（）A． B．﹣3x C．﹣3x+1 D．例3．（2024高三上·江蘇南京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)滿足，且，則．例4．已知一次函數(shù)滿足，則（

）A．4 B．2 C．1 D．0例5．已知是二次函數(shù)，且，若，則的解析式為.【即時演練】1．若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，且，則（

）A．2 B．7 C．25 D．443．已知一次函數(shù)滿足，，則的解析式為.4．已知是一次函數(shù)，且滿足，請寫出符合條件的的一個函數(shù)解析式．5．已知函數(shù)是一次函數(shù)，且滿足.(1)求的解析式；(2)在（1）的條件下，求函數(shù)的解析式，并求的值.考點三：分段函數(shù)求值【典型例題】例1．（2022高二下·貴州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)則（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2022高二上·廣西柳州·學(xué)業(yè)考試）設(shè)函數(shù)，則．例3．（2022高三·北京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)則；方程的解為．例4．（2018高二·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則.例5．（2018高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，設(shè)，則A． B． C． D．【即時演練】1．設(shè)函數(shù)，則（）A． B．4 C．6 D．82．函數(shù)，則（

）A． B． C． D．83．已知函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．4．已知，則.5．設(shè)函數(shù)，則．考點四：分段函數(shù)與方程、不等式問題已知函數(shù)值，求自變量的值時，要分類討論自變量的取值范圍，將“”脫掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的方程求解【典型例題】例1．（2021高二·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．例2．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C．2 D．例3．（2019高二·北京·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)如果，那么實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．例4．（2019高三·浙江紹興·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則，不等式的解集為.例5．（2023高三·上海·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則方程的解為.【即時演練】1．已知函數(shù)，若，則（

）A．2或-2或-1 B．2或-1 C．2或-2 D．-22．已知函數(shù)若，則實數(shù)．3．已知且，則.4．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集是.5．已知函數(shù)(1)求，的值；(2)若，求的取值范圍．考點五：函數(shù)的定義域問題求具體函數(shù)定義域的幾種類型：（1）若是整式，則函數(shù)的定義域是R；（2）若是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零．（3）若是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零．（4）若是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集．（5）若是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義．兩類抽象函數(shù)的定義域的求法：（1）已知的定義域，求的定義域：若的定義域為，則中，從中解得的取值集合即為的定義域．（2）已知的定義域，求的定義域：若的定義域為，即，求得的取值范圍，的值域即為的定義域．【典型例題】例1．（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．例2．（2020高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．例3．（2023高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域是R，值域為，則下列函數(shù)中值域也為的是（

）A． B． C． D．例4．（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（

）A．和 B．和C．和 D．與例5．（2022高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【即時演練】1．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的定義域為[1，2]，則函數(shù)的定義域為（

）A． B． C．[1，2] D．[1，4]3．函數(shù)的定義域為.4．已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.5．下列函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與考點六：函數(shù)的值域或最值問題常見求值域的方法：配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時，可利用配方法求其值域；分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域【典型例題】例1．（2015高二下·貴州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．3例2．（2018高二上·云南昆明·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．例3．（2023高三上·廣西·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例4．（2024高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．10例5．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）已知則；的最大值為．【即時演練】1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C．1 D．44．函數(shù)，的值域為．5．函數(shù)，的值域是.考點七：函數(shù)的單調(diào)性問題（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法：①定義法：即先求出定義域，再利用定義法進(jìn)行判斷求解．②圖象法：即先畫出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間．（2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的注意點：一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接兩個單調(diào)區(qū)間，而要用“和”或“，”連接．【典型例題】例1．下列函數(shù)在上不是增函數(shù)的是（

）A．B．C．D．例2．（2022高二下·貴州·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．例3．（2022高三上·浙江·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在區(qū)間（-∞，1]是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]例4．（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在上的圖像如圖，則函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．?1,0 B．0,1 C． D．1,2例5．（2023高二下·浙江杭州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意的，且，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.【即時演練】1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.3．如圖是函數(shù)y=fx的圖象，則函數(shù)的最大值點與單調(diào)減區(qū)間分別是，4．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為.5．函數(shù)y=fx在區(qū)間上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的增區(qū)間是.考點八：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)或解析式（1）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過與已知單調(diào)區(qū)間比較，求參數(shù)的取值范圍；（2）利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的3個步驟（1）“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)．（2）轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式．（3）利用的奇偶性寫出或，從而解出．【典型例題】例1．（2023高二上·新疆·學(xué)業(yè)考試）是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．例2．（2023高三·廣東·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則.例3．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù).例4．（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）奇函數(shù)，則．例5．（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是實數(shù)集R上的奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.【即時演練】1．設(shè)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A．?2 B．2 C．0 D．42．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時的解析式為（

）A． B．C． D．3．若函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為.4．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)．5．已知函數(shù)同時滿足以下條件：①定義域為；②值域為；③，都有.試寫出一個函數(shù)解析式.考點九：比較大小及解不等式奇偶性與單調(diào)性解不等式：①利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為或的形式；②根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，脫掉不等式中的“”轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解．【典型例題】例1．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例2．（2023高二·河北·學(xué)業(yè)考試）已知定義在上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則使的的取值范圍是（

）A． B． C．