2.9函數(shù)的零點與方程的解目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01課標要求 202落實主干知識 3一、函數(shù)的零點 3二、二分法 3常用二級結論 403探究核心題型 5題型一：函數(shù)零點所在區(qū)間的判定 5題型二：函數(shù)零點個數(shù)的判定 7題型三：根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù) 11題型四：根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù) 14題型五：用二分法求方程的近似解 17題型六：半分離參數(shù)法求零點問題 19題型七：嵌套函數(shù)與零點問題 23題型八：共零點問題 28題型九：零點比大小問題 33題型十：不動點問題 37題型十一：等值線問題 40題型十二：已知函數(shù)只有一個零點，求參數(shù)的具體值 4304好題賞析（一題多解） 4605數(shù)學思想方法 51①數(shù)形結合 51②轉化與化歸 55③分類討論 5706課時精練（真題、模擬題） 61基礎過關篇 61能力拓展篇 73

1、理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.2、理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應用.3、了解用二分法求方程的近似解.

一、函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點的概念對于函數(shù)，使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.（2）方程根與函數(shù)零點的關系方程有實數(shù)根函數(shù)有零點函數(shù)的圖象與軸有交點，且交點橫坐標為.（3）方程有實數(shù)根函數(shù)與函數(shù)有交點，且交點橫坐標為.（4）零點存在性定理如果函數(shù)在上的圖象是連續(xù)不斷的，且，那么函數(shù)在至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.注意：①符合該定理的條件，能確定在區(qū)間內有零點，但零點不一定唯一.②并不是所有的零點都可以用該定理來判定.不滿足該定理的函數(shù)也可能有零點.函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，零點存在性定理只適用“不變號零點”.③若在區(qū)間內有零點，且在區(qū)間上單調，則在內有唯一零點.④設，若在上有零點，則；二、二分法①二分法的概念對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.②用二分法求方程近似解的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精確度；（2）求區(qū)間的中點；（3）計算，（i）若，則就是函數(shù)的零點；（ii）若，則令（iii）若，則令（4）判斷是否達到精確度：即若，則得到零點近似值為（或）；否則重復（2）~（4）常用二級結論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調函數(shù)，則至多有一個零點.函數(shù)的零點不是一個“點”，而是方程的實數(shù)解.(2)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.

題型一：函數(shù)零點所在區(qū)間的判定【例1】（2025·湖北十堰·模擬預測）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為，因為在上連續(xù)且為增函數(shù)．且，則．由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是．故選：C.【解題總結】確定函數(shù)零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點存在定理(2)數(shù)形結合法：通過畫函數(shù)圖象,觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.【變式1-1】（2025·湖南長沙·模擬預測）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．以上都不對【答案】B【解析】求導得，當時，，所以在區(qū)間上單調遞增，當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，根據(jù)，，當時，，可作出圖象：所以當時，，根據(jù)圖象可知，，所以恒有，故B正確，由于，，所以，故C錯誤，故選：B.【變式1-2】已知實數(shù)是函數(shù)的一個零點，實數(shù)滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，其為上的單調遞減函數(shù)，其中，，故只有一個零點，又，，又，所以，或，若，則，若，則，故，D正確，C錯誤；或，AB錯誤.故選：D【變式1-3】函數(shù)的零點，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)是連續(xù)增函數(shù)，，，所以函數(shù)的零點在內，所以，故選：C．【變式1-4】方程的根所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，故函數(shù)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，且顯然為增函數(shù)，因為，，，由零點存在定理可知，方程的根所在的區(qū)間為.故選：C.題型二：函數(shù)零點個數(shù)的判定【例2】（2025·吉林·模擬預測）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由的零點，轉化為的零點，因為均為減函數(shù)，在上單調遞減且，又，，若存在，使得，只需，則即可，存在值，在上有且只有一個零點，即有且只有一個零點.故選：B【解題總結】求解函數(shù)零點個數(shù)的基本方法(1)直接法：令,方程有多少個不同的實數(shù)根,則有多少個零點.(2)定理法：利用函數(shù)零點存在定理時往往還要結合函數(shù)的單調性、奇偶性等.(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù),依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)得出函數(shù)的零點個數(shù).【變式2-1】（2025·高三·四川·期中）已知實數(shù)滿足，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由題設，則或時，時，，所以在上遞增，在上遞減，且，由，即，而在R上遞增，在R上遞減，顯然，故，所以，又趨向時趨向趨向時趨向，綜上，共有3個零點．故選：D【變式2-2】函數(shù)在定義域內的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】函數(shù)分別是R上的減函數(shù)和增函數(shù)，則函數(shù)是減函數(shù)，而，，所以函數(shù)在R上的零點個數(shù)是1.故選：B【變式2-3】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】當時，易知單調遞增，則；當時，，則，令，解得，令，解得，當時，，令，令，由函數(shù)與函數(shù)在上單調遞增，則函數(shù)在上單調遞增，所以，故函數(shù)在上無零點；當時，，令，則，化簡可得，，由對稱軸，當時，，當時，，所以方程在有兩個不相等的實數(shù)根，故函數(shù)在上有兩個零點；當時，，令，整理可得，易知該函數(shù)在上單調遞減，則，可得，由函數(shù)與函數(shù)在上單調遞增，則在上單調遞增，所以，故在上無零點.綜上所述，函數(shù)在其定義域內有兩個零點.故選：C.【變式2-4】（2025·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，由函數(shù)的解析式易知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，繪制函數(shù)圖像如圖所示，注意到，故方程的，則原問題轉化為求方程時解的個數(shù)之和，由函數(shù)圖像易知滿足題意的零點個數(shù)為7個.本題選擇B選項.題型三：根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)【例3】（2025·遼寧鞍山·模擬預測）已知，若有唯一解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，為偶函數(shù)，，設，，則在有唯一零點．，當且僅當取等號．若,時，，則在單調遞增，又因為，所以在有唯一零點若,時，令得，即，解得或，其中，滿足要求，，其中，故在時恒成立，所以，即，不合要求，當時，，則在單調遞減，所以，時，，故在有1個零點．又，所以在上有兩個零點，不滿足題意，故的取值范圍為．故選：C.【解題總結】根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式(組),再通過解不等式確定參數(shù)(范圍).(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離,轉化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍.(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象,然后利用數(shù)形結合法求解.【變式3-1】（2025·甘肅白銀·模擬預測）已知函數(shù)有且僅有3個零點，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，令函數(shù)，其定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，依題意，直線與函數(shù)的圖象有且僅有3個交點，求導得，函數(shù)在上單調遞減，曲線在點處的切線方程為，令，求導得，函數(shù)在上單調遞減，當時，；當時，，即當時，；當時，；當時，，作出的圖象，如圖：觀察圖象知，當時，直線與函數(shù)的圖象有且僅有3個交點，所以m的取值范圍是.故選：B.【變式3-2】（2025·北京昌平·二模）已知函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C．（，1） D．【答案】B【解析】因為，若時，，則有且僅有一個零點，不符合題意；若，當時，，則在上單調遞增，且，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，且，要使恰有三個零點，則，解得；若，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，且，當時，，所以在上單調遞增，且，要使恰有三個零點，則，解得；綜上可得實數(shù)的取值范圍是.故選：B【變式3-3】（2025·湖南邵陽·三模）設，是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為8，的周期為4，且是奇函數(shù)．當時，，，若在區(qū)間上，函數(shù)恰有8個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，令，即且，故圖象是以為圓心，2為半徑的半圓，又的周期為8，若直線過時，即，在同一坐標系，在區(qū)間上的圖象如下，恰有8個交點，當直線與半圓且相切時，，所以，可得，結合圖知，當與半圓且相交時，只有一個交點，此時，上，恰有5個交點，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：C題型四：根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)【例4】（2025·遼寧撫順·模擬預測）函數(shù)在區(qū)間內有零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，由可得，令，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為函數(shù)在區(qū)間內有零點，則函數(shù)在區(qū)間內有零點，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【解題總結】根據(jù)函數(shù)零點的情況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式(組),再通過解不等式確定參數(shù)(范圍).(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離,轉化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍.(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象,然后利用數(shù)形結合法求解.【變式4-1】已知函數(shù)，若有且只有一個零點，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】顯然，否則函數(shù)有兩個零點，不符合題意，函數(shù)，求導得，當時，由，得或，函數(shù)在上單調遞增，，則函數(shù)在上有一個零點，不符合題意；當時，由，得或，由，得，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取得極小值，當時，取得極大值，而，則在上有唯一零點，因為有且只有一個零點，且，則當且僅當，于是，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A【變式4-2】（2025·高三·江西撫州·期中）若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，設為函數(shù)在上的零點，則，即，即點在直線上，又表示點到原點的距離的平方，則，即，令，則，因為，所以，在單調遞增.所以最小值為.故選：A【變式4-3】函數(shù)在上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】令，因為，所以函數(shù)圖象與軸有兩個交點，因為函數(shù)在上存在零點，且函數(shù)圖象連續(xù)，所以，或，所以，或，解得或故選：B題型五：用二分法求方程的近似解【例5】用二分法求函數(shù)在區(qū)間內的零點時，需要的條件是（

）①在區(qū)間上是連續(xù)不斷的；②；③；④．A．①② B．①③ C．①④ D．②③【答案】A【解析】根據(jù)二分法定義得①②正確．【解題總結】所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.【變式5-1】設，某同學用二分法求方程的近似解（精確度為0.5），列出了對應值表如下：0.1250.43750.7520.493.58依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，得到的方程近似解可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由表格數(shù)據(jù)可知，，又因為函數(shù)在上連續(xù)，且函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點.又因為，所以方程的近似解（精確度為0.5）可以是區(qū)間上的任意一個數(shù)，觀察四個選項可知C正確.【變式5-2】已知函數(shù)的一個零點，在用二分法求精確度為的的一個值時，需判斷各區(qū)間中點的函數(shù)值的符號最少（）（

）A．5次 B．6次 C．7次 D．8次【答案】C【解析】判斷n次時，區(qū)間長度為，由，得，得，即．【變式5-3】（2025·廣東汕頭·模擬預測）用二分法求函數(shù)在內的零點近似值，若精確度要求為，則需重復相同步驟的次數(shù)至少為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】原始區(qū)間長度為，第一次，區(qū)間長度減半，為，第二次，區(qū)間長度減半，為，第三次，區(qū)間長度減半，為，第四次，區(qū)間長度減半，為，故至少需要重復四次.故選：B.【變式5-4】下列函數(shù)零點不能用二分法求出的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A選項，在上單調遞增，且與軸有唯一交點，交點兩側的函數(shù)值異號，則可用二分法求解，A正確；對于B選項，當時，，當且僅當時，等號成立，無零點；當時，當且僅當時，等號成立，在上單調遞減，在上單調遞增，此時有兩個零點，且函數(shù)值在零點兩側異號，故可用二分法求零點，B正確；對于C選項，由題意可知只有一個零點，且在該零點左右兩邊的函數(shù)值都大于零，故不宜用二分法求解該零點，C錯誤；對于D選項，，在單調遞增，單調遞減，所以，則零點處的兩側函數(shù)值異號，可用二分法求解，D正確.故選：C題型六：半分離參數(shù)法求零點問題【例6】已知函數(shù)，若有且只有兩個整數(shù)解，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題設，定義域為，則可得，令，則，所以時，即遞增，值域為；時，即遞減，值域為；而恒過，函數(shù)圖象如下：要使有且只有兩個整數(shù)解，則與必有兩個交點，若交點的橫坐標為，則，所以，即.故選：C【解題總結】半分離參數(shù)法【變式6-1】（2025·河南·模擬預測）已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)存在唯一的整數(shù)，使得，設與,即存在唯一的整數(shù)，使得在直線上方,，當時，,在上單調遞增；當時，,在上單調遞減，,，若要存在唯一的整數(shù)，使得在直線上方，則或，代入得或，解得,故答案為：.【變式6-2】設函數(shù)，,若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是【答案】【解析】函數(shù)的大致圖像如圖所示，當時，，無解，，不止一個整數(shù)解，不合題意；當時，如①所示，，不止一個整數(shù)解，不合題意；當時，若直線經過點時，此時，無整數(shù)解，故當時，恰有一個整數(shù)解，而此時，無解，符合題意；若直線經過點時，此時，無整數(shù)解，時，無整數(shù)解，若直線經過點時，此時，無整數(shù)解，時，恰有一個整數(shù)解，即，綜上，的取值范圍是.【變式6-3】（2025·北京大興·三模）已知函數(shù)，則的最小值是，若關于的方程有且僅有四個不同的實數(shù)解，則整數(shù)的一個取值為.【答案】1（答案不唯一，即可）【解析】當時，，易知當時，有最小值；當時，，由，得，則，此時最小值為；綜上：函數(shù)的最小值為.因為方程有且僅有四個不同的實數(shù)解,即函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有四個不同的交點，作出函數(shù)的圖像，由于a為整數(shù)，如圖所示，只有函數(shù)和的圖像與函數(shù)的圖像有四個不同的交點，所以整數(shù)a的取值可以為中的一個.故答案為：；1（答案不唯一，即可）【變式6-4】若關于的不等式的解集為()，且中只有一個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由，得，設，，由題設原不等式有唯一整數(shù)解，即在直線下方，，

在遞減，在遞增，故，恒過定點，結合函數(shù)圖像得，即．故答案為：題型七：嵌套函數(shù)與零點問題【例7】（2025·山東臨沂·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)有8個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】⑴當，時，，對稱軸為，所以在單調遞增，函數(shù)圖象如下：令，，解得或，即或，根據(jù)圖象有2個解，有1個解，所以此時有3個零點，不符合題意；當，時，，對稱軸為，所以在單調遞增，在單調遞減，函數(shù)圖像如下：令，，解得或或，根據(jù)圖象有2個解，有3個解，又有8個零點，所以要有3個解，即，解得，故選：D.【解題總結】（1）針對多個根的取值范圍問題，需構建新函數(shù)以明確取值區(qū)間。（2）以二次函數(shù)作外函數(shù)時，可借助參變分離簡化運算，但需具備扎實函數(shù)基礎?！咀兪?-1】已知三次函數(shù)有兩個零點，若方程有四個實數(shù)根，則實數(shù)a的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，則得或三次函數(shù)有兩個零點，且程有四個實數(shù)根，所以只需或共有四個根即可，所以或.又方程有四個實數(shù)根，則或共有四個根.在,上單調遞增，在單調遞減.當時，，要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖①)則，即，解得.當，得，要滿足條件，作出函數(shù)的大致圖像.(如圖②)則，即，解得.綜上所述，當時，方程有四個實數(shù)根.故選：C【變式7-2】（2025·湖北十堰·模擬預測）若函數(shù)，關于的方程的根的個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由得，解得或，畫出的大致圖象如圖所示，由圖可知，此時方程有10個交點．（圖中只顯示了6個交點，當或時，和與圖象還有4個交點，）故選：D.【變式7-3】（2025·山西呂梁·三模）已知函數(shù)有三個零點，則三個零點之和為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】令，則，函數(shù)可轉化為.因為函數(shù)有三個零點，所以函數(shù)也有三個零點.是偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱.因為有三個零點，根據(jù)偶函數(shù)的性質可知，必有一個零點為.將代入中，可得，即，因式分解得.因為，所以，解得.當時，.當時，，令，即，因式分解得，解得或.因為是偶函數(shù)，所以當時，，令，即，因式分解得，解得或.所以的三個零點為，，.因為，，所以當時，；當時，；當時，.即的三個零點為，，.三個零點之和為.故選：D.【變式7-4】（2025·寧夏銀川·三模）若函數(shù)，則的零點個數(shù)為（

）.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】令，則，所以，解得，解得或，當時，，求導得，令，則，解得，若時，，若，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，且，，當時，在上單調遞增，且，所以有3個解，有2個解，所以的零點個數(shù)為5個.故選：D.【變式7-5】（2025·高三·湖北武漢·期中）已知函數(shù)，若關于的函數(shù)有8個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的圖象如圖：方程有8個不同的根，令，則有兩個不同的根，，且，的范圍是，所以，解得.故選：C.【變式7-6】已知函數(shù)，若關于x的方程有8個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則方程化為，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因為方程有8個不相等的實數(shù)根，所以方程，在上有兩個不相等的實數(shù)根，令，則，解得，故選：B【變式7-7】已知函數(shù)，關于的方程有8個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，由，得，設關于的二次方程的兩根分別為、，如下圖所示：由于關于的方程有8個不等的實數(shù)根，則，，設，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.題型八：共零點問題【例8】對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】令，易知在上單調遞增，且，所以當時，，當時，，令，則在上連續(xù)，因為不等式恒成立，所以當時，，當時，，由零點存在性定理可知，即，令，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以，則，所以，解得，故選：C【解題總結】共零點問題：此類問題往往是的形式，其特征是兩個函數(shù)具備相同的零點．【變式8-1】設函數(shù)，若恒成立，則的最小值為．【答案】2【解析】令，則，令，則，當時，恒成立，此時不符合恒成立；當時，令，則，因為恒成立，所以，所以，令，則，令，則，令，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以.故答案為：2【變式8-2】已知，，若關于的不等式在恒成立．則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．【答案】B【解析】設.由已知，在單調遞增，當時，；當時，.由圖象開口向上，，可知方程有一正根一負根，即函數(shù)在有且僅有一個零點，且為異號零點；由題意，則當時，；當時，.所以是方程的根，則，即，且，所以，當且僅當，即時等號成立.則的最小值是.故選：B.【變式8-3】設函數(shù)，若在上恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令函數(shù)，（1）和與軸的交點都在原點左側，如圖：此時，當時，，，恒成立，∴，即∴，；（2）和與軸的交點不在原點同側，如圖：或有圖可知，均存在區(qū)間或使得函數(shù)，故舍去；（3）和與軸的交點都在原點右側，①當兩個零點不重合時，如圖：或顯然此時，存在或使得，故舍去；②當兩個零點重合且，時，如圖：此時，當時，恒成立，故，∴∴綜上所述：，故選：B【變式8-4】（2025·高三·四川成都·期中）已知，若關于的不等式在上恒成立，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，.因為，所以在上單調遞增.當時，；當時，.因為的圖象開口向上，，所以方程有一正根一負根，即函數(shù)在上有且僅有一個零點，且為異號零點.由題意可得，，則當時，；當時，，所以是方程的根，則，即，且，所以，當且僅當時等號成立.故選：A.題型九：零點比大小問題【例9】已知函數(shù)，若當時，恒成立，則的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】依題意，，，設函數(shù)，，函數(shù)在上單調遞增，，則當時，；令，則，若恒成立，則，否則，下面驗證時存在滿足題意，不妨令，則，在處的導數(shù)值為，取，此時，設函數(shù)，要證恒成立，只需證恒成立，，當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，因此，所以的最大值為e.故選：D【解題總結】針對雙參數(shù)比值型問題，可采用零點比大小法求解。具體而言，先將曲線與直線分離，分別繪制二者圖像并確定其零點。需留意，直線零點往往對應待求雙參數(shù)比值，當直線零點與曲線零點重合之際，該雙參數(shù)比值可取得最值?！咀兪?-1】已知，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則的最大值為.【答案】/【解析】令，由不等式對任意實數(shù)恒成立等價于，所以，令有，令，由有，有，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，所以，令，所以，令有，由有，由有，所以在單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，故答案為：.【變式9-2】已知不等式對任意的實數(shù)t恒成立，則的最大值為．【答案】【解析】依題意可知對任意的實數(shù)t恒成立．設，則．當時，，在R上單調遞增，當時，，不合題意．當時，由可得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，．因為對任意的實數(shù)t恒成立，故恒成立，即恒成立，則恒成立．令，，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減．故，故，當，時等號成立，故的最大值為．故答案為：【變式9-3】（2025·高三·安徽宿州·期末）若不等式（是自然對數(shù)的底數(shù)）對任意恒成立，則當取最大值時，實數(shù).【答案】【解析】由題意可知，令，當時，研究函數(shù)與的圖象，因為，當時，，所以函數(shù)單調遞減，當時，，所以函數(shù)單調遞增，所以函數(shù)有最小值為，而為單調遞減的直線，如圖，此時不恒成立，不符合題意；當時，，令，，易知在上單調遞減，在上單調遞增，且由于函數(shù)有最小值為，所以當時，方程有解，設解為，則，且，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，由題意恒成立，所以，所以，當且僅當時取等號，此時.【變式9-4】若，對，均有恒成立，則的最小值為【答案】【解析】設，原題轉化為求的最小值，原不等式可化為對任意的，，不妨代入，得，得，當時，原不等式可化為，即，觀察可知，當時，對一定成立，當且僅當取等號，此時，，說明時，均可取到，滿足題意，故的最小值為.故答案為：【變式9-5】（2025·高三·湖北·期末）已知，若不等式恒成立，則的最大值為．【答案】【解析】，則，所以不等式恒成立，即，恒成立，，，所以設，，得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以當時，函數(shù)取值最大值，所以，即，當時，，當時，，設，，，得，當，，單調遞增，當，，單調遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，所以的最大值為.故答案為：題型十：不動點問題【例10】設函數(shù)，若曲線上存在點使得，則a的取值范圍是A．［ln3－6，0］ B．［ln3－6，ln2－2］C．［2ln2－12，0］ D．［2ln2－12，ln2－2］【答案】A【解析】根據(jù)題意曲線上存在點,使得，即．下面證明假設，則，不滿足，同理假設，不滿足，所以，那么函數(shù)，即函數(shù)在有解；所以，令，則由可得或（舍）當時，，在上單調遞減；所以，即故選A．【解題總結】1、有解有解．特別地，當函數(shù)單遞增時，的解與的解相同．2、無解無解．3、有解有解．4、無解無解．【變式10-1】已知函數(shù)，若曲線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，函數(shù)為增函數(shù).若，則；同理，若，則，均與題設條件不符.由可得，且.因此，關于的方程在上有解，整理得在上有解.設，則為上的減函數(shù)，注意到，故，從而函數(shù)在上單調遞增.所以，.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【變式10-2】設是函數(shù)定義域內的一個子區(qū)間，若存在，使，則稱是的一個“次不動點”，也稱在區(qū)間上存在次不動點，若函數(shù)在區(qū)間上存在次不動點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，存在，使，解得，設，則由，得（舍去）或，則在上遞減，在上遞增，又，，，所以在的值域為，即的取值范圍是.故選：B.【變式10-3】已知函數(shù)，若曲線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】依題意，，而，即函數(shù)是奇函數(shù)，由曲線上存在點，使得，得存在，使得成立，函數(shù)在定義域內單調遞增，下面證明：成立，假設，則，不滿足，假設不成立，假設，則，不滿足，假設不成立，因此，則原問題等價于“在上有解”，即“在上有解”，設，，求導得，令，求導得，由，解得，當時，；當時，，在上遞減，在遞增，因此，函數(shù)在上單調遞增，于是的值域為，即，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：題型十一：等值線問題【例11】（2025·河北·模擬預測）已知函數(shù)，方程有4個不同的根，且滿足，則的最小值為.【答案】【解析】在同一平面直角坐標系下，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：依題意得：，且，則.設，則，，，所以，令，，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為.故答案為：.【解題總結】數(shù)形結合【變式11-1】（2025·四川·模擬預測）已知函數(shù)若關于的方程（為實常數(shù)）有四個不同的解，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下，由圖知，且，由，得，即，故，由，則，由，則，所以，且在上單調遞增，所以.故選：A【變式11-2】已知函數(shù)，若方程有4個根分別為，，，，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】畫出的圖象如下：因為方程有4個根，則函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，由圖象可得，；又由題意可得，與是方程的兩根，與是方程的兩根，則，則，則.故答案為：.【變式11-3】（2025·山東·一模）已知，若有個根，則的取值范圍是.【答案】【解析】作出的圖象，如圖，不妨設，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得，由對數(shù)函數(shù)的性質可得，.若有個根，由圖可知，從而易知，于是.因為，所以.故答案為:.題型十二：已知函數(shù)只有一個零點，求參數(shù)的具體值【例12】（2025·河南·模擬預測）已知函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)（

）A．1 B． C．0 D．【答案】A【解析】由得，而，故為偶函數(shù).由對稱性，，從而當時，當時，，即無零點，由對稱性，時，也無零點，從而僅有一解，即滿足題意.故選：A【解題總結】（1）借助零點存在性定理構建相應不等式，進而求解參數(shù)的值或取值范圍。（2）通過分離參數(shù)，將問題轉化為函數(shù)值域（最值）問題，以此確定參數(shù)的值或范圍。（3）把問題轉化為兩個熟知函數(shù)圖像的上、下位置關系問題，構建不等式求解參數(shù)?！咀兪?2-1】已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】當時，則，，由知，，則函數(shù)在區(qū)間單調遞增；當時，則，，由知，，則函數(shù)在區(qū)間單調遞減；所以函數(shù)的最小值為，且當無限趨近于無窮大時，無限趨向于正無窮大，當無限趨近于0時，無限趨向于正無窮大，所以函數(shù)有唯一零點，則需，所以.故選：D【變式12-2】（2025·湖南岳陽·二模）若函數(shù)有唯一零點，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由于有唯一的零點，所以也有唯一的零點，由于均為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，因此，故，故選：C【變式12-3】（2025·浙江紹興·模擬預測）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A．0 B． C．2 D．【答案】C【解析】定義域為，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又因為函數(shù)有唯一零點，根據(jù)零點關于軸對稱，得出，所以，當時，函數(shù)有唯一零點，符合題意；當時，函數(shù)有零點，不符合題意舍；故選：C.【變式12-4】已知函數(shù)，分別為定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．1或C．或1 D．或2【答案】A【解析】函數(shù)，分別為定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，，所以，解得，由為偶函數(shù)，關于對稱，則關于對稱，又為偶函數(shù)，關于對稱，則關于對稱，所以關于對稱，則有唯一零點一定在處取得，故有，化簡得，解得或.故選：A.【變式12-5】（2025·山東·模擬預測）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】設，定義域為R,∴，故函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于y軸對稱，故函數(shù)的圖象關于直線對稱，∵有唯一零點，∴，即．故選：D．

1．已知函數(shù)，若方程有3個不同的實根，則實數(shù)m取值范圍值是

A． B．C． D．【答案】D

【解析】原方程可轉化為，即或，當時，；當時，，方法1：要使得有3個不同的實根，則有或，解得方法2：作出的圖象，如圖所示，當時，有1個實根，有1個實根，不符合題意；當時，有1個實根，有2個實根，符合題意；當時，有1個實根，有1個實根，不符合題意；當時，有2個實根，有1個實根，符合題意；當時，有1個實根，有1個實根，不符合題意；綜上，

．故選2．已知函數(shù)則方程為常數(shù)且的不同的實數(shù)根的個數(shù)為

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B

【解析】解法一：由，得，，作出函數(shù)和的圖象如圖所示，易知函數(shù)的圖象共有4個不同的交點，即方程為常數(shù)且有4個不同的實數(shù)根．故選解法二：對于任意的，方程的解的個數(shù)是確定數(shù)，因此不妨取特殊值，則或令，因為且其兩根之積小于零，所以該方程在上只有一個解．令，因為且其兩根之積大于零，兩根之和大于零，所以該方程在上有兩個不同的解．令，因為，所以，故無解．令，因為，所以，且在上單調遞增，故只有一個解．綜上，方程為常數(shù)且的不同的實數(shù)根的個數(shù)為4，故選3．已知方程有四個不同的實數(shù)根，滿足，且在區(qū)間和上各存在唯一整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】方法一．令，則．所以為偶函數(shù)．所以只需考慮時，有兩個零點，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)即可．當時，令，得．令，則．當時，，所以在上單調遞增；當時，0，所以在上單調遞減．因為在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，所以，即．所以的取值范圍為．方法二：．令，則，所以為奇函數(shù)．因為也是奇函數(shù)，所以只需考慮時，與的圖象有兩個交點，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)．易知，當時，，所以在上單調遞增；當時，，所以在上單調遞減．當直線過點時，；當直線過點時，．因為與的圖象有兩個交點，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)，所以，所以的取值范圍為．方法三：由，得．令，兩函數(shù)均為偶函數(shù)，所以只需考慮時，與的圖象有兩個交點，且在區(qū)間上存在唯一整數(shù)．如圖，作的部分圖象，根據(jù)圖象易得，所以解得，所以的取值范圍為．故答案為：

①數(shù)形結合1．已知函數(shù)設，若函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

A． B．C． D．【答案】C

【解析】因為函數(shù)

有兩個零點，所以函數(shù)

的圖象與函數(shù)

的圖象有一個不同的交點，函數(shù)

恒過定點

，

，如圖所示，兩個函數(shù)圖象已經有一個交點

，

時，

，其導函數(shù)

，當直線

與函數(shù)

相切時，只有一個交點

，此時

，解得

，則當

時，有一個交點，

時，

，其導函數(shù)

，當直線

與函數(shù)

相切時，只有一個交點

，此時

，解得

，則當

時，有一個交點，當時，兩個函數(shù)圖象有一個交點

，綜上，要使函數(shù)

有一個零點，則實數(shù)

a

的取值范圍是故選：2．已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】若函數(shù)恰有4個零點，則有四個根，即與有四個交點，當時，與圖象如下：兩圖象有2個交點，不符合題意，當時，與x軸交于兩點，圖象如圖所示，兩圖象有4個交點，符合題意，當時，與x軸交于兩點，在內兩函數(shù)圖象有兩個交點，所以若有四個交點，只需與在還有兩個交點，即可，即在還有兩個根，即在還有兩個根，函數(shù)，當且僅當時，取等號，所以，且，所以，綜上所述，k的取值范圍為故選：3．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B

【解析】令，設，則等價于，因為的根，即為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，分別作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，顯然交點有兩個，分別設橫坐標為與，且，由圖可得，，當時，觀察函數(shù)與圖象，有2個交點，當時，觀察函數(shù)與圖象，有3個交點，綜合可得與共有5個交點，即的零點個數(shù)為5個．②轉化與化歸4．若函數(shù)在上有零點，則a的取值范圍為

A． B． C． D．【答案】A

【解析】由題意可知在上單調遞減，所以，即，解得，則a的取值范圍為：故選：5．設，函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】在區(qū)間內恰有6個零點又二次方程最多有兩個零點，至少有四個根，，令，即

，，，，又，，，即，，①當時，，有4個零點，即，，有5個零點，即，，有6個零點，即，②當時，，，解得，當時，，無零點，當時，，有1個零點，當時，，的對稱軸，即在對稱軸的左邊，當時，即，有兩個零點，當時，即，有1個零點，綜合①②可得，故選6．函數(shù)，，若有兩個零點，，的零點為，則關于的不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】令得，則的零點即為與交點的橫坐標，令得，則的零點即為與交點的橫坐標，畫出，，的圖象，可得選項B、C、D可能成立，故選③分類討論7．已知函數(shù)，若關于x的方程恰有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為

．【答案】

【解析】作出圖象，如圖：令，則原方程即為，記方程的兩根為，，可知，，①當時，，當時，，此時方程恰有兩個不同的實數(shù)根，滿足題意；當時，，此時方程僅有一個實數(shù)根，不滿足題意；②當時，或，此時，不妨設，當時，，則方程有三個不同的實數(shù)根，方程有一個實數(shù)根，不滿足題意；當時，，此時方程和各有一個實數(shù)根且兩根不相等，滿足題意；綜上可知，實數(shù)k的取值范圍為8．對任意實數(shù)x，以表示不超過x的最大整數(shù)，稱它為x的整數(shù)部分，如，等．定義，x稱它為的小數(shù)部分，如，等．若直線與的圖象有四個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是

．【答案】

【解析】直線整理得：，直線恒過，當時，，又因為是周期為1的函數(shù)，由與圖象可知：①時，當直線經過點時，有3個交點，則，當直線經過點時，有4個交點，則，當時，直線與有4個不同的交點；②時，當直線經過點時，有3個交點，則，當直線經過點時，有4個交點，則，當時，直線與有4個不同的交點，，故答案為：9．已知函數(shù)若函數(shù)所有零點的乘積為1，則實數(shù)a的取值范圍是

．【答案】

【解析】令，令得，故顯然即：的所有解的乘積為數(shù)形結合：的解可看作函數(shù)的圖象與直線的交點的橫坐標；結合的圖象可知：當時：函數(shù)的圖象與直線沒有交點；當時：函數(shù)的圖象與直線有2個交點，即當時有2個解，，且滿足，故又單調遞增，且，此時與無交點，故故

基礎過關篇1．（2025·湖北黃岡·模擬預測）設函數(shù)，，曲線與恰有一個交點，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】令函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，因為函數(shù)與恰有一個交點，所以，可得，解得.故選：C.2．（2025·山東淄博·三模）若關于的方程有唯一解，則求得上述關于的方程的非零實數(shù)解為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】設，顯然，又，故為偶函數(shù)，又有唯一零點，由對稱性可知的零點為0，故，即，即，解得或2，所以上述關于的方程的非零實數(shù)解為2.故選：C3．（2025·湖南長沙·模擬預測）已知是定義在上的周期函數(shù)，其最小正周期為5，設，若在區(qū)間內共有26個零點，則在區(qū)間內的零點個數(shù)為（

）A．8 B．10 C．12 D．15【答案】B【解析】令，則，當時，，所以在區(qū)間內的零點個數(shù)即為在區(qū)間內的零點個數(shù)．設在一個周期內的零點個數(shù)為，在內的零點個數(shù)為，則在內有個零點．因為，由已知，．又，則．因為在內有個零點，在內有2個零點，所以在區(qū)間內有10個零點．故選：B.4．（2025·安徽·模擬預測）已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】，由，得或，即或或，.所以函數(shù)在區(qū)間的零點是4個.故選:D5．（2025·云南·三模）已知定義在上的函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一公共點，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因為，則，所以的圖象關于對稱，且當時，單調遞增，當時，單調遞減；又，故可看作由函數(shù)向右平移1個單位得到，所以的圖象也關于對稱；又由于函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一公共點，即方程只有一根，因為兩函數(shù)圖象都關于對稱，所以方程的根為，即，解得.故選：C．6．（2025·河北秦皇島·三模）設函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有一個零點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由函數(shù)，可得，則，所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，因為函數(shù)在上有且僅有一個零點，所以，即，解得．故選：D．7．（2025·江西·二模）已知函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令f(x)=0，得即令則(1-e)t-1=0，令則令在區(qū)間(ln(e-1)，+∞)上單調遞增；令在區(qū)間上單調遞減，又1，h(0)=h（1）=0，則h(x)=0有且只有兩個根，分別為0，1.當a≥0時，函數(shù)f(x)恰有2個零點等價于的圖象與直線y=0和y=1共有2個交點.令p(x)=lnx+ax，則則p(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調遞增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，則.y=ax+lnx的圖象與直線y=0和y=1各有1個交點，符合題意.當a<0時，函數(shù)f(x)恰有2個零點，等價于函數(shù)y=lnx的圖象與直線y=-ax，y=1-ax的圖象共有2個交點，臨界情況為兩條直線分別與y=lnx的圖象相切.如圖1，當y=-ax與y=lnx相切，設對應切點為，因為則相應切線方程為如圖2，當y=1-ax與y=lnx相切，設對應切點為，則相應切線方程為則綜上故選：D.8．（2025·浙江·二模）定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間內的零點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因為，故，故，即，而當時，，故當時，，故，故，當時，，而在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在有有且只有一個實數(shù)解為；當時，，而，故，此時在上無解；故當時，，則，結合上的性質可得在上有且只有一個實數(shù)解，且該實數(shù)解為，在無實數(shù)解，而且，故在上的實數(shù)解為，，，，共4個實數(shù)解，故共有4個不同的零點.故選：B.9．（2025·天津·高考真題）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性可知：在上單調遞減，在單調遞增，所以在定義域上單調遞減，顯然，所以根據(jù)零點存在性定理可知的零點位于.故選：B10．（2024·廣東江蘇·高考真題）當時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，在坐標系中結合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.故選：C11．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）設函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】解法一：令，即，可得，令，原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因為，則，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，又因為當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選：D.12．（多選題）（2025·山東臨沂·三模）已知，其中，則（

）A．當時，直線與函數(shù)的圖象相切B．當時，直線與函數(shù)圖象有且只有1個交點C．若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍為D．若函數(shù)在上有兩個零點，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】對A：當時，，，.設點為函數(shù)圖象上任意一點，則函數(shù)在該點處的切線方程為：.由該切線過點可得：，因為，所以，所以.所以切點為，所以切線方程為.故A正確；對B：當時，，.由.設，則.由；由.所以在上遞減，在上遞增.且，，.所以方程在上有兩解.即直線與函數(shù)圖象有兩個交點.故B錯誤；對C：函數(shù)在上單調遞增，所以在上恒成立.當時，成立；當時，，所以，.設，，則，由；由.所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，所以；當時，，所以，.所以在上恒成立，即在上單調遞減.又當時，，所以.綜上，故C正確；對D：函數(shù)在上有兩個零點，所以有兩解，因為，所以方程，兩解.設，，則.由；由.所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.又，當時，.所以方程有兩解，可得.所以.故D正確.故選：ACD13．（多選題）（2025·河北秦皇島·三模）已知函數(shù)，則（

）A．的極小值是1B．恰有2個零點C．方程恰有1個實根D．對任意的，都有【答案】ACD【解析】，，令，可得，當時，，當時，，所以是函數(shù)的極小值點，極小值，故A正確；由在上單調遞減，上單調遞增，且，可知無零點，故B錯誤；令，則，即，令，，令，則，令，可得，令，可得，所以在上單調遞增，上單調遞減，，故，則，單調遞減，當時，，當時，，所以直線和曲線有且只有一個交點，即方程恰有1個實根，故C正確；由，令，，當時，，所以在上為凹函數(shù)，所以對任意的，都有，故D正確.故選：ACD.14．（多選題）（2025·河南·模擬預測）設函數(shù)，則（

）A．的極大值為2B．當時，C．圖象上任意一點處的切線與的圖象恒有兩個公共點D．方程有且僅有5個不同的實根【答案】ABD【解析】，求導數(shù)，當或時，；當時，，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，對于A，函數(shù)在處取極大值，A正確；對于B，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，，，因此，B正確；對于C，，函數(shù)的圖象在處切線方程為，由解得，即此函數(shù)的圖象在處與曲線僅有一個公共點，C錯誤；對于D，令，由，即，解得或，當時，解得或；當時，而函數(shù)在處取極小值，在處取極大值，，則直線與函數(shù)的圖象有3個交點，即方程有3個不同實根，因此方程有且僅有5個不同的實根，D正確.故選：ABD15．（多選題）（2025·安徽合肥·模擬預測）設函數(shù)有三個不同的零點，從小到大依次為，則（

）A．B．函數(shù)的對稱中心為C．過引曲線的切線，有且僅有1條D．若成等差數(shù)列，則【答案】ABD【解析】由，令，解得：或，在上單調遞增，在上單調遞減.對于A，若有3個零點，則，解得：，故A正確；對于B，令，則，令，令，得，又所以對稱中心為，故B正確；對于C，結合圖象，過引曲線的切線有2條，故C錯誤；對于D，，（*）若成等差數(shù)列，則，則，代入（*）得：，故D正確.故選：ABD.16．（2025·山東·模擬預測）函數(shù)的零點為.【答案】5【解析】令，得，所以，解得或（舍去）.故答案為：5.17．（2025·湖北·模擬預測）已知函數(shù)有2個零點，，且，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)，有兩個零點，求導得：.當時，，此時在上單調遞增，不合題意.所以.令，則.為了使得函數(shù)有兩個零點，則極大值，所以.因為函數(shù)，有兩個零點，所以，即兩式相減得.因為，令，則，那么，兩式相減得，所以①.兩式相除可得：，即，所以.兩邊同時取對數(shù)得到：，化簡得：②.①②聯(lián)立可得：，所以令，則.因為，因為，設，則，故在為減函數(shù)，故，故為函數(shù)，故.令，所以，所以在上單調遞減，又，所以，所以.所以的取值范圍為.令，則，所以在上單調遞增，所以.所以綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.18．（2025·山西·三模）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因為當時，解得，函數(shù)有一個零點；因此，要使函數(shù)有兩個零點，只需時，函數(shù)有一個零點．當時，函數(shù)對稱軸為，若，只需，解得；若，只需，可得；若，有且只有一個零點，不滿足條件，綜上，的取值范圍為．故答案為：19．（2025·甘肅白銀·模擬預測）函數(shù)滿足條件：①圖象為軸對稱圖形，②至少有一個最值，③至少有兩個零點，請寫出的一個表達式．【答案】（答案不唯一，寫出一個即可）【解析】函數(shù)的對稱軸為y軸，有一個最小值－1，兩個零點，，符合題意．故答案為：（答案不唯一，寫出一個即可）能力拓展篇20．（2025·山東泰安·三模）若函數(shù)滿足：存在整數(shù)，實數(shù)，使得，則稱是“滯后的”.已知函數(shù)，不是“滯后的”，則的取值范圍是