2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——隨機事件的概率分布及期望計算考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.設(shè)事件A和事件B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）A與B獨立（B）A與B不獨立（C）P(A|B)=P(A)（D）P(B|A)=P(B)2.設(shè)隨機變量X的分布律為P(X=k)=C*(1/2)^k,k=1,2,3,4，則常數(shù)C等于（）。（A）15/16（B）1/15（C）15（D）1/163.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<0;(1-e^(-x))/2,x≥0}，則X的期望E(X)等于（）。（A）1/2（B）1（C）ln2（D）1/(1-ln2)4.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，則λ等于（）。（A）1（B）2（C）1/2（D）35.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X~N(μ1,σ1^2)，Y~N(μ2,σ2^2)，則X+Y的分布是（）。（A）N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)（B）N(μ1+μ2,σ1^2/σ2^2)（C）N(μ1-μ2,σ1^2-σ2^2)（D）N(μ1μ2,σ1σ2)二、填空題：（本大題共5小題，每小題3分，共15分。）6.設(shè)A,B,C是三個事件，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.7,P(A∪B)=0.8,P(A∩C)=0.4,P(A∪B∪C)=0.9，則P(A∩B∩C)=______。7.設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P(X=-1)=a,P(X=0)=b,P(X=1)=2a，則a=______，b=______。8.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={kx,0≤x≤2;0,其他}，則k=______。9.設(shè)隨機變量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=4，則E(X^2)=______。10.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且X~Exp(λ1)，Y~Exp(λ2)，則P(X>Y)=______。三、計算題：（本大題共5小題，共60分。）11.（10分）甲、乙兩人投籃，命中率分別為0.7和0.6。每人投籃一次，求：（1）兩人都投中的概率；（2）至少有一人投中的概率；（3）已知甲投中，乙也投中的概率。（假設(shè)兩次投籃相互獨立）12.（12分）設(shè)隨機變量X的分布律如下：|X|-1|0|1||----|----|----|----||P|a|1/3|2a|（1）求a的值；（2）求X的分布函數(shù)F(x)；（3）計算E(X)和Var(X)。13.（12分）設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={e^(-x),x≥0;0,x<0}。（1）求X落在區(qū)間(1,2)內(nèi)的概率；（2）求X的分布函數(shù)F(x)；（3）計算X的期望E(X)和方差Var(X)。14.（12分）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，X~B(10,0.4)，Y~N(5,9)。（1）求E(XY)；（2）求P(4≤X≤7且Y≤6)。15.（12分）設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，均服從N(0,1)分布。令Z=X+Y。（1）求Z的期望E(Z)和方差Var(Z)；（2）求Z的分布函數(shù)FZ(z)；（3）計算P(Z≤0)和P(Z^2≤1)。---試卷答案一、選擇題：1.B2.C3.D4.A5.A二、填空題：6.0.37.1/6,1/38.1/49.810.λ1/(λ1+λ2)三、計算題：11.解：（1）P(甲投中且乙投中)=P(甲投中)*P(乙投中)=0.7*0.6=0.42。（2）P(至少有一人投中)=1-P(甲未投中且乙未投中)=1-(1-0.7)*(1-0.6)=1-0.3*0.4=1-0.12=0.88。（3）P(乙投中|甲投中)=P(甲投中且乙投中)/P(甲投中)=0.42/0.7=0.6。12.解：（1）由分布律性質(zhì)，a+1/3+2a=1，即3a=2/3，得a=2/9。（2）分布函數(shù)F(x)=P(X≤x)。當x<-1時，F(xiàn)(x)=0。當-1≤x<0時，F(xiàn)(x)=P(X=-1)=2/9。當0≤x<1時，F(xiàn)(x)=P(X=-1)+P(X=0)=2/9+1/3=5/9。當x≥1時，F(xiàn)(x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=2/9+1/3+4/9=1。所以F(x)={0,x<-1;2/9,-1≤x<0;5/9,0≤x<1;1,x≥1}。（3）E(X)=(-1)*(2/9)+0*(1/3)+1*(4/9)=-2/9+4/9=2/9。E(X^2)=(-1)^2*(2/9)+0^2*(1/3)+1^2*(4/9)=2/9+0+4/9=6/9=2/3。Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=2/3-(2/9)^2=2/3-4/81=54/81-4/81=50/81。13.解：（1）P(1≤X≤2)=∫[1,2]e^(-x)dx=[-e^(-x)]_[1,2]=-e^(-2)-(-e^(-1))=e^(-1)-e^(-2)。（2）當x<0時，F(xiàn)(x)=∫[-∞,x]0dx=0。當x≥0時，F(xiàn)(x)=∫[0,x]e^(-t)dt=[-e^(-t)]_[0,x]=1-e^(-x)。所以F(x)={0,x<0;1-e^(-x),x≥0}。（3）E(X)=∫[0,+∞]x*e^(-x)dx。令u=x,dv=e^(-x)dx，則du=dx,v=-e^(-x)。=[-x*e^(-x)]_[0,+∞]+∫[0,+∞]e^(-x)dx=0-[e^(-x)]_[0,+∞]=0-(0-1)=1。E(X^2)=∫[0,+∞]x^2*e^(-x)dx。令u=x^2,dv=e^(-x)dx，則du=2xdx,v=-e^(-x)。=[-x^2*e^(-x)]_[0,+∞]+2∫[0,+∞]x*e^(-x)dx=0+2*1=2。Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=2-1^2=1。14.解：（1）E(XY)=E(X)*E(Y)（因X,Y獨立）=10*0.4*5=20。（2）P(4≤X≤7)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)。X~B(10,0.4)，P(X=k)=C(10,k)*(0.4)^k*(0.6)^(10-k)。P(4≤X≤7)=C(10,4)*(0.4)^4*(0.6)^6+C(10,5)*(0.4)^5*(0.6)^5+C(10,6)*(0.4)^6*(0.6)^4+C(10,7)*(0.4)^7*(0.6)^3。P(Y≤6)=P(Y=0)+...+P(Y=6)。Y~N(5,9)，標準正態(tài)分布Z=(Y-5)/3。P(Y≤6)=P((Y-5)/3≤(6-5)/3)=P(Z≤1/3)=Φ(1/3)（其中Φ為標準正態(tài)分布函數(shù)）。P(4≤X≤7且Y≤6)=P(4≤X≤7)*P(Y≤6)（因X,Y獨立）=[上述計算結(jié)果]*Φ(1/3)。15.解：（1）E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0+0=0。Var(Z)=Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)（因X,Y獨立）=1+1=2。（2）因X,Y獨立且均服從N(0,1)，Z=X+Y也服從正態(tài)分布，均值為E(Z)=0，方差為Var(Z)=2。即Z~N(0,2)。其概率密度函數(shù)為fZ(z)=(1/(sqrt(2π*2)))*e^(-(z-0)^2/(2*2))=(1/(sqrt(4π)))*e^(-z^2/4)。其分布函數(shù)為FZ(z)=P(Z≤z)=P((Z-0)/sqrt(2)≤z/sqrt(2