2/2 第十五章軸對稱（知識清單、易錯總結(jié)） 【知識點01】軸對稱圖形1．軸對稱圖形（1）定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．（2）判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，可利用軸對稱圖形的定義，將圖形對折，看是否能夠完全重合，若能夠完全重合，則這個圖形是軸對稱圖形，否則這個圖形不是軸對稱圖形．【注意】（1）對稱軸是一條直線，而不是射線或線段．（2）一個軸對稱圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條，還可以有無數(shù)條．（3）軸對稱圖形是對于一個圖形而言的，它表示具有一定特性（軸對稱性）的某一類圖形．2．軸對稱把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點．軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系名稱關(guān)系軸對稱軸對稱圖形區(qū)別意義不同兩個圖形之間的特殊位置關(guān)系一個形狀特殊的圖形圖形個數(shù)兩個圖形一個圖形對稱軸的位置不同可能在兩個圖形的外部，也可能經(jīng)過兩個圖形的內(nèi)部或它們的公共邊（點）一定經(jīng)過這個圖形對稱軸的數(shù)量只有一條有一條或多條聯(lián)系（1）如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形（2）如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱3．軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)（1）兩個圖形成軸對稱的性質(zhì)：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．（2）軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．（3）軸對稱圖形（或關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形）的對應(yīng)線段（對折后重合的線段）相等，對應(yīng)角（對折后重合的角）相等．（4）成軸對稱的兩個圖形全等；軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分也全等，但全等的兩個圖形不一定是軸對稱圖形．4．軸對稱變換一個圖形與其關(guān)于直線l對稱后的圖形之間的關(guān)系同．（2）新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于直線l的對稱點．（3）連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分．【注意】的．（2）一個軸對稱圖形也可以看成是以它的一部分為基礎(chǔ)經(jīng)過軸對稱變換而得到的．5．畫軸對稱圖形幾何圖形都可以看作由點組成，對于某些圖形，我們只要畫出圖形中的一些特殊點（如線段端點）關(guān)于對稱軸的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形．畫軸對稱圖形的方法：（1）找——在原圖形上找特殊點（如線段的端點）；（2）畫——畫各個特殊點關(guān)于對稱軸對稱的點；（3）連——依次連接各對稱點．6．用坐標(biāo)表示軸對稱關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點：（1）點（x，y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（x，-y）；（2）點（x，y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（-x，y）．已知兩個點的坐標(biāo)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，則點P1，P2關(guān)于x軸對稱；若x1+x2=0，y1=y2，則點P1，P2關(guān)于y軸對稱．反之也成立．在坐標(biāo)系中畫軸對稱圖形的方法：（1）計算——計算對稱點的坐標(biāo)；（2）描點——根據(jù)對稱點的坐標(biāo)描點；（3）連接——依次連接所描各點得到成軸對稱的圖形．【知識點02】線段垂直平分線1．線段垂直平分線的定義及其性質(zhì)（1）線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．（2）性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．書寫格式：如圖所示，點P在線段AB的垂直平分線上，則PA=PB．（3）判定：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．書寫格式：如圖所示，若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上．【知識點03】等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）．等腰三角形的其他性質(zhì)：（1）等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等．（2）等腰三角形兩底角的平分線相等．（3）等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高．（4）當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個銳角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．?dāng)?shù)學(xué)語言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．【注意】（1）“等角對等邊”不能敘述為：如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩腰也相等．因為在沒有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”這些名詞，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角對等邊”與“等邊對等角”的區(qū)別：由兩邊相等得出它們所對的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形有兩角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等邊三角形及其性質(zhì)等邊三角形的概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°．【注意】（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì)．4．等邊三角形的判定定等邊三角形的方法：（1）定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．5．含30°角的直角三角形的性質(zhì)一在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．【注意】（1）該性質(zhì)是含30°角的特殊直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形或非直角三角形沒有這個性質(zhì)，更不能應(yīng)用．（2）這個性質(zhì)主要應(yīng)用于計算或證明線段的倍分關(guān)系．（3）該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切．（4）在有些題目中，若給出的角是15°時，往往運用一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和將15°的角轉(zhuǎn)化后，再利用這個性質(zhì)解決問題．【知識點04】最短路問題（1）求直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要連接這兩點，所得線段與直線的交點即為所求的位置．（2）求直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，所得線段與該直線的交點即為所求的位置．易錯點1求等腰三角形的周長時忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯1.忽略腰長與底邊長的合理性：計算時若已知兩邊長，需分“已知邊為腰”和“已知邊為底”兩種情況討論。例如兩邊為3和6，若3為腰，3+3=6，不滿足“兩邊之和大于第三邊”，故只能6為腰，周長15。2.忽視周長計算的前提條件：無論按哪種情況假設(shè)，都需驗證三邊是否滿足“任意兩邊之和大于第三邊”。若忽略驗證，直接相加會導(dǎo)致錯誤，如誤將2、2、5當(dāng)作等腰三角形，實際無法構(gòu)成三角形。例1．解答下面兩個小題：(1)已知等腰三角形的兩邊長是2和6，求這個等腰三角形的周長．(2)已知等腰三角形的周長是12，一邊長為5，求它的另外兩邊的長．【答案】(1)這個等腰三角形的周長是14(2)另兩邊是3.5，3.5或5，2【知識點】構(gòu)成三角形的條件、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（1）分類討論明確等腰三角形的腰與底邊，并驗證三邊關(guān)系求解即可；（2）分類討論明確等腰三角形的腰與底邊，并驗證三邊關(guān)系求解即可；【詳解】（1）解：①當(dāng)腰長為2時，則三角形的三邊長分別是，，構(gòu)不成三角形，故舍；②當(dāng)腰長為6時，則三角形的三邊長分別是，，∴可構(gòu)成三角形，∴三角形的周長．答：這個等腰三角形的周長是14；（2）∵等腰三角形的一邊長為5，周長為12，∴當(dāng)5為底時，其它兩邊都為3.5、3.5，5、3.5、3.5可以構(gòu)成三角形；當(dāng)5為腰時，其它兩邊為5和2，5、5、2可以構(gòu)成三角形．∴另兩邊是或．易錯點2當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r沒有分類討論產(chǎn)生易錯1.未明確已知角為頂角或底角：已知等腰三角形的一個內(nèi)角，需分情況討論該角是頂角還是底角。若已知角為鈍角或直角，只能是頂角；若為銳角，可能是頂角或底角。例如已知內(nèi)角為70°，當(dāng)它是頂角時，底角為(180°-70°)÷2=55°；當(dāng)它是底角時，另一個底角也為70°，頂角為40°。2.未考慮三角形內(nèi)角和定理：分類討論后，要確保每種情況所得的三個內(nèi)角之和為180°，符合三角形的基本性質(zhì)，避免因邏輯不完整出現(xiàn)錯誤。例2．等腰三角形的一個角比另一個角2倍少20度，等腰三角形底角的度數(shù)是．【答案】或或【知識點】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點在于分情況討論，特別是這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯．設(shè)另一個角是，表示出這個角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)另一個角是，表示出這個角是，①是頂角，是底角時，，解得，所以，底角為；②是底角，是頂角時，，解得，所以，底角是；③與都是底角時，，解得，所以，底角是；綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數(shù)是或或．故答案為：或或．易錯點3求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯1.

邊與角的不確定性分類缺失：等腰三角形邊的問題中，未區(qū)分腰與底，如已知兩邊求周長未驗證三邊關(guān)系；角的問題里，未明確已知角是頂角或底角，像已知一個銳角未分情況計算其他角。2.

圖形位置與條件組合漏解：涉及高、中線等輔助線時，未考慮高在形內(nèi)或形外，中線分割后的邊長關(guān)系等多種位置情形，同時對題目條件的不同組合未全面分析，導(dǎo)致遺漏多種可能情況。例3．如圖，中，，，，D為斜邊上不與端點A、B重合的一動點，過點D作，垂足為E，將沿翻折，點A的對應(yīng)點為點F，連接．若為等腰三角形，則的長為．【答案】或．【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由題意可知，是等腰直角三角形，則，由折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到，再根據(jù)點的分為分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：，為等腰三角形，是等腰直角三角形，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，如圖1，當(dāng)點在上時，，則；如圖2，當(dāng)點在的延長線上時，，則；綜上可知，的長為或故答案為：或．易錯點4三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯1.三角形形狀與高線位置關(guān)系不清：銳角三角形的三條高均在形內(nèi)；直角三角形兩條直角邊的高為另一條直角邊；鈍角三角形有兩條高在形外。若未根據(jù)三角形形狀討論高的位置，在計算邊長、面積或角度時易出錯，如求鈍角三角形面積，忽略高在形外的情況會導(dǎo)致錯誤。2.多種線段組合的情形遺漏：當(dāng)三角形存在高線、中線、角平分線等多種線段時，未考慮不同形狀下這些線段的位置組合，如等腰三角形底邊上的高與中線重合，但非等腰三角形不重合，不分類討論易漏解。例4．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)是．【答案】或【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查等腰三角形的定義，三角形的內(nèi)角和定理，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可．【詳解】解：①等腰三角形為銳角三角形，，；②等腰三角形為鈍角三角形，，故答案為：或．易錯點5等腰三角形中與新定義型問題的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯1.新定義規(guī)則下的等腰屬性分類缺失：未依據(jù)新定義明確等腰三角形的邊、角對應(yīng)關(guān)系，如定義“特殊等腰三角形”對腰長與底邊存在特殊限制，未分情況討論腰與底是否滿足新規(guī)則，易漏解。2.新定義與等腰性質(zhì)組合的多解遺漏：忽略新定義條件與等腰三角形三線合一、內(nèi)角和等性質(zhì)的多種組合情形，如定義“關(guān)聯(lián)等腰三角形”涉及角度計算，未考慮頂角與底角在新規(guī)則下的不同取值范圍，導(dǎo)致錯解。例5．等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A． B． C．或2 D．或【答案】D【分析】分為腰長和底邊長，兩種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：當(dāng)為腰長時，∵等腰的周長為20，∴的底邊長為：，∴“優(yōu)美比”為；當(dāng)為底邊長時，的腰長為：，∴“優(yōu)美比”為；故選D．【點睛】本題考查等腰三角形的定義．熟練掌握等腰三角形的兩腰相等，是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．一、單選題1．在等腰中，與的度數(shù)之比是，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)與的度數(shù)之比是，設(shè)，，分為頂角和為底角，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵與的度數(shù)之比是，∴設(shè)，，當(dāng)為頂角時，則：，∴，∴，∴；當(dāng)為底角時，則：，∴，∴，∴；故或；故選D．2．已知一個等腰三角形的一個外角等于，則它頂角的度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．不能確定【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及外角定理的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是分析外角對應(yīng)的是頂角還是底角的內(nèi)角，并分類討論兩種情況．【詳解】解：外角為，對應(yīng)的內(nèi)角為，分情況討論：情況1：若外角位于頂角，則頂角的內(nèi)角為，此時底角為，情況2：若外角位于底角，則底角的內(nèi)角為，則頂角為，綜上所述，它的頂角是或，故選：C．3．等腰三角形一腰上的高與另一腰所夾的角為，則頂角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．分這個三角形為銳角三角形和鈍角三角形，再利用三角形內(nèi)角和定理和可求得頂角的度數(shù)．【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖①，高與右邊腰成夾角，由三角形內(nèi)角和為可得，頂角為；②當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖②，此時垂足落到三角形外面，因為三角形內(nèi)角和為，由圖可以看出等腰三角形的頂角的補角為，所以三角形的頂角為，所以該等腰三角形的頂角為或，故選：D．4．等腰三角形的一邊長為4，它的周長為16，則它的腰長為（

）A．4 B．6 C．4或6 D．10或12【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，三角形的存在性解答即可．本題考查了等腰三角形的定義，三角形的存在性問題，正確分類計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵等腰三角形的一邊長為4，周長為16，∴等腰三角形的三邊長為4，4，8或6，6，4，當(dāng)三邊為4，4，8時，，三角形不存在；當(dāng)三邊為6，6，4時，，三角形存在，故腰長為：6；故選：B．5．等腰三角形一腰上的中線把周長分成和兩部分，則腰長為（

）A．8 B． C．8或 D．【答案】C【分析】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)的運用能力，做題時注意分類討論思想的運用．由題意得，腰上的中線把等腰三角形分成和兩部分，則要分一腰的一半與另一腰的和為或兩種情況進(jìn)行分析，解一元一次方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，設(shè)等腰三角形的腰長，，是腰上的中線，．①若的長為，則，解得．等腰三角形的腰長為，等腰三角形的底長為．②若的長為，則，解得，等腰三角形的腰長為，等腰三角形的底長為．經(jīng)檢驗，均符合三角形三邊關(guān)系．故選：C．6．已知實數(shù)a，b滿足，則以a，b的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（

）A．18 B．25 C．29 D．25或29【答案】D【分析】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，先根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a，b，再分a為底邊長，a為腰長兩種情況，判斷是否能構(gòu)成三角形，進(jìn)而計算周長．【詳解】解：，，，，，，，當(dāng)a為底邊長時，三條邊長分別為7，11，11，，能構(gòu)成三角形，此時周長為：，當(dāng)a為腰長時，三條邊長分別為7，7，11，，能構(gòu)成三角形，此時周長為：，因此周長是25或29，故選D．二、填空題7．等腰三角形的兩邊長分別為和，則該等腰三角形的周長為．【答案】10【分析】本題考查等腰三角形，分情況討論，先利用三角形三邊關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形，再計算周長即可．【詳解】解：當(dāng)腰長為時，三條邊長為，，，，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；當(dāng)腰長為時，三條邊長為，，，，能構(gòu)成三角形，周長為：，故答案為：10．8．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個等腰三角形的頂角是．【答案】或【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，采用分類討論的思想解題，是解決本題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角或者當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角，分別進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時，如圖：則，，等腰三角形的頂角為；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時，如圖：則，，，，等腰三角形的頂角為，綜上所述，這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為：或，故答案為：或．9．已知三角形的一個內(nèi)角，則當(dāng)此三角形的另外兩個角中有一個角等于時，這個三角形是等腰三角形．【答案】或或【分析】本題考查三角形內(nèi)角和的知識，等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)三角形有兩個角相等，且其中的一個內(nèi)角是可知，分兩種情況，一種是有兩個角都是，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，可以求得第三個角；一種是有一個角是，另外兩個角相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，求出這兩個角的大?。驹斀狻拷猓骸呷切斡袃蓚€角相等，且其中的一個內(nèi)角是，∴分兩種情況：第一種情況是：這兩個相等的角是，∵三角形內(nèi)角和是，∴第三個角是：；第二種情況是：一個角是，另外兩個角相等，∵三角形內(nèi)角和是，∴另外兩個角是：．由上可得，當(dāng)此三角形的另外兩個角中有一個角等于或或時，這個三角形是等腰三角形．故答案為：或或．10．如圖，，A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點P，Q同時出發(fā)，用表示移動的時間，那么當(dāng)時，是等腰三角形．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的判定、動點問題及一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是分情況討論等腰三角形的構(gòu)成條件．（1）用t表示線段長度：分情況為確定；或定；（2）分二種情況討論，排除時，、兩種無解情況．【詳解】解：由題意，動點P速度為速度為運動時間為則．∵A在延長線上，∴當(dāng)P在A到O之間時，當(dāng)P在O到B之間時，．又，A在延長線上，故．要使為等腰三角形，分以下二種情況：①若，不可能與其它邊相等,因是鈍角，是三角形內(nèi)的最大角，根據(jù)“大角對大邊”可知最長.∴，,∴解得②若因，使為等腰三角形時，必構(gòu)成等邊三角形，∴解得．綜上，t的值為或．故答案為：或．11．如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形，這兩個相等的角是底角，另外一個角是頂角．如果一個等腰三角形，其一腰上的高與另一腰的夾角是度，那么這個等腰三角形的頂角等于度．【答案】或【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是分兩種情況討論．本題需要分兩種情況，并畫圖分析，等腰三角形的高可能在三角形的內(nèi)部或外部，然后進(jìn)行計算，即可求解．【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切蔚母咴谌切蔚膬?nèi)部時，如圖：，是的高，，，∵是的高，∴，；當(dāng)?shù)妊切蔚母咴谌切蔚耐獠繒r，如圖：，是△ABC的高，，，∵是的高，∴，∴，綜上所述，這個等腰三角形的頂角等于或．故答案為：或．分兩種情況，等腰三角形的高可能在三角形的內(nèi)部或外部，即可求解．本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是分兩種情況討論．12．如圖，在中，，，點在邊上，、關(guān)