第五章一元一次方程3一元一次方程的應(yīng)用第2課時一元一次方程的應(yīng)用（2）

《九章算術(shù)》“盈不足”問題指一定人數(shù)平均分一定

數(shù)量的物品，每人分得少則有余，每人分得多則不足的應(yīng)

用題。其計算公式為每人所得數(shù)×人數(shù)＋盈＝物數(shù)；每人所得數(shù)×人數(shù)－虧＝物數(shù)。

“盈不足”問題

【例1】《九章算術(shù)》中有這樣一道題：今有共買

羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊

價幾何？這道題的意思是今有若干人共買一頭羊，若每人

出5錢，則還差45錢；若每人出7錢，則仍然差3錢。求買

羊的人數(shù)和這頭羊的價格。設(shè)買羊的人數(shù)為x人，根據(jù)題

意，可列方程為（D）A.

5x－45＝7x＋3B.

5x＋45＝7x－3C.

5x－45＝7x－3D.

5x＋45＝7x＋3D

解決“盈不足”問題的關(guān)鍵是抓住物品總量不變，

用兩種方法表示物品總量，從而列出方程。

實際應(yīng)用

【例2】某校組織七年級學生到江姐故里研學旅行，

租用同型號客車4輛，還剩30人沒有座位；租用5輛，還空

10個座位。求該客車的載客量。40人。

“盈不足”問題可拓展到其他實際問題，總體思路

就是題中的三個量，有一個量不改變，即為等量關(guān)系，

由此即可列出方程求解。1.

《九章算術(shù)》中有這樣一道數(shù)學問題，原文如下：清

明游園，共坐八船，大船滿六，小船滿四，三十八學子，

滿船坐觀。請問客家，大小幾船？其大意：清明時節(jié)出去

游園，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐

4人，38個人，剛好坐滿，問：大小船各有幾只？若設(shè)有

x只小船，則可列方程為（A）A.

4x＋6（8－x）＝38B.

6x＋4（8－x）＝38C.

4x＋6x＝38D.

8x＋6x＝38答案：A2.

明代時，1斤＝16兩，故有“半斤八兩”之說?！端惴?/p>

統(tǒng)宗》中有一道題的大意為客人分銀子，如果每人分七

兩，則多四兩，如果每人分九兩，則還差半斤。設(shè)共有n

個客人，根據(jù)題意，下列所列方程正確的是（C）A.

7n＋4＝9n＋8C.

7n＋4＝9n－8C3.

近年來，網(wǎng)購的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活。某快遞

分派站現(xiàn)有包裹若干件需快遞員派送，若每個快遞員派送

10件，還剩6件；若每個快遞員派送12件，還差6件，那么

該分派站現(xiàn)有包裹（B）A.60件B.66件C.68件D.72件B4.

某防護服廠有54人，每人每天可加工防護服8件或防護

面罩10個，已知一套防護服配一個防護面罩，為了使每天

生產(chǎn)的防護服與防護面罩正好配套，需要安排

30

人生

產(chǎn)防護服。305.

某電視臺組織知識競賽，共設(shè)20道選擇題，要求每題

必答，每答對一題得5分，答錯一題扣1分，小智參賽得到

了76分，他答對了

16

道題。6.

某校七年級兩個班共有82人，如果從七（1）班調(diào)3人

到七（2）班后兩班人數(shù)正好相等，那么七（1）班原

有

44

人。1644

7.

某班將舉行“防溺水安全知識競賽”活動，班主任安

排班長購買獎品，下面是班長買回獎品時與班主任的對話

情況：班長：“買了兩種不同的獎品共50件，單價分別為3元和5

元，我領(lǐng)了200元，現(xiàn)在找回35元?！卑嘀魅危骸澳憧隙ǜ沐e了！”班長：“哦！我把自己口袋里的15元一起當作找回的錢款了。”班主任：“這就對了！”請根據(jù)上面的信息，解決下列問題：（1）兩種獎品各買了多少件？單價為3元的獎品買了35件，單價為5元的獎品買了15件。（2）請你解釋：班長為什么不可能找回35元？若找回35元，則通過計算可得出單價為3元的獎品買了

42.5件，件數(shù)不能為小數(shù)。

8.

為拓寬學生視野，某中學決定組織部分師生去廬山西

海開展研學旅行活動。在參加此次活動的師生中，若每位

老師帶19個學生，則還剩11個學生沒人帶；若每位老師帶

20個學生，則有一位老師少帶7個學生。為了安全，既要

保證所有師生都有車坐，又要保證每輛客車上至少要有2

名老師?，F(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如

下表所示：甲種客車乙種客車載客量/（人/輛）3050租金/（元/輛）300400（1）參加此次研學旅行活動的老師和學生各有多少人？解：（1）設(shè)有x個老師，依題意，得19x＋11＝20x－7。解得x＝18。則19x＋11＝353。因此，參加此次研學旅行活動的老師有18人，學生有

353人。（2）學校計劃此次研學旅行活動的租車總費用不超過4

100元，租用乙種客車不少于7輛，你能得出哪幾種不同的

租車方案？其中哪種租車方案最省錢？請說明理由。18＋353－50×7＝21（人），21＜30＜50，所以有兩種租車方案，方案1：租用1輛甲種客車，7輛乙種客車；方案2：租用8輛乙種客車。方案1所需費用為300＋400×7＝3

100（元）；方案2所需費用為400×8＝3

200（元）。因為3

100＜3

200，所以方案1最省錢，即租用1輛甲種客車，7輛乙種客車。中國“最美扶