2024?2025學(xué)年遼寧省錦州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一個選

項是正確的）

1.（3分）葫蘆在我國古代被看作吉祥之物.如圖是一個工藝葫蘆的示意圖，關(guān)于它的三視圖說法正確的

是（）

正而

A.主視圖與左視圖相同

B.主視圖與俯視圖相同

C.左視圖與俯視圖相同

D.主視圖、左視圖與俯視圖都相同

2.（3分）如圖，矩形ABCO中，AC,若NAOB=60。，AB=3（）

3.（3分）如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”.數(shù)學(xué)小組為了探究隨機投放一

個點恰好落在“心形線''內(nèi)部的概率，進行了計算機模擬試驗

試驗總次數(shù)100200300500150020003000

落在“心形線”內(nèi)部61931652467599961503

的次數(shù)

落在“心形線”內(nèi)部0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501

的頻率

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計隨機投放一點落在“心形線”內(nèi)部的概率為（)

C.0.55D.0.61

4.(3分)已知x=3是一元二次方程7+隊?c=0的一個根，則3b?c=()

A.9B.-9C.3D.-3

5.(3分)若反比例函數(shù)y=q3的圖象位于第一、三象限，則上的取值范圍是()

A.k<-3B.k>-3C.k<3D.k>3

6.(3分)如圖，某零件的外徑為12cm,用一個交叉卡鉗(AC=B。)，且量得CD=5cm,則零件的厚度x

為()

DC

B.1.5cinC.1cmD.0.5c/n

7.(3分)《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南行十步

而斜東北與乙會，大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲每單位時間走7步，甲先向南

走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時，甲、乙行走了x個單位時間，則下

面由題意所列方程正確的是()

A.(3x)2+102=(7x-10)2B.(3x)2+(7x-10)2=102

C.(7x)2+102=(3x-10)2D.(7x)2+(3x-10)2=102

8.(3分)如圖，在菱形ABC。中，正是對角線BO上的點，。為的中點，連接CE()

A

D

A.16°B.20°C.24°D.28°

9.（3分）固體糖溶于水可得到糖水.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如圖，x軸表示糖水質(zhì)量（瓶中糖

固體質(zhì)量與糖水質(zhì)量的比值），其中乙、丁兩點恰好在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這四瓶糖水中含

10.（3分）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是閉合狀態(tài)的示意圖，AE=CF=EF=2cm,圖3是打開狀態(tài)的

示意圖，其中人C=lcm,D兩點之間的距離為（）

A.2cmB.2.5onC.3cmD.3.5cm

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）關(guān)于x的一元二次方程F+6A機=0有兩個相等的實數(shù)根，則/〃的值為.

12.（3分）木箱中裝有14個紅球和若干個藍球，這些球除顏色外都相同，隨機從木箱里摸出一個球，經(jīng)

過多次重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.7附近.

13.（3分）如圖，在正方形ABC。中，對角線4C,分別以點C,。為圓心工CD的長為半徑面弧，兩弧交

2

于點尸，連接4E，交。。于點P.若4。=4.

14.(3分)如圖，點4在反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象上，AC交y軸于點E,且滿足AC=4CE點尸

在y軸正半軸上，BF交AC于點。,SAOBF=18,則4=

15.(3分)如圖，在菱形ABCD中，ZC=120°,AB=2?，將48CE沿BE折暫得到^BCE,EF平分NCED

交4。于點F,C,尸三點在同一條直線上時

三、解答題(本題共8道題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程)

16.(9分)用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(I)x2-4x+2=0；

(2)x(x-1)=2-2x.

17.(9分)如圖，在平面直角坐標系中，AABC的頂點坐標為A(1,2),B(-1,0),C(2,0).

(1)以原點。為位似中心，在x軸上方作△AiBCi,使△山81以與△ABC位似，且相似比為2：1；

(2)在(1)的條件下，

①寫出點A的對稱點Ai的坐標；

②寫出△ABC邊上任意一點。(小b)的對應(yīng)點P的坐標.

18.（9分）在“趣味化學(xué)實驗室”課上，黃老師用毛筆蘸取透明無色液體，并在白紙上書寫，這是酚酸溶液

產(chǎn)生的神奇變化.酚獻是化學(xué)領(lǐng)域重要的酸堿指示劑，它遇減變紅，里面分別裝有四種無色溶液：

（1）小明同學(xué)從中隨機拿出一瓶，選中酚儆的概率是;

（2）張老師從四瓶無色液體口隨機選取兩瓶，并分別取一定量的溶液混合均勻，請利用畫樹狀圖或列

表的方法求混合后溶液變紅的概率.

A.酚歐B,氫氧化鈉溶液C.鹽酸溶液D.蒸儲水

（跋性）（酸性）（中性）

19.（9分）體育是學(xué)生綜合素質(zhì)發(fā)展的重要組成部分，跳繩和排球墊球是體育中考中學(xué)生選擇較多的兩個

考試項目，跳繩和排球也成為學(xué)生必備的中考體育用品，銷售一種跳繩和排球套裝，每套進貨價為35

元，4月份的銷售量為256套，6月份的銷售量為400套.

（1）求這種跳繩和排球套裝4月份到6月份銷售量的月平均增長率：

（2）經(jīng)市場預(yù)測，7月份的銷售量將與6月份持平，商店為了減少庫存，每套的銷售價每降低1元時，

月銷售量就會增加20套，這種跳繩和排球套裝每套的銷售價應(yīng)為多少元？

20.（9分）圖1為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升13C,加熱到100C,水溫開始下降，此時水溫

.V（℃）（min）成反比例關(guān)系.當水溫降至60℃時?，飲水機處于恒溫保溫狀態(tài)，啟動加熱開關(guān)即可，當

前水溫為22℃,水溫y（C）與通電時間x（加〃）

（1）求反比例函數(shù)表達式；

（2）若沏茶的最佳水溫不低于80C,求從當前水溫22c開始加熱，到飲水機處于恒溫保溫狀態(tài)的過程

中

圖2

21.(9分)如圖，在uABCQ中，對角線AC,8c的垂直平分線分別交8C,AC,M,F,且M為E/的中

點，R7〃8c交4c于點G

(1)求證：四邊形3EFG是矩形;

(2)若8c=8,EF=3,求AC的長.

22.(9分)某校數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中,對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究.

【問題探究】

(1)如圖1,在正方形ABCO中，七是邊BC上一點，BF工AE于點G,交CD于點、F.求證：AE=BF；

【延伸應(yīng)用J

(2)如圖2,在菱形ABCD中，E是邊BC上一點，G是AE上一點，BG的延長線交CD于點F,(1)

中結(jié)論是否仍然成立，請說明理由;

【類比遷移】

(3)如圖3,在矩形A8CO中，AB=3,M是AQ的中點，E是CD上一點，交8C于點M連接。M

23.(12分)定義：對于平面直角坐標系內(nèi)的點P(小b)和反比例函數(shù)y=&(k￥：O)，若曲=」y=三的

xx

“雙曲點

（2）如圖1,過點P作PM〃丫軸，尸'〃式軸丫二2的圖象交于點”和兇將直線PM右側(cè)E勺圖象沿PM

x

翻折，將直線PN下方的圖象沿PN翻折，翻折后的曲線相交于點。.

①求點Q到x軸和），軸的距離比；

②如圖2,若點8（0,，〃）位于點4上方，交y軸左側(cè)曲線于點C,交），軸右側(cè)曲線（實線部分），求

m的值.

2024?2025學(xué)年遼寧省錦州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案ABBBDCABCD

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一個選

項是正確的）

1.（3分）葫蘆在我國古代被看作吉祥之物.如圖是一個工藝葫蘆的示意圖，關(guān)于它的三視圖說法正確的

是（）

正面

A.主視圖與左視圖相同

B.主視圖與俯視圖相同

C.左視圖與俯視圖相同

D.主視圖、左視圖與俯視圖都相同

【解答】解：這個幾何體的主視圖與左視圖相同，的視圖與主視圖和左視圖不相同,

故選：A.

2.（3分）如圖，矩形4BCD中，AC,若N4OB=60。，AB=3（)

------

A.3B.6C.3V3D.6V3

【解答】解：???四邊形/WCO為矩形，

???OA=OB=yAC-

???/AO8=60。，

???△A08為等邊三角形，

：?0A=0B=AB=1,

AAC=6.

故選:B.

3.（3分）如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”.數(shù)學(xué)小組為了探究隨機投放一

個點恰好落在“心形線”內(nèi)部的概率，進行了計算機模擬試驗

試驗總次數(shù)1002003(X)50015002(X)03000

落在“心形線”內(nèi)部61931652467599961503

的次數(shù)

落在“心形線吶部0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501

的頻率

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)?，估計隨機投放一點落在"心形線''內(nèi)部的概率為（）

///、

/\

\/

\/

/

\/

\/f

\/

A.0.46B.0.50C.0.55D.0.61

【解答】解：當試驗次數(shù)逐漸增大時，落在“心形線”內(nèi)部的頻率穩(wěn)定在0.50附近,

則估計隨機投放一點落在“心形線”內(nèi)部的概率為0.50.

故選：B.

4.（3分）已知x=3是一元二次方程/+尻-c=0的一個根，則3/?-。=（）

A.9B.-9C.3D.-3

【解答】解：??"=3是一元二次方程的解，

,9+6〃-c=0,即3〃-c=-8,

故選：B.

5.(3分)若反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則k的取值范圍是()

A.k<-3B.k>-3C.k<3D.Q3

【解答】解：由題意得，k?3>0,

解得女>2.

故選：D.

6.(3分)如圖,某零件的外徑為12c,〃，用個交叉卡鉗(AC=BD),且量得則零件的厚度人

為()

A.2cmB.1.5cmC.\cmD.0.5c〃?

【解答】解：yOA：OC=OB：OD=2,ZAO13=ZCOD,

：?AA0BSAC0D,

?,?AB：CD=2,

?"B：4=2,

：.AB=10(cm),

???外徑為\2cm,

???10+2x=12,

/.x=6(cm).

故選：C.

7.(3分)《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南行十步

而斜東北與乙會，'‘大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲每單位時間走7步，甲先向南

走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時，甲、乙行走了x個單位時間，則下

面由題意所列方程正確的是()

A.(3x)2+102=(7x-10)2B.(3x)2+(Tr-10)2=102

C.(7x)2+102=(3x70)2D.(7x)2+(3x70)2=102

【解答】解：如圖，設(shè)相遇時，甲,

則A8=3x,BC=lx-10,

由勾股定理得（5x）2+102=（5A-10）2.

故選：A.

8.（3分）如圖，在菱形A/TCQ中，E是對角線4。上的點，。為8。的中點，連接CE（）

A.16°B.20°C.24°D.28°

【解答】解：???菱形A3C。，NA4C=80。，

JZDBC=X40°,

2

NBDC=/Q8C=40。，

?/DE=DC,

：.NDEC=/DC石=180。_/CDB=70。,

7

為8。的中點，BC=CD,

??.NCOE=90。，

，NOCE=90。-ZDEC=20°.

故選：B.

9.（3分）固體糖溶于水可得到糖水.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如圖，x軸表示糖水質(zhì)量（瓶中糖

固體質(zhì)量與糖水質(zhì)量的比值），其中乙、丁兩點恰好在同一個反比例函數(shù)的圖象上，則這四瓶糖水中含

糖固體質(zhì)量最多的是（）

y

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：X軸表示糖水質(zhì)量，y軸表示含糖濃度（瓶中糖固體質(zhì)量與糖水質(zhì)量的比值），

根據(jù)題意，可知不，的值即為糖水中含糖固體質(zhì)量，

???描述乙、丁兩瓶情況的點恰好在同一個反比例函數(shù)的圖象上，

，乙、丁兩瓶糖水中含糖固體質(zhì)量相同，

???點甲在反比例函數(shù)圖象下面，點丙在反比例函數(shù)圖象上面，

???甲瓶的孫的值最小，即糖水中含糖固體質(zhì)量最少，即糖水中含糖固體質(zhì)量最多.

故選：C.

10.（3分）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是閉合狀態(tài)的示意圖，AE=CF=EF=2cm,圖3是打開狀態(tài)的

示意圖，其中4C=lo〃，。兩點之間的距離為（）

圖1融的

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm

【解答】解：如圖：延長84、0c交于。

由條件可知AC//EF//HD,

?.?AQ—_AE一_I1,

QCCF1

???QA=QC,

設(shè)QA=QC=1,貝lj。月=。尸=什2,

.QA二t二QC

，#QE-t+2-QF，

^ACZ/EF,

:.XQNCSXQEF,

.t6

t+22

解得：t=2,

，QE=Q”=6+2=4,Q8=QD=3+2+3=2,

■:AC//BD,

:?△QACsAQBD,

?

??I1I=—2,

BD4

解得：BD=3.5em.

故選：D.

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

II.（3分）關(guān)于x的一元二次方程/+6x+根=0有兩個相等的實數(shù)根，則根的值為9.

【解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程7+6x+m=5有兩個相等的實數(shù)根，

.\A=0,HP64-4xlx/??=8,

解得m=9.

故答案為：9.

12.（3分）木箱中裝有14個紅球和若干個藍球，這些球除顏色外都相同，隨機從木箱里摸出一個球，經(jīng)

過多次重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.7附近6.

【解答】解：設(shè)袋子中藍球約有x個，

根據(jù)題意得」i_=0.7，

x+14

解得：x=4,

經(jīng)檢驗，x=6是原方程的解，

???袋子中藍球約有6個，

故答案為:8.

13.（3分）如圖，在正方形A/TCO中，對角線AC,分別以點C,。為圓心工CD的長為半徑畫弧，兩弧交

2

于點F,連接AE,交OD于點P.若4。=4

【解答】解：在正方形A8C。中，NBCD=90。，AB=CD=BC=AD=4,

,BDWBC^CD^=472*

依題意可知，。尸垂直平分CD,DE=CE=-^CD=2?

2

'：DE//AB,

:.AABPs^EDP,

?.?DP=—DE——5,

BPAB2

：,BP=2DP,

■:BP+DP=BD,

???7DP+DP=4后,

???DP

故答案為:

14.(3分)如圖，點A在反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象匕AC交y軸于點￡且滿足4?=4。&點/

X

在y軸正半軸上，BF交AC于點D,SAOBF=IS,則k=16.

設(shè)OE=x,

由平行線可知△COEsXCBN

.?,理=￡￡_=工，即工=2,MAB=4x,

ABAC4AB4

:△OBF和△AOB等高，

???也絲二”二2,即3_=9,解得：5△。射=8,

^△OBA研4SA0BA2

???點A在反比例函數(shù)的圖象上，

??

.IkI=JSACBA=16,

???函數(shù)圖象在第一象限，

?..&=16.

故答案為：16.

15.（3分）如圖，在菱形/WC。中，ZC=120°,AB=2?，將48CE沿8E折疊得到^BCE,EF平分NCED

交A。于點F,C,尸三點在同一條直線上時

【解答】解：如圖，連接CF,由折疊可知，ZCBE=ZCBE,/BEC'=ZBEC=iZCEC/

???四邊形A8C。是菱形，

：.AD//BC,AB=BC=CD=AD=5V3?

???ZD=180°-ZBCD=180°-120°=60°,

，：B,C,

:.ZFCE=I80°-ZBCE=180°-120°=60°,

：?NFCE=ND,

?；EF平分/CED,

???/€/EF=ZDEF=TZCZED，

4

在^。￡尸和^DEF中,

2FC'E=ZD

<ZCyEF=NDEF，

EF=EF

:.ACEFWADEF(4AS),

；?C'E=DE,

：?DE=CE,

???E為CO中點，

?,-CE=yCD-|-X2>/4=V3?

乙乙

VZBCE=120°,

AZEC//=180°-ZBCE=180°-120°=60°,

J/CEH=90°-ZECH=90°-60°=30°,

工CHJCE哼,

I乙

5

???EHWCE8-CH2、63

2

5、’3

?*?BH=BC+CH=2V34---------------

86

???BEDBM+E#=J(^")+(1)3=V2i?

ZBEF=ZBECZ+NC'EF*-ZCEC74NC'ED=-7(ZCECy+ZCZED)[x18。。=90°,

22o2

，ZBHE=NBEF,

又?：/CBE=/CBE,

:?△BEFs^BHE,

?BFBE

BEBH

72

.RR_BE_(V21).14rz

??BF而典E，

2

當8,C,8尸的長為管內(nèi).

故答案為：爭聲.

三、解答題(本題共8道題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程)

16.(9分)用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(I)x2-4x+2=0；

(2)x(x-1)=2-lx.

【解答】解：(1)?-4,v+6=0,

*.\/=I,b=-4,

.*.A=Z>2-4ac=16-3xlx2=4>0,

AX=4±2/2.=2±V2,

2

:

?*,xj=2-*V4,x2=2-V5

(2)x(x-I)=2-6x?

x(A--1)+2(x-5)=0,

(x+2)(x-3)=0,

x+2=3或X?1=0,

.\j7=-2,X2=5

17.(9分)如圖，在平面直角坐標系中，aAHC的頂點坐標為A(1,2),B(-1,0),C(2,0).

(1)以原點O為位似中心，在x軸上方作△A18。，使△481。與△4BC位似，且相似比為2：1；

(2)在(1)的條件下,

①寫出點A的對稱點4的坐標；

②寫出△ABC邊上任意一點。(小h)的對應(yīng)點小的坐標.

【解答】解：(1)如圖，所作△AI8IC6即為所求;

(2)①點Ai(2,4),

②由題意得，點Qi(2a,5b),

18.（9分）在“趣味化學(xué)實驗室”課上，黃老師用毛筆靛取透明元色液體，并在白紙上書寫，這是酚猷;溶液

產(chǎn)生的神奇變化.酚儆是化學(xué)領(lǐng)域重要的酸堿指示劑，它遇硬變紅，里面分別裝有四種無色溶液：

（1）小明同學(xué)從中隨機拿出一瓶，選中酚酬的概率是1;

~4~

（2）張老師從四瓶無色液體口隨機選取兩瓶，并分別取一定量的溶液混合均勻，請利用畫樹狀圖或列

表的方法求混合后溶液變紅的概率.

A.酚歐B,氫氧化鈉溶液C.鹽酸溶液D.蒸儲水

（堿性）（酸性）（中性）

【解答】解：（1）由題意知小明同學(xué)從中隨機拿出一瓶，選中酚酰的概率是1；

4

故答案為：工.

4

（2）列表如下，

ABCD

A(A,/?)(A.C)(A,m

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

DCD,A)(O,B)CD,C)

共有12種等可能結(jié)果，其中混合后的溶液變紅色的結(jié)果有：（A,（B,共2種,

???混合后的溶液變紅色的概率為包二工.

126

19.(9分)體育是學(xué)生綜合素質(zhì)發(fā)展的重要組成部分，跳繩和排球墊球是體育中考中學(xué)生選擇較多的兩個

考試項目，跳繩和排球也成為學(xué)生必備的中考體育用品，銷售一種跳繩和排球套裝，每套進貨價為35

元，4月份的銷售量為256套，6月份的銷售量為400套.

<1)求這種跳繩和排球套裝4月份到6月份銷售量的月平均增長率；

(2)經(jīng)市場預(yù)測，7月份的銷售量將與6月份持平，商店為了減少庫存，每套的銷售價每降低1元時，

月銷售量就會增加20套，這種跳繩和排球套裝每套的銷售價應(yīng)為多少元？

【解答】解：(1)設(shè)該款跳繩和排球套裝4月份到6月份銷售量的月平均增長率為x.

根據(jù)題意，得256(7+A-)2=400,

解得#=2.25=25%,X2=-2.25(不合題意，舍去)，

答：月平均增長率為25%：

(2)設(shè)該款跳繩和排球套裝售價為)，元，

(y-35)1400+20(58-.V)1=8400,

.,?泌=50,*=63(舍去)，

答：該款跳繩和排球套裝售價為50元時，月銷售利潤達84CO元.

20.(9分)圖1為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升13C,加熱到100C,水溫開始下降，此時水溫

)，(℃)(〃”〃)成反比例關(guān)系.當水溫降至60c時，飲水機處于恒溫保溫狀態(tài)，啟動加熱開關(guān)即可，當

前水溫為22℃,水溫y(°C)與通電時間x(min)

C)求反比例函數(shù)表達式：

(2)若沏茶的最佳水溫不低于80℃,求從當前水溫22c開始加熱，到飲水機處于恒溫保溫狀態(tài)的過程

中

圖1圖2

【解答】解:(1)由題意得(100-22)4-13=6

，當x=6時，y=100,

設(shè)y=區(qū)，將X=4,ll[110Q=-i

x6

???女=600,

600

y=—

x

（2）由題意得（80-22）+13=—（加〃），

13

將）=80代入y二駟，即80型^

xx

?.?Y15

2

，最佳沏茶的時I可為（min）?

41326

答：最佳沏茶的時間為駕疝?.

26

21,（9分）如圖，在。A8CO中，對角線AC,BC的垂直平分線分別交8C,AC,M,F,且M為￡〃的中

點，產(chǎn)G〃8C交AC于點G

（1）求證：四邊形BEFG是矩形；

（2）若BC=8,EF=3,求AC的長.

【解答】（I）證明：也'?:FG/；RC,

工NGFM=NCEM,ZFGM=NECM,

VM為中點,

:?MF=ME,

:ZGMSXECM(AAS),

：.FG=EC,

???￡”垂直平分DC7點E,

:.BE=EC,EF1BC,

:.FG=BE,N產(chǎn)EB=90。，

,:FG〃BE,

???四邊形8￡FG是平行四邊形,

ZFEB=90a,

???四邊形是矩形;

（2）解：???四邊形A8CO是平行四邊形，

OA=OC,

：.FG//AD,

：.ZOFG=ZODA,NOGF=NOAD,

:?△OGFSXOAD,

.GF_0G

**AD-0A?

VGF=CE,AD=BC,

.OG=CE=1

??加.BC-2’

?AC=50G=4

**CG-OC<iG-3，

???四邊形BEFG是矩形，

，NGBC=90。，BG=EF=8,

在RSBGC中，CG0BG2+BC2二岳，

???AC=4CGA/73-

oO

22.（9分）某校數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究.

【問題探究】

（1）如圖1,在正方形ABCO中，E是邊BC上一點,8口LAE于點G,交CO于點F.求證：AE=BF；

【延伸應(yīng)用】

（2）如圖2,在菱形46co中，E是邊8c上一點，G是AE上一點，3G的延長線交CO于點凡（1）

中結(jié)論是否仍然成立，請說明理由；

【類比遷移】

（3）如圖3,在矩形ABC。中，AB=3,M是4。的中點，E是CD上一點,交BC于點N,連接。M

求姆.

DG

AAM

A

---------|DA/r--------1D\------\-----P

圖1圖2圖3

【解答】(1)證明：如圖1,,??四邊形A8C。是正方形,

???/A8C=NC=90。，AB=BC,

NABG+NCBF=9()。,

VBF1AE,

，NAGB=90。，

JNAB+NG84G=90。，

；?NBAG=NCBF,

:AABE之ABCF(AAS),

：.AE=BF；

(2)解：成立，

如圖，過點B作用V_LCQ交/)C延長線于點M

???四邊形A8C。是菱形，

:?BC=CD,AD//BC,

：,ZGAD=ZAEB,

:N4Gr+NQ=】8()。，

AZG4D+ZGF/)=180°,

VZGFC+ZGFD=180°,

/.ZGAD=ZGFC,

???ZAEB=ZGFC,

,:S互形ABCD=AM?BC=BN?CD,

:.AM=BN,

/.AAME^/^BNF(AAS),

：.AE=BF；

(3)如圖，過點N作NP〃BE交CD于點P,DF,