\\五年真題（2021-2025）

與題18就計(jì)易統(tǒng)計(jì)案例5種召見考德忸美

五年考情?探規(guī)律

知識(shí)五年考情（2021?2025）命題趨勢(shì)

考點(diǎn)01眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的計(jì)算1.統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)計(jì)算穩(wěn)定出現(xiàn)

2025?全國二卷2023?新課標(biāo)I卷2023?上海眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的計(jì)

2023?全國乙卷2021?新高考全國I卷2021?新高算在近5年多次出現(xiàn)，且常結(jié)合

知識(shí)1統(tǒng)計(jì)考全國II卷2021?全國乙卷實(shí)際數(shù)據(jù)場(chǎng)景考查，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)據(jù)特

（5年5考）考點(diǎn)02統(tǒng)計(jì)圖表及其應(yīng)用征的基本理解與運(yùn)算能力。這類題

2024.新課標(biāo)11卷2022?新高考全國II卷目注重與生活實(shí)際結(jié)合，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)

2022?全國甲卷2022?全國乙卷2022?天津2022?北知識(shí)的實(shí)用性，是基礎(chǔ)得分點(diǎn)，未

京2021?全國日卷2021?天津來仍將保持穩(wěn)定的考杳頻率。

考點(diǎn)03相關(guān)系數(shù)2.統(tǒng)計(jì)圖表應(yīng)用貫穿始終

2025?天津2024?上海2024?天津2023?上海2023?天統(tǒng)計(jì)圖表（如柱狀圖、折線圖、頻

津率分布直方圖等）的解讀與應(yīng)用在

近年高頻出現(xiàn)，題目往往要求

考點(diǎn)04回歸經(jīng)驗(yàn)方程5

從圖表中提取信息、計(jì)算數(shù)據(jù)特征

2025?上海2022?全國乙卷

或進(jìn)行簡(jiǎn)單推斷。隨著數(shù)據(jù)分析能

力在高考中的重視程度提升，此類

考點(diǎn)會(huì)繼續(xù)強(qiáng)化，且可能增加圖表

的綜合性（如多種圖表結(jié)合）。

3.相關(guān)系數(shù)近5年在天津、上海等

知識(shí)2統(tǒng)計(jì)案

地試卷中頻繁考查，側(cè)重通過相關(guān)

例

系數(shù)判斷變量相關(guān)性的強(qiáng)弱，強(qiáng)調(diào)

（5年5考）

考點(diǎn)05獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)統(tǒng)計(jì)量意義的理解而豐單純計(jì)

2025?全國一卷2024?全國甲卷2024?上海2023?全算。

國甲卷2022?全國甲卷4.回歸經(jīng)驗(yàn)方程雖考查次數(shù)相對(duì)較

2022.新高考全國I卷2021.全國甲卷少，但常結(jié)合實(shí)際問題（如經(jīng)濟(jì)、

環(huán)境、醫(yī)學(xué)等），要求建立回歸模

型并進(jìn)行預(yù)測(cè)，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)的決策功

能，未來可能增加非線性回歸的轉(zhuǎn)

化考查（如對(duì)數(shù)、指數(shù)回歸）。

5.獨(dú)立性檢驗(yàn)是近5年考查頻率

最高的統(tǒng)計(jì)案例考點(diǎn)，題目多以

2x2列聯(lián)表為載體，要求計(jì)算卡方

值、判斷相關(guān)性，并結(jié)合實(shí)際問題

進(jìn)行推斷。此類題目注重邏輯推理

與實(shí)際意義結(jié)合，未來可能會(huì)在背

景設(shè)計(jì)上更貼近社會(huì)熱點(diǎn)（如公共

衛(wèi)生、教育公平等），增強(qiáng)時(shí)代性。

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)及方差的計(jì)算

1.（2025?全國二卷?高考真題）樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為（）

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

K祥解】由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解..

【詳析】樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為4+閆+3嘰昔=2

JJ

故選：C.

24多選】（2023?新課標(biāo)回卷?高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)內(nèi),8，…，戈6,其中不是最小值，4是最大值，則（）

A.的平均數(shù)等于%，占，…，4的平均數(shù)

B.馬，不，后，毛的中位數(shù)等于內(nèi)，%「一，%的中位數(shù)

C.A-2,A-3.X4.X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于冷蒼，……1的標(biāo)準(zhǔn)差

D.%2，05，占的極差不大于工，工2「,，X6的極差

【答案】BD

K祥解》根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.

【詳析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)孫玉，王，毛的平均數(shù)為〃?，^，/，…，4的平均數(shù)為"，

皿x,+x,+x3+x4+七+Z+玉2（3+x（＞）-（x5+x2+x3+xi）

6412

因?yàn)闆]有確定2（百+七），為+&+玉+/的大小關(guān)系，所以無法判斷〃?，〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得利=〃=3.5：

例如1,1,1,1,1,7,可得機(jī)=1,〃=2；

例如1,222,2,2,可得〃?=2,〃=U；故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)玉4勺4當(dāng)45?工5446，

可知X,,八,七,占的中位數(shù)等于用,當(dāng),…的中位數(shù)均為上言，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：舉反例說明，例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)〃=1（2+4+6+8+10+12）=7,

標(biāo)準(zhǔn)差5,=J1［（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2］=,

4,6,8,10,則平均數(shù)〃?=；（4+6+8+10）=7,

標(biāo)準(zhǔn)差”=舊（4-7）2+（6-7『+（8-7『+（10-7）［=石，顯然普石,即4＞與，

所以冷0%，￡的標(biāo)準(zhǔn)差不小于不8,…，4的標(biāo)準(zhǔn)差，這一論斷不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)用《占《當(dāng)《，454X6，

則《-陽之工5-勺，當(dāng)日.僅當(dāng)王=孫鵬=/時(shí)，等號(hào)成立，故D正確：

故選：BD.

3.【多選】（2021?新高考全國（3卷高考真題）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本…，乙的離散程度的是（）

A.樣本內(nèi)，再，…,七的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本再,勺，…，兒的中位數(shù)

C.樣本%,工2,…，%的極差D.樣本土,與，…，人的平均數(shù)

【答案】AC

K祥解I考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確選項(xiàng).

【詳析】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知,平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)：

故選：AC.

4.（2023?上海?高考真題）國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是衡量地區(qū)經(jīng)濟(jì)狀況的最佳指標(biāo)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，某

市在2020年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP穩(wěn)步增長(zhǎng)，第一季度和第四季度的GDP分別為231和242,且四個(gè)季

度GDP的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則2020年GDP總額為；

【答案】946

K祥解1設(shè)第二季度、第三季度分別為羽V，利用平均數(shù)和中位數(shù)概念列出方程，解出即可.

【詳析】GDP穩(wěn)步增長(zhǎng)說叨四個(gè)季度己經(jīng)從小到大排列，設(shè)第二季度、笫三季度分別為兌九所以中位數(shù)

即為守.

因?yàn)橹形粩?shù)與平均數(shù)相等，所以231+x+y+242=4xg=x+y=473,

所以2020年GDP總額：231+242+473=946.

故答案為:946.

5.【多選】（2021?新高考全國團(tuán)卷?高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)占，A-2,x?,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)

545+533+551+522+575+544+541+568+596+548…c

【詳析】（1）X=------------------------------------------------=552.3,

10

536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y==541.3,

10

z=x-y=552.3-541.3=11,

的值分別為:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2.

nxJ=---------------------------------------------------------------------------------------=01

10

=2x/6J=7244，故有5之2日,

(2)由(1)知:彳=11,

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

7.（2021?全國乙卷?高考真題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有

無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為［和亍，樣本方差分別記為M和

（1）求嚏,亍,s；,s；；

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果》-工22^^，則認(rèn)為新

設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.

【答案】（1）7=105=10.3,5；=0.036,$=0.04；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提

IHJ.

K祥解》（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.

（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)-，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.

―、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7，八

【詳析】（1）x=----------------------：-----------------------=10,

10.1+10.4+1().1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5…

---------------------------------------------------=10.3,

10

。灸+0.3?+。+。.22+。『+。22+。+。/+0.22+0.3=0.036,

110

0.22+0.12+0.22+0.32+0.22-hO+O.32+0.22+0.12+0.22

=0.04.

10

0.036+0.04

(2)依題意，y-x=0.3=2x0.15=2>/0.l52=270.0225，2=2>/(10076,

10

1-42盧薩,所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

考點(diǎn)02統(tǒng)計(jì)圖表及其應(yīng)用

8.（2024?新課標(biāo)團(tuán)卷?高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊

稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)[900,[950,[1000,[1050,[1150,

[1100,1150)

量950)1000)1050)1100)1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.iuo塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于yuokg至louokg之間

【答案】C

K祥解】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳析】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，64-12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于UOOkg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于UOOkg的稻田占比為鳥U=66%,故B錯(cuò)誤；

100

對(duì)于C稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=2的,故C正確；

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，平均值為

—x（6x925+12x975+18x1025+30x1075+24x1125+10x1175）=1067,故D錯(cuò)誤.

100

故選；C.

9.（2021.仝國甲卷?高考真題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家

庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率/組距

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)尸，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

【答案】C

K祥解》根據(jù)直方圖的意義直接計(jì)算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)

的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，也就是總體平均值的估計(jì)值，計(jì)算后即可判定C.

【詳析】因?yàn)轭l率直方圖中的組電為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可

作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.

該地農(nóng)戶家庭年收入低J-4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=6%,故A正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為0.04+0.02x3=0.10=10%,故B正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5力兀至8.5萬元之間的比例估計(jì)值為0.10+0.14+0.20x2=0.64=64%>50%,

故D正確；

該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x（）.10+10x（）.10+11x0.04+12x0.02+13x0.024-14x0.02=7.68

（萬元），超過6.5萬元，故C錯(cuò)誤.

綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.

故選：C.

【「點(diǎn)石成金」】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體

的頻率的估訂值，樣本的平均值的估訂值是各組的中間值乘以其相應(yīng)須率然后求和所得值，可以作為總體

頻率

的平均值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于x組距.

薪

10.（2022?天津?高考真題）將1916到2015年的全球年平均氣溫（單位：C）,共100個(gè)數(shù)據(jù)，分成6組:

[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75],并整理得到如下的頻率分布

直方圖，則全球年平均氣溫在區(qū)間[14.35,14.75]內(nèi)的有()

【答案】B

K洋解1由頻率分布直方圖可得所求區(qū)間的頻率，進(jìn)而可以求得結(jié)果.

【詳析】全球年平均氣溫在區(qū)間114.55,14.75］內(nèi)的頻率為（O.5O+O.65）xO.2=O.23,

則全球年平均氣溫在區(qū)間［14.35,14.75］內(nèi)的有100x0.23=23年.

故選：B.

11.（2022?全國乙卷?高考真題）分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位；h）,得

如下莖葉圖：

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大J--0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

【答案】C

K祥解）1結(jié)合莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、古典概型等知識(shí)確定正確答案.

【詳析】對(duì)于A選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為2^產(chǎn)=7.4,A選項(xiàng)結(jié)論正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，乙同學(xué)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)為：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1

=8.50625>8

16

B選項(xiàng)結(jié)論正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值告=0.375<0.4,

16

C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.

13

對(duì)干D選項(xiàng)，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值；7MOSIZSAOE,

16

D選項(xiàng)結(jié)論正確.

故選：C

12.（2022?全國甲卷?高考真題）英社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，

隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講

座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%...................................?.............-*

90%...................?..............-*...............

姆85%????????????????????????????????S??????

盒80%.............?...........................郭....辛講座前

田75%............................*..................?講座后

70%...............*-...................................

65%....*...................*.........................

?.................*...............*............................................................

12345678910

居民編號(hào)

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

K祥解》由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.

7（）%4-7S%

【詳析】講座前中位數(shù)為小/。2小/。>70%，所以A錯(cuò);

講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是80%,4個(gè)85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確率

的平均數(shù)大于85%,所以B對(duì)；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所

以C錯(cuò)；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯(cuò).

故選:B.

13.（2021?天津?高考真題）從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)

分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：［66.70）、［70,74］、L、［94.98］,并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間［82,86）

內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）

【答案】D

K祥解》利用頻率分布百方圖可計(jì)算出評(píng)分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品數(shù)量.

【詳析】由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在區(qū)間［82,86）內(nèi)的影視作品數(shù)量為400x0.05x4=8（）.

故選：D.

14.（2022?新高考全國回卷?高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,

得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

⑴怙計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

⑶已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到o.oooi).

【答案】(1)47.9歲；

(2)0.89：

(3)0.0014.

K祥解1(1)根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

(2)設(shè)4={-人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對(duì)立尋件的概率公式2加=1-2，)即可解出；

⑶根據(jù)條件概率公式即可求出.

【詳析】(1)平均年齡》=(5X0.001+15X0.002+25X0.012+35X0.017+45X0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0X06+85x0.002)x10=47.9(歲).

(2)設(shè)4="一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)〃，所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)設(shè)8="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)〃，C="從該地區(qū)中任選一人患這種疾病〃，

則由已知得：

尸(B)=16%=0.16,4(C)=0.1%=0.001,P(B|Q=0.023xl()=().23,

則由條件概率公式可得

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間【40.50),此人患這種疾病的概率為

P(C⑶二迺二P(C)P(B\C)=0.001x0.23=°。。)4375，00014

P(B)P(B)0.16

15.(2022?北京?高考真題)在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶〃使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制

冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與丁和尼尸的關(guān)系，其

中「表示溫度，單位是K；尸表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()

A.當(dāng)丁=220,2=1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)丁=270,P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)丁=3(X),尸=9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)丁=360,。=729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

【答案】D

K祥解》根據(jù)丁與亞尸的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).

【詳析】當(dāng)丁=220,2=1026時(shí)，IgP>3,此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.

當(dāng)丁=270,0=128時(shí)，2<lgP<3,此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)丁=3（X）,尸=9987時(shí)，IgP與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)

誤.

當(dāng)丁=360,2=729時(shí)，因2vlgPv3,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

考點(diǎn)03相關(guān)系數(shù)

16.（2023?上海?高考真題）根據(jù)身高和體重散點(diǎn)圖，下列說法正確的是（）

B.身高越高，體重越輕C.身高與體重成正相關(guān)

D.身高與體重成負(fù)相關(guān)

【答案】C

K祥解？根據(jù)給定的散點(diǎn)圖的特征，直接判斷作答.

【洋析】由于身高比較高的人，其體重可能大，也可能小，則選項(xiàng)AB不正確：

由鼓點(diǎn)圖知，身高和體重:有明顯的相關(guān)性，且身高增加時(shí)'體重:也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì),

所以身高與體重呈正相關(guān)，C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C

17.（2025?天津?高考真題）下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.若X~N（〃,b2）,則P（X￡〃一（r）=P（X3〃+b）

B.若X:/V（l,22）,y~N（2,22）,則P（Xvl）<P（y<2）

C.卜|越接近1,相關(guān)性越強(qiáng)

D.卜|越接近0,相關(guān)性越弱

【答案】B

K祥解）］根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.

【評(píng)析】對(duì)于A,根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，"（XM〃-b）=P（X2〃+b）,A說法正確;

對(duì)于B,根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性可知，P（X<l）=P（r<2）=0.5,B說法錯(cuò)誤；

對(duì)于C和D,相關(guān)系數(shù)年|越接近0,相關(guān)性越弱，越接近1,相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說法正確.

故選：B

18.（2024?上海?高考真題）已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)

D.隨著氣候溫度由低到高，每水表層溫度呈下降趨勢(shì)

【答案】C

K祥解》根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項(xiàng).

【詳析】對(duì)于AB,當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯(cuò)誤.

對(duì)于CD,因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時(shí)，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)，

故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

19.（2024?天津?高考真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

■

??

??

Ox

4

dx

【答案】A

K祥解）］由點(diǎn)的分布特征可直接判斷

【詳析】觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較

好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，卜|值相比卜其他3圖更接近1.

故選：A

20.（2023?天津?高考真題）鶯是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)?大雅?旱麓》日：“鶯飛戾天，魚躍余淵”.鶯尾花因花

瓣形如鶯尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長(zhǎng)度和花

瓣長(zhǎng)度（單位：cm）,繪制散點(diǎn)性如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為，?=0.8642,利用最小二乘法求得相應(yīng)

的經(jīng)驗(yàn)【可歸萬程為y=0.750Lr+0.6105，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）

72

花6B

瓣6.4

長(zhǎng)6.0

度5.6

52

4.M8

花萼長(zhǎng)度

A.花瓣長(zhǎng)度和花尊長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)

C.花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種青尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值為5.8612cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642

【答案】C

K祥解）］根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)及經(jīng)驗(yàn)回歸方程可判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可以判斷D選項(xiàng).

【詳析】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤

散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，

把工=7代入y=0.750民+0.6105訂得），=5.8612cm,C選項(xiàng)正確；

由干r=0.8642是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的

相關(guān)系數(shù)不一定是0.8642,D選項(xiàng)錯(cuò)誤

故選：C

考點(diǎn)04回歸經(jīng)驗(yàn)方程

21.（2025?上海?高考真題）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國獲得了男子4x100米混合泳接力金牌..以下是歷屆奧

運(yùn)會(huì)男了ZxlOO米混合泳接力項(xiàng)目冠軍成績(jī)記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

⑴求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；

⑵從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率；

⑶若比賽成績(jī).V關(guān)于年份x的回歸方程為y=-0.31lx+九年份x的平均數(shù)為2006,預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的

成績(jī)（精確到0.01秒）.

【答案】⑴10。5；210.015：

（2）—

10

(3)204.56

K祥解》（1）由最長(zhǎng)與最短用時(shí)可得極差，由中間兩數(shù)平均數(shù)可得中位數(shù)；

（2）由古典概型概率公式可得；

（3）先求成績(jī)平均數(shù)亍，再由阮》）在阿I歸直線上，代入方程可得知再代入年份預(yù)測(cè)可得.

【詳析】（1）由題意，數(shù)據(jù)的最大值為216.93,最小值為206.78,

則極差為216.93-206.78=10.15；

數(shù)據(jù)中間兩數(shù)為209.35與210.78,

則中位數(shù)為‘°935；21。68=21()015.

故極差為10.15,中位數(shù)為210.015；

（2）由題意，數(shù)據(jù)共10個(gè)，211以上數(shù)據(jù)共有4個(gè),

故設(shè)事件4="恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上”,

21

則P(A)=-C^C二33

C：。10

故恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率為京3；

（3）由題意，成績(jī)的平均數(shù)

206.78+207.46+207.95+209.34+209.354-210.68+213.73+214.84+216.93+216.93

10

=211.399,

由直線），=-0.31汽+B過（2006,211.399）,

則Z=21L399+0.3llx2（X）6=835.265，

故回歸直線方程為=-0.31lx+835.265.

當(dāng)工=2028時(shí),），=-0.311x2028+835.265=204.557=204.56.

故預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的成績(jī)?yōu)?M.56秒.

22.（2022?全國乙卷?高考真題）英地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某

種樹木的總材積最，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：n?）和材積量（單位：

mD,得到如下數(shù)據(jù)：

總

樣本號(hào)i12345678910

和

根部橫截面積

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

菁

材枳量y.0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得ZY=0.038,=1.6158,=0.2474.

i°!Ii?l

⑴估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)：精確到0.01)；

⑶現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)紿出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

Z(.v.-x)(yi-y)

附：相關(guān)系數(shù)廠二“，JF標(biāo)BI.377.

心(D專(y「a

【答案】(l)0.06m2；0.39m3

(2)0.97

⑶1209m'

K祥解1(1)計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵可積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平

均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積星；

(2)代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值：

(3)依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)

值.

【詳析】(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值工=需=0。6

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值》=千39=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為O.OGnf,

平均一棵的材積量為0.39m'

1010

—,0.2474-10x0.06x0.39=0.0134X_0_._0_1_3_4_uQ八97?

7(O.U38-10x0.062)(1.6158-10>：0.392)>/O.OOOI8960.01377

則r、0.97

(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為％小,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

罰0.06186、"a

可得區(qū)為二T，解之得丫=12090?.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估口為1209m3

考點(diǎn)05獨(dú)立性檢驗(yàn)

23.（2024?上海?高考真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生

中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示:

時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)[0,0.5)[0.5J)[IJ.5)[1.5,2)[2,2.5)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？

⑵估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）

⑶是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不G于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？

2

2_n(ad-bc)P(/>3.841)^0.05.)

(附:其中〃=a+b+c+d,

(a+，)(c+d)(a+c)(6+d)

【答案】⑴12500

⑵0.9h

⑶有

K祥解1（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；

（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；

（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.

179+43+28_25

（1）1

【詳析】由表可知鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于小時(shí)的人數(shù)為占比580-58

則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為29000xm=12500.

（2）估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為

10.50.5+1X191+匕3x179+1.5+22+2.5

——xl39+x43+-------X之0.9.

5802丁2~2~

則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)為0.9小時(shí).

（3）由題列聯(lián)表如下:

[1.2)其他合計(jì)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

合計(jì)222358580

提出零假設(shè)“。：該地區(qū)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少F1小時(shí)但少丁2小時(shí)無關(guān).

其中a=0.05.

580x(45x308-177x50)2

7a3.976>3.841.

Z'=95x485x222x358

則零假設(shè)不成立，

即有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與口均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān).

24.(2023?全國甲卷?高考真題)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其

中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白

鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：g).試驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

⑴計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；

(2)(0)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于，〃與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),

完成如下列聯(lián)表

匚HH

1對(duì)照組□□

試驗(yàn)組□□

(0)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加

量有差異？

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【答案】(1)19.8

(2)(i)加=23.4；列聯(lián)表見解析，(ii)能

K祥解】(1)直接根據(jù)均值定義求解；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得帆=23.4,從而求得列聯(lián)表;

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【詳析】(1)試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：

《(7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2

+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36.5)=寧396=19.8

(2)(i)依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21

位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為18.8,后續(xù)依次為19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,…，

故第20位為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6,

匕匕I23.2+23.6

所以機(jī)=---------=23.4,

2

故列聯(lián)表為:

<m之m合計(jì)

對(duì)照組61420

試驗(yàn)組14G20

合計(jì)20204

（H）由⑴可得’=64W,

所以能有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常界境中體亞的增加量有差異.

25.（2025?全國一卷?高考真題）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)

調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：

超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計(jì)8002001000

⑴記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P,求。的估計(jì)值；

（2）根據(jù)小概率值。=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

聯(lián)訓(xùn)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】⑴91

⑵有關(guān)

K祥解［（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；

（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，求出/然后與小概率值。=0.001對(duì)應(yīng)的臨界值10.828比較，即可判斷.

【詳析】（1）根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的200人中有180人患病，所以〃的估計(jì)值為黑=之；

20010

（2）零假設(shè)為“°:超聲波檢查結(jié)果與患病無關(guān)，

l(XX)x(20x20-780xl80)2

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得,=765.625>10.828=.］，

800x200x800x2000n

根據(jù)小概率值a=0.001的/獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷“。不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該

推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.

26.（2024?全國甲卷?高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠用、乙兩個(gè)車

間的產(chǎn)品中