計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

in題型概覽

題型01統(tǒng)計

題型02獨立性檢驗

題型03計數(shù)原理

題型04古典概型

題型05隨機(jī)變量及其分布列

融型01

1.（2025?甘肅白銀?二模）下列說法正確的是（）

A.若一組數(shù)據(jù)里當(dāng),…,X”的方差為0.2,則5、,5右,…,5%的方差為1

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,〃?,〃?+1,8,9的平均數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5

C.68,60,62,78,70,84,74,46,73,82這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是80

D.將總體劃分為兩層，通過分層抽樣，得到樣本數(shù)為〃[，〃的兩層樣本，其樣本平均數(shù)和樣本方差分別

為豆芯和若吊=弓，則總體方差$2=樹：+時

m+n

【答案】BCD

【分析】對于A,根據(jù)方差的線性運(yùn)算直接計算可得，對于B,根據(jù)平均數(shù)可求機(jī)，再利用中位數(shù)的定義

可求，對于C,根據(jù)百分位數(shù)的求解步驟直接計算；對于D,利用分層抽樣方差公式

/=￡[￡⑶—￡『十￡回一式「|，再進(jìn)行化簡運(yùn)算可得，

【詳解】對于A,5$,5w，…,5覆的方差為52x0.2=5,故A錯誤;

對于B,已知一組數(shù)據(jù)L2,私〃”1,8,9的平均數(shù)為5,則，（1+2千小+小+1+8+9）=5,即1（21+2，〃）=5,

66

91/99、

解得m=三，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5x-+-+I=5,故B正確；

對于C,這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：46,60,62,68,70,73,74,78,82,84,

又10x80%=8,第8位數(shù)是78,第9位數(shù)是82,

故這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是失絲二80,故C正確；

對于D,設(shè)兩層的數(shù)據(jù)分別為:馬,22/3/、/和必,必,為「\”，

1/17

則吊=,￡4,可=,￡必，設(shè)總體平均數(shù)為三，則亍=

m77〃77m+n

imin

因為耳=耳，所以亍=吊二弓.因為s；=—Z（4—司丫聞=一2（乂一耳）2，

〃？1n=.）

1￡（2廠亍）2+1>=方）2=ms：+〃s；

所以一故D正確.

m+nm+n

故選：BCD.

2.（2025?甘肅白銀?二模）某汽車公司為了宣傳48兩款新能源汽車，邀請8名業(yè)內(nèi)人士試駕，就新款汽車

的駕乘感受進(jìn)行評分，最高分?jǐn)?shù)為10分.試駕結(jié)束后，評分如下表：

A9.99.59.69.49.79.89.99.7

B9.79.59.89.79.79.99.89.6

下列說法正確的是（）

A.A,8兩款汽車評分?jǐn)?shù)據(jù)的眾數(shù)相同

B.A,8兩款汽車評分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.若將評分?jǐn)?shù)據(jù)乘以10,則新數(shù)據(jù)的方差為原數(shù)據(jù)的方差的10倍

D.A款汽車評分?jǐn)?shù)據(jù)去掉一個最低分和一個最高分后所得數(shù)據(jù)的極差小于原數(shù)據(jù)的極差

【答案】BD

【分析】由眾數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的計算公式逐個判斷即可.

【詳解】對于A選項，易知B款汽車評分?jǐn)?shù)據(jù)的眾數(shù)為9.7,

A款汽車評分?jǐn)?shù)據(jù)眾數(shù)為999.7,所以A錯誤；

對于B選項，易得兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為9.7,所以B正確；

對于C選項，由方差計算性質(zhì)，新數(shù)據(jù)的方差為原數(shù)據(jù)的方差的100倍，所以C錯誤；

對于D選項，A款汽車評分?jǐn)?shù)據(jù)去掉?個最低分和?個最高分后所得數(shù)據(jù)的極差9.9-9.5<9.9-94,所以

D正確.

故選：BD.

3.（2025?甘肅慶陽?二模）樣本數(shù)據(jù)15,13,12,31,29,25,43,19,17,38的中位數(shù)為（）.

A.19B.22C.21D.18

【答案】B

【分析】根據(jù)中位數(shù)定義計算即可得出結(jié)果.

【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大重新排列為12,13,15,17,19,25,29,31,38,43：

2/17

共10個數(shù)據(jù)，因此中位數(shù)應(yīng)為第5個數(shù)和第6個數(shù)的平均數(shù)，即-，=22.

故選：B

4.(2025?甘肅?二模)下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)22,18,19,23,24,30,25,24,26,23的第35百分位數(shù)為22

B.數(shù)據(jù)乂)(i=123,…,10)組成一個樣本，其回歸直線方程為/=入-3,其中丁=8.2,去除一個異常

點(1,7)后，得到新的回歸直線必過點(9,5)

C.若隨機(jī)變量「則函數(shù)/(x)=P(x“Vx+2)為偶函數(shù)

D.在2x2列聯(lián)表中，若每一個數(shù)據(jù)均變?yōu)樵瓉淼?倍，則/變?yōu)樵瓉淼?倍

2

2n(aci-be)_,

(二=(a+b)(c+d)("c)伍+〃)'其中〃=""c+d)

【答案】BCD

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義印可判斷A；根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)即可判斷C：根據(jù)回歸方程的性質(zhì)即可判斷

B；根據(jù)z2的公式計算即可判斷D.

【詳解】對于A,數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為18,19,22,23,23,24,24,25,26,30,

因為10x35%=3.5,所以數(shù)據(jù)第35百分位數(shù)是從小到大的第4個數(shù)23,故A錯誤；

對于B,數(shù)據(jù)(4乂)(i=l,2,3,…,10)組成個樣本，其回歸直線方程為j=x-3,其中亍=8.2,則

?=8.2-3=5.2,

去除一個異常點(1,7)后，其中心弋07:9,則連弋。-7=5,得到新的回歸直線必過點(9,5),

故B正確；

對于C,因為隨機(jī)變量7~N(1,/)，所以對稱軸為〃=1,則函數(shù)

/(X)=P(X?《VX+2)=P(T4442r)=/(—)為偶函數(shù),故C正確；

對于D,在2x2列聯(lián)表中，黑荒［)(…),

3n(9ad-9be)'n(ad-be)2

若每一個數(shù)據(jù)均變?yōu)樵瓉淼?倍，則3=3/，則/

3\a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

變?yōu)樵瓉淼?倍，故D正確.

故選：BCD.

3/17

⑶分布列見解析，E（X）=1.2.

【分析】（1）由頻率之和為1列式即可計算求解。，再由區(qū)間［812）的頻率即可得解；

（2）先分別求出位于區(qū)間［2,10）和［10,14］的人數(shù)即可填寫2x2列聯(lián)表，接著零假設(shè)“。并計算卡方值即可根

據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗得解；

（3）先求出寒假期間一周參加體育鍛煉的時間在區(qū)間［電12）的概率，進(jìn)而得X~8（3。4）,再根據(jù)二項分

布概率公式和數(shù)學(xué)期望公式即可計算求解分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）由題意可得2（4+0.05+0.075+5a+0.2+a）=l=a=0.025,

所以估計全校學(xué)生在寒假期間一周參加體育鍛煉的時間位于區(qū)間［8,12）的概率為2（5。+0.2）=0.65.

（2）位于區(qū)間［2,10）的概率為2（。+0.05+0.075+5。）=0.55,故該區(qū)間范圍的學(xué)生有100x0.55=55,

位于區(qū)間［電14］的概率為2（0.2+〃）=0.45,故該區(qū)間范圍的學(xué)生有100x0.55=45,

故2x2列聯(lián)表如下:

鍛煉時間[2/0)[10,14]合計

男生3()3()60

女生251540

合計554510()

零假設(shè)性別與學(xué)生在寒假期間?周參加體育鍛煉的時間無關(guān)聯(lián),

則由表格數(shù)據(jù)可5%；：荔。）：割2小

所以依據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，沒有充分依據(jù)推斷兒不成立，即我們推斷/成立,

所以認(rèn)為性別與學(xué)生在寒假期間一周參加體白鍛煉的時間無關(guān)聯(lián).

（3）由題寒假期間一周參加體育鍛煉的時間在區(qū)間［10,12）的概率為0.4,

則X=0,1,2,3,且X?8（3。4）,

所以P（X=0）=0.63=0.216,P（%=1）=C；0.4x0.62=0.432,

P（X=2）=C'0.42x0.6=0.288,尸（X=3）=0.43=0.064,

5/17

所以X的分布列為:

P0123

X0.2160.432().2880.064

所以E(X)=3xO.4=1.2.

6.（2025甘肅金昌?二模）某公司男、女職工人數(shù)相等，該公司為了了解職工是否接受去外地長時間出差,

在男、女職工中各隨機(jī)抽取了10（）人進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示男職工和女職工接受去外地長時間出差的人數(shù)分

別為40和20.下列結(jié)論正確的是（）

附表:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be)2

附：z2=其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)*

A.依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，不能認(rèn)為是否接受去外地長時間出差與性別有關(guān)

B.依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，可以認(rèn)為是否接受去外地長時間出差與性別有關(guān)

C.有99.9%的把握認(rèn)為是否接受去外地長時間出差與性別有關(guān)

D.是否接受去外地長時間出差與性別無關(guān)

【答案】B

【分析】求得卡方值，比對臨界值，逐個判斷即可.

【詳解】由題意，歹ij出2x2歹U聯(lián)表:

接受不接受合計

男4060100

女2080100

合計60140200

零假設(shè)為“°：是否接受去外地長時間出差與性別相互獨立，即是否接受去外地長時間出差與性別無關(guān),

200x(40x80-20x60)2200

所以/=---a9.524>7.879=x，

100x100x60x140210005

6/17

根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷“。不成立,

即認(rèn)為是否接受去外地長時間出差與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.

故選:B.

7.（2025?甘肅白銀?二模）某公司組織戶外拓展活動，為探究員工參與該活動的積極性與員工的性別是否有

關(guān)，對公司員工進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表：

性別

參與戶外拓展活動的積合

極性計

女男

積極參與75eh

不積極參與mf35

合計10()200

（1）求/〃，e,f,g,hi

（2）在公司員工中任選1人，記事件力為“選到的員工是男性”，事件8為“選到的員工積極參與戶外拓展活動”,

估計尸（8岡的值；

（3）根據(jù)小概率值a=0.010的獨立性檢驗，能否認(rèn)為是否積極參與戶外拓展活動與性別有關(guān)？

n(ad-be)'

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

【答案】（l）m=25,/=10,g=100,e=90,h=165.

-I

（3）有關(guān)聯(lián)

【分析】（1）完善列聯(lián)表：

（2）根據(jù)條件概率的公式即可求解；

（3）先計算#2,再結(jié)合獨立.性檢驗的原理即可求解.

【詳用尾】（1）由歹UH關(guān)表得m=100—7S=2S./=35-〃1=10,/；=200-^5=165,

7/17

e=/?-75=90,g=e+/=100.

（2）通過樣本頻率估計總體概率，從200員工中任選1人，P（J）=P（J）=-,且。（瓦1）=急=：

11-xP（BA\3

，測估計小⑷=加=「

（3）零假設(shè)為"。：積極參與戶外拓展活動與性別無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得氏猥晨潦岑“792>63,

根據(jù)小概率值a=0.010的獨立性檢驗，推斷“°不成立,

即認(rèn)為是否積極參與戶外拓展活動與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.010.

8.（2025?甘肅?二模）人的性格可以大體分為“外向型”和“內(nèi)向型”兩種，樹人中學(xué)為了了解這兩種性格特征

與人的性別是否存在關(guān)聯(lián)，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取90名學(xué)牛」得到如下數(shù)據(jù)：

□外向型內(nèi)向型

男性zq

女性

（1）以上述統(tǒng)計結(jié)果的頻率估計概率，從該校男生中隨機(jī)抽取2人、女生中隨機(jī)抽取I人擔(dān)任志愿者.設(shè)這

三人中性格外向型的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

（2）對表格中的數(shù)據(jù)，依據(jù)a=0.1的獨立性檢驗，可以得出獨立性檢驗的結(jié)論是這兩種性格特征與人的性別

沒有關(guān)聯(lián).如果將表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，在相同的檢驗標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨立性檢驗推斷這兩

種性格特征與人的性別之間的關(guān)聯(lián)性，得到的結(jié)論是否一致？請說明理由.

附：參考公式：/二國舟高而回，

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

【答案】⑴；13

6

（2）結(jié)論不一致，理由見解析

8/17

【分析】（1）法一：根據(jù)獨立事件乘法公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可；法二：根據(jù)二項分布的定

義和數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.

（2）根據(jù)所給的公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.

【詳解】（1）由統(tǒng)計結(jié)果可知，外向型男生在所有男生中占比為彳3，外向型女生在所有女生中占比為7

43

故從該校男生中隨機(jī)抽取一人為外向型男生的概率是,，從該校女生中隨機(jī)抽取一人為外向型女生的概率

4

丐.

法一：X的所有可能取值為0,1,2,3.

則尸==汨x|

尸3=2）=e丫4+?建，上工=包，尸==j

'，（4）3244348V，（4）38

ii21313

所以E（X）=0x-i-+lxl+2xF+3x2=V.

''4864886

法二：從該校男生中隨機(jī)抽取2人，抽到性格外向型的人數(shù)記為幾

從該校女生中隨機(jī)抽取I人，抽到性格外向型的人數(shù)記為匕，

則…（25,八一小,|）,

所以W）=2x[=[石化）=lx￡4

r4J

所以七（萬）=七（乂+匕）=后（）；）+七（匕）=：1+鼻2=H?.

4JU

（2）零假設(shè)為，。：這兩種性格特征與人的性別無關(guān)聯(lián).

由所獲得的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，可知

;900x(450x100-150x200)

-6.923>2.706=x

Z—600x300x650x25013o.i

依據(jù)。=0.1的獨立性檢驗，可以推斷這兩種性格特征與人的性別杓關(guān)聯(lián)，與原來的結(jié)論不一致，

原因是每個數(shù)據(jù)擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.

9.（2025?甘肅白銀?二模）某公司有5名員工要去參加48,。三項工作，每項工作都至少需要一人參加，且

每人的精力只夠參加一項工作，一共有種不同的安排方案.

9/17

【答案】150

【分析】排列組合中的分組分配問題，5名員工分成三組只能是11,3或2,2,1,然后由排列組合的計數(shù)方法

求解即可.

【詳解】根據(jù)題意按每項工作人數(shù)分類，則只能是1J3或2,2,1,

r'r'r33_C^3

這是一個部分均分問題，所以總的安排方案種數(shù)為XAXA=15()

A；

故答案為：150

10.（2025?甘肅?二模）學(xué)校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學(xué)每人從中選一種或兩種，旦兩人

之間不會互相影響，則不同的選法種數(shù)為（）

A.20B.25C.225D.450

【答案】C

【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.

【詳解】甲和乙的選擇方法分別有C+C；=15種方法，

所以甲和乙不同的選擇方法有15x15=225種.

故選：C

11.（2025?甘肅?二模）（x+y）（2x-y）6的展開式中x歲的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】-100

【分析】結(jié)合二項式的展開式的通項公式計算即可得.

【詳解】對（2x-y『，有如=C：（2x）i（-/=265（-1）*C產(chǎn)3,

則當(dāng)左=3時，有7；=23.(-1丫=-160xV,

當(dāng)￡=4時，有7；=2?.(-1?C1x2y=60x2/,

則（r+y）（2x-y『的展開式中的系數(shù)為-160x1+60x1=-100

故答案為：-100.

您型因古典概型

12.（2025?甘肅?二模）甲、乙兩人進(jìn)行一場抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號1,2,3,4,5,6的卡片各1張,

兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號之和等于10或者所有卡片被抽完

時，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，則中抽/3張卡片時，游戲恰好結(jié)束的概率為.

10/17

【答案】尚2

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為抽取5張，且甲抽取的3張數(shù)字之和為10,乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為10,再

分類討論每種情況的種類數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時，游戲恰好結(jié)束相當(dāng)于從6張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三

張卡片數(shù)字之和為10,乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為10,

則總的情況相當(dāng)于從6張卡片中抽取了5張并進(jìn)行排列，即共A；=720種排法，

其中三張卡片數(shù)字之和為1（）的組合有1,3,6：1,4,5：2,3,5共3種情況，

兩張卡片數(shù)字之和為10的組合有4,6一種情況，

當(dāng)甲抽取的數(shù)字為1,3,6；1,4,5時，乙在剩余的3個數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有2A；A；=72

種；

當(dāng)甲抽取的數(shù)字為2,3,5時，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為4,6,此時不合潁竟，

此時共有A；（A；-A；）=24種，

所以符合題意的排列總數(shù)為72+24=96種，可得所求概率為2=苗96=仁2.

故答案為：卷2.

13.（2025?甘肅白銀?二模）已知身高互不相同的6個人排成一排，記q，外,…，牝是對應(yīng)站位為1，2,…，

6的各人的身高數(shù)據(jù)的一個排列，則對任一組和為>。卬。=2,3,4,5）,各組中的兩個不等關(guān)系至少

有一個成立的概率為.

【答案】S

45

【分析】求出6個人排成一排的方法數(shù)，假設(shè)甲身高最高，通過分類討論甲在不同位置時的情況，即可得

出結(jié)論.

【詳解】由題意，

6個人排成一排，共有A：=6!種方法.設(shè)6個人中甲的身高最高，

當(dāng)甲站首位時，％>出，則有牝共1種方法；

當(dāng)甲站第2位時，《<生且。2>%，則有%>%，%>%，%>&，

即從5個人中任選1人站首位，另外4人從高到矮定序排隊，有C；三種方法；

11/17

當(dāng)甲站第3位時，與＜%且的＞/，則有《＜。2，且%

只需從5個人中任選2人定序站1,2位,另外3人定序排隊，有C；種方法;

同理，當(dāng)甲站第4位時，有C；種方法；當(dāng)甲站第5位時，有C；種方法；

當(dāng)甲站床位時,需修＜了＜。3＜。4＜牝＜“6，有1種方法.

故共有1+(：；+(3：+(3；+(3；+1=(3；+(：；+(3；+(3；+(3；+仁=2:1種方，法,

則概率。=土2s=_±2

6!45

7

故答案為：—.

45

隨機(jī)變量及其分布列

14.(2025?甘肅白銀?二模)在某次環(huán)保知識競賽中，已知小敏答對一題的概率均為三，且每次答題是否正

確互相獨立.若小敏連續(xù)回答三題，記事件力為“至少答對兩題”，事件3為“第三次答題正確”，則尸(例力)=

()

A1

A，BD.

3-I32

【答案】C

【分析】應(yīng)用二項分布的概率求法求尸(⑷，再求答對2個題且第三次答題正確的概率，最后應(yīng)用條件概率

公式求概率.

【詳解】由題設(shè)，小敏答對的個數(shù)X?8(3,；),則P(4)二尸(X=2)+P(X=3)=C?9、C興9=9

對于X=2時，第三次答題正確，則前兩個題答對一個，故P(8|X=2)=C；(g)3=；,

,3

所以尸(48)=P(3|X=2)+P(X=3)=＞

O

所以?出⑷=3=3

P(A)4

故選：C

15.(2025?甘肅金昌?二模)某學(xué)校高三年級組織了一場校內(nèi)知識挑戰(zhàn)賽，共有5個班級參與，每個班級推

選I名學(xué)生代表參加，其中1名學(xué)生代表來自力類班級，4名學(xué)生代表來自〃類班級，學(xué)生甲是4類班級

代表之一.在某一輪比賽中，隨機(jī)選擇兩名學(xué)生代表進(jìn)行比賽.若是同類班級代表比賽，則雙方獲勝的概率均

為不；若是4類班級代表與8類班級代表比賽，則8類班級代表獲勝的概率為

?5

12/17

（1）已知學(xué)生甲參賽，求在一輪比賽中，學(xué)生甲獲勝的概率；

（2）若每兩個班級代表各進(jìn)行一輪比賽，記8類班級代表甲獲勝的輪數(shù)為X,求X的分布列與期望.

【答案】⑴磊19

40

10

（2）分布列見解析，-

【分析】（1）由獨立事件乘法公式及互斥事件和事件公式即可求解；

（2）確定X的可能取值及對應(yīng)概率，即可求解.

【詳解】（1）從5人中選擇2人.其中包含學(xué)生甲的情況有C；=4種，4種情況中，學(xué)生中和4類班級代表

比賽的情況有1種，和B類班級代表比賽的情況有3種，

則學(xué)生甲和4類班級代表比賽并獲勝的概率為

4510

313

和B類班級代表比賽并獲勝的概率為4、萬=左，

故在一輪比賽中，學(xué)生甲獲勝的概率為21+=3=?19.

10840

（2）X的可能取值為01,2,3,4,

仆0』邛（"斗2_,

,7I2；I5J40

2

p(y=2)=yxC；

P（X=3）=|xC；x（；）“彳卜口出“用=總

P（X=4）g。喘=看

故X的分布列為

X01234

311391

P

404084020

13/17

19

E（y）=Ox—+lx—+2x-+3x—+4x—=

'/404084020To

16.（2025?甘肅金昌?二模）已知隨機(jī)變量X的分布列如下:

X123

12

Pm2-2m—m-in0.4

2

則數(shù)學(xué)期望E（X）=（）

A.0.8B.1.4C.2m-3D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)概率之和為1得到方程，求出〃』-2加=0.4,利用期望公式得到答案.

【詳解】由題意，〃/-2〃?+；/-〃7+0.4=1,所以］一2〃?=0.4，

所以￡（X）=1X（“J-2,〃）+2X〃、十3X0.4=04+0.4+1.2=2.

故選：D.

17.（2025?甘肅白銀?二模）已知一批產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標(biāo)萬~%（18,2）（。>0）,且尸（15<X4I8）=O.4,

現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)取4件產(chǎn)品，變量丫表示這4件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Xw（15,21）的產(chǎn)品件數(shù)，貝IJ（）

A.E（%）=I8B.P（r=l）=0.0512

C.P（X>21）=0.1D.。（丫）=0.64

【答案】ACD

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念即可判斷A選項，根據(jù)P（￥>21）=P（X?15）即可判斷C選項，求出1件產(chǎn)

品的質(zhì)量指標(biāo)Xw（15,21）的概率，判斷丫服從的分布即可判斷B和D選項.

【詳解】由正態(tài)分布的概念知上（丫）=18,A項正確；

P（X>21）=尸（X415）=0.5-尸（If<XV18）=01，C項正確；

易知1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Xw（15,21）的概率尸=0.8,

y~5（4,0.8）,則尸（y=l）=C：x0.8x0.23=0.0256,B項不正確;

D（r）=4x0.8x0.2=0.64,D項正確.

14/17

故選：ACD.

18.（2025?甘肅?二模）2022年，商湯科技（SenseTime）軟件公司研制的第一款A(yù)l下棋機(jī)器人----象棋專

業(yè)版“元蘿卜SenseRobot”問世.2024年，商湯將大模型植入機(jī)器人推出行業(yè)首款家用四合一下棋機(jī)器人，

為推介這款機(jī)器人，該公司與某市青少年活動中心聯(lián)合舉辦了“挑戰(zhàn)AI下棋機(jī)器人”的象棋對弈活動，由于

活動中心機(jī)器人的數(shù)量有限，每人每天最多獲得一次對弈資格，活動中心每天只抽簽6次，每人在第人次被

]]_左

抽中的概率為月=一疝-C取1,2,…，6）.

（1）求張明同學(xué)在第3次抽簽時獲得對弈資格的概率；

（2）在活動中心參與測試的有A-1型和A-2型兩款機(jī)器人，活動規(guī)定：每位參賽者與機(jī)器人對弈三局，每局

均可從這兩款中任選一款，假設(shè)選手選擇A-1型與A-2型的可能性相同，且每局比賽結(jié)果相互獨立.若選

擇A-1型進(jìn)行對弈，選手獲勝概率為5，獲勝后可得1分，若選擇A?2型進(jìn)行對弈，選手獲勝概率為:，

獲勝后得2分，平局或失敗均不得分，記參賽者得分為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望￡（X）.

【答案】（端

（2）分布列見解析,E（X）=2

【分析】⑴設(shè)“張明同學(xué)在第3次抽簽時獲得對弈資格”為事件A,第k（〃取12…,6）次被抽中為事件4,

則P（A）=P（At）P（%）P（4），根據(jù)題意求解即可;

（2）因為每局比賽結(jié)果相互獨立，則X可以?。ǎ?,2,3,4,5,6,求得每個值對應(yīng)概率，可得分布歹”，

即可求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）設(shè)“張明同學(xué)在第3次抽簽時獲得對弈資格”為事件A,

第k第取1,2,…,6）次被抽中為事件4,則產(chǎn)⑷=P（4）尸伍）/4）,

又因為每個報名者在第〃次被抽中的概率為匕二號（〃取1,2、…,6）.

所以?。?/當(dāng)

（20JI20；2010（）

（2）設(shè)瓦：表示選手在某一局得到了，?分1=0,1,2）,

則P（8o）=；x,+；x：=尸（8j=：x'=；,尸==

23Z322J323o

因為每局比賽結(jié)果相互獨立，

則X可以取0,1,2,3,4,5,6,

且X=0：”三局比賽均得0分”，

15/17

X=l：”三局比賽中1局得1分，2局各得0分”,

X=2："三局中1局得0分，2局各得1分”或“三局中1局得2分，2局各得0分”,

X=3："三局中1局得0分，1局得1分，1局得2分”或“三局均得得1分”，

X=4：”三局中1局得0分，2局各得2分''或"三局中1局得2分，2局各得1分”,

X=5："三局中I局得1分，2局各得2分”，

X=6：”三局比賽均得2分”.

所以P（X=O）=C

P（X