八年級數(shù)學上學期第一次月考卷（蘇科版

全解全析

（考試時間：120分鐘，分值：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：蘇科版2024人年級上冊第1章?第2章。

第一部分（選擇題共12分）

一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.下列長度的三條線段能首尾相接構成三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.5,5,10D.6,9,2

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊判斷即可.

本題考查的是三角形的三邊關系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關鍵.

【詳解】解：A、?.?1+2=3,

???以線段1,2,3為三角形的邊長，不能組成三角形，不符合題意;

B、<3+4>5,

???以線段3,4,5為三角形的邊長，能組成三角形，符合題意；

C、v5I5=10,

???以線段5,5,10為三角形的邊長，不能組成三角形，不符合題意;

D、v2+6<9,

二.以線段6,9,2為三角形的邊長，不能組成三角形，不符合題意；

故選：B

2.下列計算正確的是（）

A.79=±3B.Q=-2C.-V27=-3D.廂=4

【答案】C

【分析】本題考查求算術平方根，立方根，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵.根據(jù)求算術平方根，立

方根的方法進行解題即可.

【詳解】解：A、M=3,故該選項錯誤，不符合題意：

B、負數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)沒有平方根，故該選項錯誤，不符合題意；

C、-炳=-3,計算正確，故該選項符合題意；

D、因為4,=64,

所以折石工4,故該選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

3.某學校美術組學生進行戶外寫生，需要準備如圖所示的折疊小椅子.將折疊椅子撐開后，它的側面木條

可簡畫成如圖2所示.已知椅子腿力4和。。的長度相等，。是它們的中點.為了使折疊椅子坐得舒適，廠

家將撐開后的椅子寬度力。設計為45cm,此時月。的長度是（

C.40cmD.45cm

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的應用，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得利用該全等

三角形的對應邊相等推知8。=/1C,掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?椅子腿44和CO的長度相等，O是它們的中點,

?'?OA=OB,OC=OD,

OA=OB

在△49C與小。。中，Z0C=NBOD,

OC=OD

.?.△.4OC%BO￡>(SAS)

BD=AC=45cm,

故選：D.

4.如圖，在銳角三角形力4。中，AB=6,△//。的面積為18,4。平分/44C,若E,E分別是60,BC

上的動點，則CE+E產(chǎn)的最小值為（）

【答案】B

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題.過點。作。尸于點P,交BD于點、E,過點E作EF/BC

于尸，則CP即為CE十分'的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CP的長，即為C七十E廠的最小值.

【詳解】解：過點。作。_L/14干點P,交BD于點E,過點E作EFJ.BC于F,

?；BD平分/ABC,PELAB,EF1BC,

:.PE=EF,

:.CP=CE+PE=CE+EF,此時取最小值.

。的面積為18,4B=6,

.-.-x6xCP=18,

2

??.CP=6.

即CE+E/的最小值為6,

故選：B.

5.在如圖所示的運算程序中，輸入％的值是64時，輸出的V值是（）

△EFD迫AEMC，得EF=EM>=又用叱,則與打仍=^^EFD=,^△EWC,所以

S8DFN=S4DFM=2s△防〃=2s，則^ADE.V=3sfMC,可判斷③正確,然后即可求解.

【詳解】解：vZ45C=45°,CD±4B于點D,BM工力C于點M,

??.Z.4DC=/EDB="MB=ACME=90°,

ZDCB=4DBC=45°,zACD=zEBD=90°-zJ,

:.CD=BD,

在〉CO和△旗。中，

ZCD=NEBD

-CD=BD,

4ADC=NEDB

.-.△.4CD^AE5D(ASA),

:.AC=BE,

故①正確：

???DNLMD,

：."DM=9/,

/CDM=4BDN=90。-/CON,

在△(7/)”和△片DN中，

ZCDM=2BDN

<CD=BD,

NMCD=Z.NBD

:.ACDM知BDN(ASA),

DM=DN,

故②止確；

作DF上MN于點、F,如圖：

A

BC

則尸N=EW,ZDFE=ZCME=9（J°,

AS\DFN=S8DFM?

?.,點E是CO的中點，

DE=CE,

在LEFD和AEMC中,

ZDEF=NCEM

<ZDFE=ACME,

DE=CE

.?.△EFQ%￡WC（AAS）,

?*,EF=EM>SyFD=S4EMC?

:?S4EMD~、4EFD~'AEMC?

SdDFN=SdDFM=2s2EFD~2s△EMC，

==

S〉DENS△8N+S2EFD2s+S^EMC=3s△￡“（.，

故③正確,

故選:A；

第二部分（非選擇題共108分）

二、填空題（本大題有10個小題，每小題2分，共20分）

7.7154.（填“＞”、"v”或“=”）

【答案】＜

【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較;

根據(jù)15＜16可得/正，問題得解.

【詳解】解：

二而＜而，即而＜4,

故答案為：＜.

8.一個三角形的三邊均為整數(shù)，其中兩邊長為2和3,則第三邊的最大值為

【答案】4

【分析】本題考查三角形三邊關系，三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，設一角形

的第三邊長是x,由此得到l<x<5,即可?得到答案.解題關鍵是掌握三角形三邊關系定理.

【詳解】解：設三角形的第三邊長是X,

由三角形三邊關系定理得到：3-2<x<3+2,

/.1<x<5,

???三角形=動均為整數(shù)，

???三角形第三邊的最大值為4.

故答案為：4.

9.在3.14,一欄，燈疝，0,石，0.2020020002...（每兩個2之間依次多1個0）,0.15中無理

數(shù)有個.

【答案】5

【分析】此題主要考查了算術平方根，立方根，無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無

限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義即可判定.

【詳解】解：3.14,0.15是分數(shù)，0是整數(shù)，它們是有理數(shù)；

無理數(shù)有-5，-思,匯麗，石，0.2020020002……（每兩個2之間依次多1個0）,共5個，

故答案為：5.

10.如圖，己知,44〃。石，AB=DE,AF-DC,則圖中共有對仝等三角形.

【答案】3

【分析】本題考食了平行線的性質、全等三角形的判定與性質，由平仃線的性質可.得/再利

用全等三角形的判定與性質證明即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：■:AB//DE,

NBAC=Z.EDF,

在△48尸.和AOEC中,

AB=DE

Z.BAF=NEDC,

AF=DC

.-.△.4BF^AD￡C（SAS）,

：ZFB=/DCE,BF=CE,

-.?ZCFB=1800-ZAFB,ZFCF=1800-ZDCE,

：.ZECF=NBFC,

在△8CF'和AER?中，

BF=EC

/BFC=NECF,

FC=CF

/.△5CF^AEFC（SAS）,

,:AF=DC,

：.AF+CF=CD+CF,即力C=QF,

在AXBC和SM中，

AB=DE

,/BAC=NEDF,

AC=DF

.?.△.48CZ△。所（SAS）,

綜上所述，圖中共有3對全等三角形，

故答案為：3.

II.如圖，ZUBC中，點。是8c的中點，2AE=ED,且△N8C的面積為8.則陰影部分的面積是

【分析】本題考查了三角形的面積和中線的性質：三角形的中線將三角形面積分成相等的兩部分.

根據(jù)題意可知：△/。C是陰影部分的面積的3倍，△48c的面枳是△力。c的面枳的2倍，依此可求解.

【詳解】解：?.?點。是8c的中點，

S'ADC~gS,.ABC?

2AE=ED?

S'AEC=§,dADC，

?.?△48c的面積為8,

114

"S^ADC~5S&ABC=4,SMEC=2S4ADC=§，

故答案為：；4

12.如圖，在"CQ中，/力CQ=90。，點“在CO上，滿足AC=/C,過點A作比且E4=D4,

連接力8,EB,過￡點作EG〃CQ交4C的延長線于點G,4G與EB交于點F,若。尸=：8。，則

BD

JF--------------?

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，設Cb=x,則8C=4C=3x,AF=4x,證明

△JCD^AEGJ(AAS),得出/C=EG=3x,CD=AG,再證明"C尸且△石G尸(/MS),得出/G=B=x,

求出4O=2x,即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：設。尸=》，則8C=3x,

.?.AC=ZC=3x,Ab'=AC+CE=4x,

-EG//CD,EALAD.

；.ZACD=NAGE=90。,

ZDAC+ZD=90°=Z.DAC+Z.EAG,

NO=NEAG,

:./\ACOgAEGJ(AAS),

AC-EG=3x,CD=AG,

:.BC=EG,

?：4EFG=NCFB,ZBCF=4G,

.?.△BCF%EGF(AAS),

:.FG=CF=x、

???AG-5x,

/.CD=AG=5x,

:.BD=2x,

BD1

故答案為：y.

13.如圖，在△川5c中，AB=2AC,以頂點力為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交片。,力"于點M、N,再

分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線力產(chǎn)交邊8c于點。，若

￡加二12,則“8C的面積是.

【答案】18

【分析】本題考查作圖-復雜作圖、角平分線的性質、三角形的面積，熟練掌握角平分線的性質是解答本題

的關鍵.由作圖過程可知，/尸為N4力。的平分線，則點。到邊力C和48的距離相等，進而可得△4CQ的

面積為6,即可得出答案.

【洋解】解：過點。作于點E,作。尸_L4C,交4c的延長線于點凡

由作圖過程可知，力P為/A4C的平分線,

/.DE=DF.

*,SJBD

:.-xABxDE=-x2ACxDE=ACxDF=12,

22

??Sis=gx4CxDF=；x12=6,

??."BC的面積是S-BD+SJCD=18-

故答案為：18.

14.若(x-2023)2+12024++J2025-〃?=0,則(x+yl=.

【答案】-1

【分析】本題主要考查了偶次方，絕對值，二次根式的非負性，乘方運算，解題的關鍵是熟練掌握非負性.

先利用非負性求出各未知數(shù)的值，代入代數(shù)式即可求解.

【詳解】解:由(丫—2023)2+〔2024+R+J202S-+=0得,

x-2023=0,2024+^=0,2025-w=0,

解得x=2023,y=-2024,m=2025:

(x-y)m=(2O23-2O24)2025=(-l)2(Q5=-1,

故答案為：-1.

15.如圖，過邊長為2的等邊△/8C的邊力3上一點P,作尸于E,0為8c延長線上一點，當產(chǎn)力=。。

時，連。。交力C邊于。，則OE的長為.

【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，三線合一，全等三角形的判定與性質等知識點，熟練

掌握相關知識點并能加以綜合運用是解題的關鍵.

過P作尸廠〃AC交力C于尸，由等邊三角形的性質及平行線的性質可證得△/仍”是等邊三角形，于是可得

AP=PF=AF,由三線合?可得4E=EF,利用AAS可證得，于是可得尸。=C。，進而

可推出。E=于是得解.

【詳解】解：如圖，過P作PF//BC交4c于F,

?.?△力8c是等邊三角形,

cQ

ABAC=AABC=/ACB=60°,

-PF//BC,

:"APF=N4BC=60°,NZQ=N4C8=60°,NPFD=NQCD,

又￡PAF=NBAC=600,

.?.△力川是等邊三角形，

/.AP=PF=AF,

?/PE1ACt

AE=EF,

vAP=PF,AP=CQt

:.PF=CQ,

在小/。和△?口)中，

"PDF=NQDC

4PFD=ZLQCD,

PF=CQ

:.△PFDQAQCD(AAS),

FD=CD,

AE=EF,

:.EF+FD=AE+CDt

：.AE+CD=DE=-AC,

-AC=2t

DE=—AC=—x2=I,

22

故答案為：1.

16.如圖，AB=6cm,4C=8cm,ZZ?=ZC,如果點P在線段4c上以2cm/秒的速度由8點向C點運動,

同時，點0從C點出發(fā)沿射線C。運動，若經(jīng)過/秒后，"BP與ACQP全等,則/的值是

【答案】1或2/2或1

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當

△zfBPgaPC。和②當時，利用全等三角形對應邊相等，列出方程即可求解，利用全等三

角形對應邊相等，列出方程是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意知,5尸=2f(cm),PC=(8-2/)cm,

AB=6cm,

①當尸且△尸C。時，

BA=CP,

8-2t=6,

f=1;

②當△力BPgZXQCP時，

.?.BP=CP=-BC=4cm,

2

.-.2/=4,

=2,

綜上，當f的值是1或2時，能夠使△48P與△CQP全等，

故答案為：1或2.

三、解答題(本大題共11小題，17,18每小題7分，19,20,21,22,23,24,25每小題8分，26,27每小

題9分，共88分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)

17.計算：

(1)A/9+(-1)2-V27+V36

⑵]-2+4=-125

【答案】(1)7

⑵-3

【分析】本題考查了平方根，立方根，解題的關鍵是掌握以上運算法則.

(1)根據(jù)算術平方根，立方根，有理數(shù)的乘方運算法則進行計算即可；

(2)利用立方根求解即可.

【詳解】(1)解：我+(-1)2-防+后

=3+1-34-6

=7；

(2)解：(-2+X)3=-125

:.-2+x=-5

：?x=-3.

18.已知在中，AB=22,8C=10,AC=2m+2.

(1)求小的取值范圍：

(2)若△力8。為等腰三角形，求△力8C的周長.

【答案】(1)5〈加<15

⑵54

【分析】本題考查了三角形三邊關系，等腰三角形的定義，解不等式組等知識，掌握三角形三邊關系是解

題的關鍵.

<1)根據(jù)三角形三邊關系求解即可；

(2)分48=力。，4C=力。兩種情況討論即可;

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，得/tB-BC<4C<4B+BC,

BP22-I0<2/H+2<22+10,

解得5<小<15；

(2)解：當48=40=22時，

△48C的周長為22+22+10=54；

當8c=AC=10時，BC+AC=20<AB,

.?.△43C不存在，故舍去，

???△NBC的周長為54.

19.如圖，在“8C中，Z^C=90°,4)為8c邊上的高，斯為三角形的角平分線，4。與相交于點

A

(2)若8c=13,AC=\2,AB=5,求力。的長度.

【答案】(1)見解析：

(2)3容

【分析】本題考查的知識點是角平分線的定義、等角的余角相等、三角形面積計算公式，解題關鍵是熟練

掌握角平分線的定義.

(1)先根據(jù)角平分線的定義得到=再根據(jù)等角的余角相等得到=然后利用

4BFD=/AFE得至IJZAFE=ZAEF；

(2)利用等面積法計算力。的長.

【詳解】(1)證明：丁8七平分48。，

:./ABE=NDBF,

AD是6.ABC的同j,

/.AD1BC,

/.NBDF—90。,

ZDBF+NBFD=90°,NABE+ZAEF=90°,

2BFD=/AEF,

ZBFD=NAFE,

Z.AFE=Z.AEF；

(2)解：vZi?/lC=90o,

：.BA^ACtAD±BC,

S=-ADBC=-ABAC,

wAftc22

S5x1260

1313

即4。的長度為卷.

20.常見的“角平分線+平行線一＞等腰三角形''模型有以下兩種:

D

(1)如圖①，BC平分N4BD,AC//BD,MAB=AC-

(2)如圖②，AE//BC,/E平分/D4C,則△48C是等腰三角形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，等角對等邊.

(1)由角平分線的定義求得48C=NC8O,由平行線的性質求得/C=NC8O,推出

/ABC=NC,再根據(jù)等角對等邊即可證明力4=/C；

(2)由平行線的性質求得/及1C=NC,/EAD=/B,再由角平分線的定義求得/￡4。=NE4C,推出

Z5=ZC,即可證明△XAC是等腰三角形.

【洋解】(1)證明：???8C平分/480,

:ZBC=4CBD,

???AC〃BD,

:.ZC-Z.CBD,

：.ZABC=/C,

：.AB=AC；

(2)證明：?:AE〃BC,

：.MAC=/C，NEAD=NB,

???/E平分/ZMC,

:.5AD=￡EAC,

.-.Z5=ZC,

：.4B=AC,即△力8C是等腰三角形.

21.如圖所示，a,b,c是數(shù)軸上三個點A,B,C所對應的實數(shù).其中。是4的一個平方根，方是-27的

立方根，。是1-30的相反數(shù).

B0C

⑴填空：。=_,h=_,c=_.

（2）先化簡，再求值：^（?）2+|/?-t7|-|c|

【答案】（1）—2,-3,372-1

⑵-b-c；4-34

【分析】本題考查了整式的加減，實數(shù)的運算，平方根，立方根，實數(shù)與數(shù)軸，準確熟練地進行計算是解

題的關鍵.

（1）根據(jù)數(shù)軸可得bv〃<O<c，根據(jù)平方根，立方根，相反數(shù)的意義，即可解答；

（2）根據(jù)數(shù)軸可得。<0力-。<0]>0,化簡各式，再代入數(shù)據(jù)計算即可求解.

【詳解】（1）根據(jù)數(shù)軸可得8<4<0<c

???。是4的■個平方根，

???a=±2

根據(jù)數(shù)軸可得。<0

:.a=-2,

-27的立方根為一3,則6=-3,

?；c是1一3&的相反數(shù)

c-3五—1?

故答案是：-2,-3,3y/2—1;

（2）-b<a<0<c

.\a<O,b-a<0,c>0,

二J（。）-+1，）一。1一|。|

=-a+a-b-c

=-b-c

當6=-3,c=3\/2—1時，

原式=_（一3）-（3右—1）

=3-3x/2+l

=4-372

22.如圖，CB=CD,Z￡）+Z/15C=180°,于點E,CFJ,48交力8的延長線于點尸.

￡

（1）求證：X。平分

（2）若4E=18,DE=3,求力B的長.

【答案】（1）見解析

⑵15

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的判定，角平分線的定義，熟練掌握知識點是解

題的關鍵.

（1）通過證明尸（AAS）,再根據(jù)其性質得出=再根據(jù)角平分線的判定進行證明即可：

（2）先證明△￡4CgA4C（AAS）,再根據(jù)全等三角形的性質及線段的和差進行求解即可.

【詳解】（1）證明：?.?CE_L4）,ChAB,

/DEC=NCFB=900,

vZD+ZJ5C=I8O°,NCBF+N4BC=180°,

二.ZD=Z.CBF,

ZD=NCBF

在ACZ）E與aCB/中，）/DEC=NBFC,

CD=CB

：ACDE.CBF（AAS）,

:.CE=CF,

/./C平分NTU5：

（2）由（1）知力C平分

；?NEAC=NFAC,

在AE/C和△以《中，

ZAEC=ZAFC

NEAC=/FAC,

AC=AC

.,.△E4cg△E4C(AAS),

JE=JF=18,

由（1）知△COEg△。產(chǎn)，

:.BF=DE=3,

43=力廠一5/=18—3=15.

23.（1）如圖1,△ZBC和△力。E是頂角相等的等腰三角形，即48=4C,AD=AE,且/BAC=/DAE,

分別連接8。，CE.求證：BD=CE；

（2）如圖2,△48C和△力力上都是等腰三角形，即力8=力。,力。二4E,且N84C=NQ4E=90°,B,C,D

在同一條直線上.請判斷線段8。與CE存在怎樣的數(shù)量關系及位置關系，并說明理由.

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）BD=CE,BDA.CE,理由見解析

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，掌握等腰三角形的性質，證明三角

形全等是解題的關鍵.

(1)先得出44)=/。石，再證明△力8。絲△4?￡(SAS),根據(jù)全等三角形的性質即可得出結論;

(2)先得出=再證明△48。咨△力CE(SAS),得到8O=CE,ZADB=ZAEC,由

ZECD+ZADB=ZEAD+ZAEC,得至I」NEC。=NE4O=90。，由此即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?/84。=NONE,

,'.ABAC-NCAD=NDAE-/CAD,

：.ZBAD=/CAE,

在4ABD和中，

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

.?.△48，gZ\/CE(SAS),

BD=CE；

(2)解：BD=CE,BDLCE,理由如下：

vAB=ACtAD=AE,/BAC=/DAE=9/,

:.ABAC+/CAD=/CAD+ZDAE,

即儂O=NC4E,

在4ABD和△/€?￡■中，

AB=AC

,/BAD=/CAE,

AD=AE

：.BD=CE,ZADB=ZAEC,

???ZECD+N/1DB=ZEAD+Z.AEC,

：?4CD=/EAD=90。,

:.BDICE.

24.先觀察下列等式，再回答問題：

第一個等式：Ji+i+4=i+---=i-；

V1-2-122

第二個等式：行弓“法比

第三個等式：ffh+H通

(1)根據(jù)上述三個等式提供的信息填空，3+*+*_=_;

(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出第〃個等式(〃為正整數(shù))；

(3)對于任何實數(shù)〃，⑷表示不超過。的最大整數(shù)，如［3］=3,［石］=2,計算:

卜*+5+卜城+*+>9+/+…+J1+募+募］的值.

【答案】⑴

（3）2023

【分析】本題考查了與算術平方根有關的規(guī)律探索，正確找到題中的規(guī)律是解題關鍵.

（1）根據(jù)題中所給信息可判結果;

（2）根據(jù)第一問的結果用字母代替數(shù)字即可:

（3）根據(jù)規(guī)律將原式進行正確變形求解;

【詳解】（1）???第個等式Jl十1十二=1十！一l=14；

VI222122

第二個等式＞/+*=1+；+

故根據(jù)規(guī)律可猜測第五個等式為卷,

故答案為：

JoJU

（2）根據(jù)⑴總結規(guī)律可得：第〃個等式為3+5+*j肅

(3)根據(jù)規(guī)律可化簡J+器+"+j+*+"+,1+*+/+…+J1+11

----------------------

2023220242

1

=；i+1+

撲（“撲卜哈卜…+（2023x2024

111

=(1x2023)+-----1-----+----+-…+2023x2024

1x22x33x4

2023+1-1+---+---+1

+2023—2024

22334

2023+1———

2024

2023—20^23

2024

=2023.

25.【教材呈現(xiàn)】

⑴如圖1,連接△ABC的頂點力和它所對的邊8C的中點。，所得線段力。叫做△48C的邊8C上的中線.寫

出圖1中的一個等量關系

【嘗試感悟】

（2）小明學了中線這個知識后，遇到這樣一個問題：在△川5c中，48=8,AC=6,。是8c的中點，求8C

上的中線月。的取值范圍.丁是小明在小組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2,延K月。到

E,使DE=AD,請完成證明“△力。。且產(chǎn)。夕’的推理過程.

①求證：AADCEDB.

②求力。的取值范圍.

【問題解決】

(3)如圖3,在△48。中，ZZ?=90°,AB=2,力。是△/出。的中線，C￡_L8C,CE=4,且//Of=90。，求力E

長.

E

圖1圖2圖3

【答案】(1)8。=。。

⑵①見解析；②1<4)<7

(3)6

【分析】本題主要考杳了中線的定義，垂直平分線的性質，三角形的三邊關系，全等三角形的性質和判定,

構造全等三角形來解決中線的取值范圍和求解線段長度的問題，構造輔助線是解本題的關鍵.

(1)根據(jù)中線的定義求解即可.

(2)①利用己知條件證明即可；②根據(jù)三角形三邊關系可得力8-AEvAEv/lB+AE,再

用全等三角形的性質可得力。的取值范圍.

(3)延長力。交E。的延長線;凡求證A/BO且ASA),可得出C/=48=2,4。=。Q，再利用垂直

平分線的性質即可求得/1E的長.

【洋解】(1)解：?.?力。是△48C的邊8c上的中線,

BD=CD,

故答案為：BD=CD；

(2)①由(1)可得BD=CD,

在2EDB和△/。。中，

DE=AD

NEDB=Z.ADC,

BD=CD

:.^ADC^EDB（SAS）,

②：&ADg&EDB,

BE=AC=6,

在A/18E中，44=8,BE=6,

根據(jù)三角形三邊關系：兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊,

即4B-BE<4E〈4B+BE,

-AE=2AD,

/.8—6<2ADv8+6,

1<AD<7；

（3）延長力。交EC的延長線于凡如圖所示：

?;ABA.BC,EF1BC,

:..NABD=NFCD=90°,

在4ABD和△尸8中，

NABD=NFCD

BD=CD,

Z.ADB=4FDC

.?.△4%）g/CQ（ASA）,

:.CF=AB=2,AD=DF,

?/ZJDE=90°,

二.皮）垂直平分/尸，

/.AE=EFt

vEF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,

AE=6.

26.在△4BC,AB=AC,NA4C=a。，點。在平面內(nèi)，連接力D,將線段力。繞點4順時針旋轉（180-a）。

得到4f.

(1)如圖1,當a=120時，點。、￡都在8C邊上，求證：BD=2AD；

(2)點。在△48。內(nèi)，點E在△48C外，連接A。，CE,/為的CE中點，連接

i)如圖2,求證：BD=2AF；

ii)令a=90,當4,F,。三點在同一直線上時，BD=4,ZAFC=120°,求。戶的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)i)證明見解析；ii)2

【分析】(1)先推出△力EO是等邊三角形，進而得到==即可證明；

(2)i)先證明絲△GFC(SAS),再證得△84^A4CG(SAS),推出6Q=4G,即可證明；ii)由i)

NADB=NFGC=9/,即可判斷點。為8c中點，即可求解.

【詳解】(1)證明：?.?Z8=4C,44c=120。，

.-.Z5=1(l80°-/BAC)=30°,

:.Z￡AD=60°,

由旋轉得/E=/O，

.?.△4ED是等邊三角形,

：?AE=ED,ZAED=60°,

:./BAE=ZAED-ZB=30°=/B,

???AE-ED-BE?

???BD=2AD.

(2)i)證明：延長4?至點G,使EG=/E,連接CG,

??/為的CE中點,

EF=CF

?ZFE=NGFC,且力歹=G"，

.-.△/1F￡^AGFC（SAS）,

???AE=CG,且Z￡AF=Z.G?

.-.AE//CGt

由旋轉性質，AD=AE,

AD=CG、

vABAC=a,NDAE=180--a,

+ZOF=180-ez,

-AE//CG,

4CG+/Of=180。，

ZACG=/.BAD,

:.△5/iD^A/iCG（SAS）,

BD=AG,

vAG-AF+FG=2AF,

：.BD=2AF.

ii）解：當a=90。時，ZUBC是等腰直角三角形，NBZC=90。，旋轉角/。力￡=180。-90。=9。。