§2.10函數(shù)的圖象

【課標(biāo)要求】1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析

法)表示函數(shù)2會(huì)畫簡單的函數(shù)圖象.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與

不等式解的問題.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

I.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的步驟：到表、撞直、連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換

(2)對(duì)稱變換

Gc、關(guān)于諭1對(duì)稱,、

?y=J(x)---------?尸Tx).

百\“、關(guān)于)，軸對(duì)稱“、

公。、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱“、

?y=fix)--------r=T-x).

@y=av(?>0?且aW)，=]02選〃>(),且1j.

(3)翻折變換

保留X軸上方圖象一

?y=fix)將冊下方圖象翻折上去‘丁一

保留)軸右側(cè)圖象，并作其

^y=/U)關(guān)于〉?軸對(duì)稱的圖以‘y-jwi-

【常用結(jié)論】

1.左右平移僅僅是相對(duì)X而言的，即發(fā)生變化的只是X本身，利用“左加右減”進(jìn)行操作.如

果X的系數(shù)不是1，需要把系數(shù)提出來，再進(jìn)行變換.

2.函數(shù)圖象自身的對(duì)稱關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽，且有則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線工=嚀"

對(duì)稱.

(2)函數(shù))，=yu)的圖象關(guān)于點(diǎn)3,與成中心對(duì)稱母/("+x)=2〃一八。一冷銬/U)=2A—/(2a-x).

3.兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系

⑴函數(shù)/=1/“)與y=y(2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

⑵函數(shù)y=以)與產(chǎn)2b—fi2a—x)的圖象關(guān)于點(diǎn)、(a,〃)對(duì)稱.

【自主診斷】

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

⑴函數(shù))，=|/U)|為偶函數(shù).(X)

(2)函數(shù)一x)的圖象，可由)，=4一#的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到.(X)

(3)當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，函數(shù)y=|/U)|與)，=川刈的圖象相同.(X)

(4)函數(shù))，=段)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù))，=/U)與)，=負(fù)一x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(X)

2.函數(shù).人防二生的部分圖象大致為()

答案C

解析由于/(一，=#(；一；)<0,故D錯(cuò)誤，

當(dāng)我一+8時(shí)，氏1)-0,A,B錯(cuò)誤.

3.函數(shù)/U)=ln(x+1)的圖象與函數(shù)g(x)=f—曲+4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析由于函數(shù)Ar)=ln(x+1)的圖象是由函數(shù)y=lnx的圖象向左平移1個(gè)單位長度得到的，

函數(shù)g(x)=f—4X+4=(X-2)2,故函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸為X=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),開口向

上，所以作出,/(x),g(x)的圖象如圖所示，故函數(shù)7U)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

4.函數(shù))，=/U)的圖象與＞=。1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再把y=7U)的圖象向右平移1個(gè)單位長

度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)=.

答案e-x+,

解析由題意可知人力=屋。

把)，=/U)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后得到g(x)=e一"「)=e'+1的圖象.

■探究核心題型

題型一作函數(shù)圖象

例1作出下列各函數(shù)的圖象:

2x-l

⑴產(chǎn)二F；

(2)尸|『一4%一5卜

(3)y-Q)k-,l-l.

解(1)原函數(shù)解析式可化為)，=2+17,故函數(shù)圖象可由函數(shù)y=；的圖象向右平移1個(gè)單位

X1X

長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到，如圖所示.

(2)y=|『一4.r—5|的圖象可由函數(shù)＞'=x2—4x—5的圖象保留工軸上方的部分不變，將x如下方

的部分翻折到x軸上方得到，如圖所示.

(3?=(})廣”-1,其圖象可看作由函數(shù)y=(g)d的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移1

個(gè)單位長度得到，

其圖象可由)，=(；下的圖象保留時(shí)的圖象，然后將該部分

答案c

解析由題意知函數(shù)人外的定義域?yàn)椴?工±￡],

6-x—6'

因?yàn)槿艘缓?14丫2_]?=~/(X),所以避幻為奇函數(shù)，故排除A;

I今人“

35

因?yàn)榇ㄊ?gt;0,故排除B：

因?yàn)槲?)=黑,費(fèi)=?1),故排除D.

(2)(2022.全國乙卷)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[—3,3]上的大致圖象，則該函數(shù)

是()

A-尸f+1B.

2xcosx2sinx

C.尸wrD.y=7+\

答案A

解析對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)x=l時(shí)，y=0,與圖象不符，故排除B；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x=3時(shí)，y

=1sin3>0,與圖象不符，故排除D；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí)，0<COSA<1,故)，=筆*母；

W1,與圖象不符，故排除C.

思維升華識(shí)別函數(shù)的圖象的主要方法

(1)利用函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷.

(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷.

(3)利用特殊函數(shù)值判斷.

跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)人幻=(亳+1｝訪工的部分圖象為()

答案D

解析因?yàn)?/U)=(&;+l)sinx,所以大0)=0,故排除A和B；

T+1<2,故排除C,而D滿足.

1+e2

_

evl_],],

(2)(2023?泉州模擬)已知函數(shù)凡r)=,''則函數(shù)—4)的圖象大致為(

log2k，X>1，

ev-1—1,xW1,

解析函數(shù)/U)=]

logM,x>l,

所以)=g(X)=/U_X)=]，；

10g2(l—X),X<0,

所以當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=e°—1=0,

故A,C錯(cuò)誤；

當(dāng)x20時(shí)，g(x)=er—I單調(diào)遞減，

故D錯(cuò)誤，B正確.

題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用

命題點(diǎn)1利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

例3（多選）已知函數(shù)./U）=等，則下列結(jié)論正確的是（）

入1

A.函數(shù)段）的圖象關(guān)「點(diǎn)（1,2）成中心對(duì)稱

B.函數(shù)./U）在（-8,1）上單調(diào)遞減

C.函數(shù),/U）的圖象上至少存在兩點(diǎn)A,從使得直線軸

D.函數(shù)4r）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

答案AB

解析因?yàn)槲＃?告=嗎卡==7+2,所以該函數(shù)圖象可以由），三的圖象向右平移

A1AlAl入

1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到，所以函數(shù)凡0的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,2）成中心對(duì)稱，

2

在（-8,1）上單調(diào)遞減，A,B正確，D錯(cuò)誤；易知函數(shù)7U）的圖象是由的圖象平移得

到的，所以不存在兩點(diǎn)A,8使得直線AB〃A?軸，C錯(cuò)誤.

命題點(diǎn)2利用圖象解不等式

例4（2023?商丘聯(lián)考）已知定義在R上的奇函數(shù);U）在［Q,+8）上的圖象如圖所示，則不等

式的解集為（）

A.（一小，0）0（-72,2）

B.（一8,-2）U（2,+8）

C.（一8,一2）”一6，0）U（VL2）

D.（-2,-也）U（0,隹2⑵+8）

答案C

解析根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，作出;U）在（一8,（））上的圖象，如圖所示,

由.上/（幻＞々（幻，得（/一2v（x）＞0,

LV-2>0,卜2—2<0,

則或

W)>0血)<0，

解得xv—2或也令＜2或一也＜x＜0,

故不等式的解集為(-8,-2)U(-V2,0)U(V2,2).

命題點(diǎn)3利用圖象求參數(shù)的取值范圍

1|*xWO,

例5(2023?保定聯(lián)考)已知函數(shù)氏丫)=,八若函數(shù)g(x)=外幻一。有三個(gè)零點(diǎn)，則

Inx,x>0,

a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2］

C.(2,+8)D.(1,4-OQ)

答案A

解析要使函數(shù)g(x)=/U)一。有三個(gè)零點(diǎn)，

則人的=。有三個(gè)不相等的實(shí)根，

即y=7U)與y="的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)xW-l時(shí),；U)=1—3門在(一8,—1］上單調(diào)遞減，J(x)e［O,l)；

r+,

出一1<XW0時(shí)，y(.v)=3-l在(一1,0］上單調(diào)遞增，Xx)G(0,2］；

當(dāng)x>0時(shí)，/U)=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，4r)￡R.作出函數(shù)?r)的圖象，如圖所示.

由)，=/*)與y=a的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得〃￡(0,1).

思維升華當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可

作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)把函數(shù)7U)=ln|x—a|的圖象向左平移2個(gè)單位長度，所得函數(shù)在(0,+8)上

單調(diào)遞增，則〃的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析把函數(shù)"r)=lnLE-a|的圖象向左平移2個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)=ln|x+2-a|的圖象，

則函數(shù)雙力在3—2,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)樗煤瘮?shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a—2W0,即〃W2.所以a的最大值為2.

(2)已知函數(shù)?v)=|x-2|+l,雙幻=立若方程凡r)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的

取值范圍是.

答案出】)

解析先作出函數(shù)八x)=|x-2|+l的圖象，如圖所示，當(dāng)直線雙上)=履與直線A8平行時(shí)，斜

率為1,當(dāng)直線g(x)=依?過點(diǎn)A時(shí)，斜率為5，故當(dāng)./U)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)

數(shù)左的取值范圍為e，1)

(3)(多選)記max(x,y,z}表示x,y,z中的最大者,設(shè)函數(shù)y(x)=max{—x,x~3,—f+4x

一2),則以下實(shí)數(shù)6的取值范圍中，滿足人的有()

A.(-1,4)B.(-1,1)C.(3,4)D.(4,+~)

答案BC

解析函數(shù)兒r)=max{-x,x—3,—f+4.r-2}的圖象如圖所示.

由一f+4x-2=1,得x=l或x=3,

由圖象可知，當(dāng)一lv〃P或3＜?。?時(shí)，火〃?)vl,因此選項(xiàng)B,C符合題意.

課時(shí)精練

知識(shí)過關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2023?萬州模擬)將函數(shù))二2。-1尸+3的圖象向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單

位長度，所得的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為()

A.y=2(x—2產(chǎn)+6B.y=2f+6

C.y=2jrD.j=2(x-2)2

答案C

解析函數(shù)y=2(Y—l)2+3的圖象向左平移I個(gè)單位長度得到)，=2~+4的圖象.

再向下平移3個(gè)單位長度得到），=*的圖象.

2.（2022?全國甲卷涵數(shù)），=（3x-3r）cosx在區(qū)間甘，］上的圖象大致為（）

y

4A

A

答案A

解析方法一（特值法）

取x=1,則y=（3-如os1=|cosl>0；

則尸3)cos(-1)

取x=-1,

Q

=—^cos1〈0.結(jié)合選項(xiàng)知A正確.

方法二令y=/(x),

則fi—x)=(3~x—3')cos(—x)

=-(3X-3A)cosx=-/(x),

所以函數(shù)y—(31—3-cosx是奇函數(shù),

排除B,D：

取x=l,H!|y=f3—zjcosl=jcosl>0,排除C,故A正確.

3.（2024?溫州模擬）函數(shù)），=於）的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)可能是（）

v

i2T4；

A.抬尸至7B.危）=普

C.危尸鬻D.危尸福詈

答案B

v--Y

解析4個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域均為R,對(duì)于A,人幻=離7,逃一處=34=-/5），故/（x）

4

為奇函數(shù)，44)=萬>。；

對(duì)于B,凡。=署，<一N)=等牛=一兀V)，故凡0為奇函數(shù)，14)=泮尸<0；

?工c。、2cosx門、2cosx“"、山/國皿介八2cos4八

對(duì)于C,八￥)=1+]?艮~x)=y+]=%)?故為偶函數(shù),14)=1萬一<0；

—―N+sinxA3-sinx..,——業(yè)，—64+sin4

對(duì)于D,y(x)=―^Tj—，/一X)=d+]=_/U)，故yU)為奇函數(shù)，J(4)=萬<―

1.由圖知_/U)為奇函數(shù)，故排除c；由_A4)VO,故排除A,由#4)>一1,故排除D.

4.(2023?重慶模擬)已知函數(shù)./U)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是()

A.I-j{x}B.—J(2—x)

C.D.\-fl-x)

答案C

解析由題圖知，將人幻的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱后再向下平移1個(gè)單位長度即得題圖2,

將凡x)的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱后可得函數(shù)

y=?-x)的圖象，

再向下平移1個(gè)單位長度，可得)，=逐一幻-1的圖象，

所以題圖2所表示的函數(shù)是)，=逐一x)—1.

5.已知函數(shù)7U)=log2(x+l)一國，則不等式兒1)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,0)D.0

答案B

解析不等式/(x)>0<=>log2U+1)>W，分別畫出函數(shù)y=Iog2(x+1)和尸M的圖象，如圖所示,

由圖象可知y=log2(x+1)和y=IM有兩個(gè)交點(diǎn)，分別是(00)和(1,1),

由圖象可知log2(x+1)>M的解集是(0,1),

即不等式凡6>0的解集是(0,1).

6.(2023?煙臺(tái)模擬)若某函數(shù)在區(qū)間[一兀，捫上的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能

是（）

A.)，=(%+2)sin2x

(4/+5)川11x

B.尸-N+l

(.r4-2)sinx

C.-V=M+l

『+2x

D.)cosx+2

答案B

解析A選項(xiàng)，設(shè)yu）=（x+2）sin2x,

則當(dāng)人七（1,，時(shí)，2xe（n,22,

則危）＜0,不符合圖象，排除A；

(x4-2)sinx

C選項(xiàng)，設(shè)7U）=

W+l

,.(x+2)sinx

當(dāng)x￡(0,兀)時(shí)，—,

且2<x+2<兀+2,0<sinxW1,14+l<7t+1,

所以0<(x+2)sinx<7r+2.

所以"v(x+2)sin1<兀+2V6,不符合圖象，排除C；

人I■

x2+2x

選項(xiàng)，設(shè)yu）=

Dcosx+2

令?r）=o,解得x=0或x=-2,不符合圖象，排除D.

二、多項(xiàng)選擇題

ax-h

7.（2023?宜春模擬）函數(shù)■的圖象如圖所示，則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.a<0

B.b<0

C.c>0

D.abc<0

答案BCD

解析由圖知貝0)=裝>0,所以XO,B正確；

當(dāng)工=-c?時(shí)，函數(shù)凡6無意義，

由圖知一“0,所以c>0,C正確；

令段)=0,解得x=g,由圖知30,

又因?yàn)椤?lt;0,所以〃>0,A錯(cuò)誤；

綜上，a>0,b<0,c>0,配以Mc<0,D正確.

8.(2024?南京模擬)若Vx￡R,./U+l)=/(l—X),當(dāng)時(shí)，/)=如一4彳,則下列說法錯(cuò)誤

的是()

A.函數(shù)/(3)為奇函數(shù)

B.函數(shù)兀v)在(1,+8)上單調(diào)遞增

C.y(X)min=—4

D.函數(shù)人r)在(一8,|)上單調(diào)遞減

答案ABD

解析由危+1)=》-x),

可知人幻的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，-4,r=(x-2)2—4,

當(dāng)x<l時(shí)，2一人>1,式2—:)=(2—1一2)2—4=/一4,則Rx)=J(2—x)=f—4,

x2—4x,

所以府)=|『—明⑼

J—4HrNI

作出/)=./1,的圖象，如圖所示,

X2—4,x<\

所以人工)在(0,1),(2,+8)上單調(diào)遞增，4(-00,0),(1,2)上單調(diào)遞減，

/(x)min=-4,40不是奇函數(shù)，故A,B,D錯(cuò)誤，C正確.

三、填空題

9.把拋物線y=2(x—1產(chǎn)+1向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度得到的拋物線

解析式為.

答案y=2(x+1)2+3

解析把拋物線y=2(x-l)2+l向左平移2個(gè)單位長度，得到)，=2(L1+2)2+I=2(I+1)2

+1的圖象，再向上平移2個(gè)單位長度得到)，=2(x+l)2+l+2=2(x+l)2+3的圖象.

10.若函數(shù)/(幻="］的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)4=_______.

X1

答案1

關(guān)于點(diǎn)(1,4)對(duì)稱，故4=1.

四、解答題

儂一2|,后0,

ii.已知函數(shù)yu)=<4

.r>().

(1)作出函數(shù)/U)的圖象：

(2)討論方程ZU)一〃?=0根的情況.

解(1)當(dāng)xWO時(shí)，O〈2'W1,

則府)=|2'—2|=2—2怕［1,2),

作出函數(shù)兒0的圖象，如圖所示.

y

5

4

3

2

012345x

(2)由_/(%)-〃?=0可得

則方程/U)一〃?=0的根的個(gè)數(shù)即為直線與函數(shù)1y=心)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示.

5

4

3

2

012345x

當(dāng)機(jī)wo時(shí)，方程yu)—〃?=o無實(shí)根；

當(dāng)0</7/<1或小22時(shí)，方程段)一m=0只有一個(gè)實(shí)根；

當(dāng)時(shí)，方程寅幻一機(jī)=()有兩個(gè)不相等的實(shí)根.

12.已知函數(shù)/(x)=q］2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,；),其中。>()且4Kl.

(1)若貝，+2)=3,求實(shí)數(shù)。和，的值；

|x+l|,AWO,

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=《請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出g(x)的簡圖,

a'—1,x>0,

①根據(jù)圖象寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

②求以幻W1的解集.

解(1)由題意可得/U)=〃'=；,

解得。=2,則yu)=2「2,

所以|i+2)