第二節(jié)：洛必達(dá)法則第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用講解：大學(xué)數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部三、其他不定式目錄CONTENTS四、小結(jié)

01

1.2推論1.1定理

設(shè)f(x),g(x)滿足：(1)(3)存在(或為);(2)在

可導(dǎo)，且1.3計算則

與f(x0),g(x0)無關(guān)

（step1）不妨設(shè)

f(x0)=g(x0)=0,

則

f和

g在

x0連續(xù)（step2）任給x

U(x0),則在[x0,x]（或[x,x0]上）

柯西中值定理的條件均滿足，則有條件(3)（step3）當(dāng)x→x0時，ξ

→x0(ξ可看做x的函數(shù)，且在x與x0之間)step(2)1.2推論1.1定理1.3計算例1解:

求例2解：

求法2：等價無窮小替換推論1

f(x),g(x)滿足：存在常數(shù)X>0,

當(dāng)|x|>X時，f(x),g(x)可導(dǎo)，(3)存在(或為)，(1)(2)且g′(x)≠0,則

1.2推論1.1定理1.3計算

例題3解:

練習(xí)

答案

解(1):

解(2):

答案解：

注意

若

還是型，若

也

滿足洛必達(dá)法則的條件，則可以再次使用洛必達(dá)法則.即：1.2推論1.1定理1.3計算例4解:

洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則例5解:

例6解：

練習(xí)解：

在多次使用洛必達(dá)法則時，一定要注意驗證是否滿足條件．注:可使用洛必達(dá)法則代替因式分解02

2.2證明2.1定理

在x0的某個去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g′(x)≠0存在(或為)，(3)(2)(1)則

設(shè)f(x),g(x)滿足：注：當(dāng)自變量的變化趨勢為其他時，定理仍成立。2.2推論2.1定理

存在(或為)，(2)且g′(x)≠0,則

f(x),g(x)滿足：存在常數(shù)X>0,

當(dāng)|x|>X時，f(x),g(x)可導(dǎo)，(1)(3)例7

解：法2：抓大頭法例8

解：分離非零項練習(xí)

練習(xí)解:思考：這里能否使用等價無窮小替換？在使用等價無窮小替換時，一定要注意極限過程是否滿足要求。練習(xí)解:不能使用等價無窮小替換不能使用等價無窮小替換分離非零項練習(xí)例9解:

例10求解：逐次應(yīng)用洛必達(dá)法則直到第n次，有

故

結(jié)論練習(xí)解:例11注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好，需要靈活使用。解：等價無窮小替換時，不需替換的因子保持不變。例12

解：

洛必達(dá)法則能化簡先化簡練習(xí)

答案

解:

能化簡先化簡

答案

解:答案例13求解：求導(dǎo)后極限不存在，洛必達(dá)法則失效無窮小*有界量用洛必達(dá)法則求出極限不存在時，不代表原極限不存在，需更換方法計算重新計算練習(xí)求解：求導(dǎo)后極限不存在，洛必達(dá)法則失效等價無窮小重新計算練習(xí)答案：B練習(xí)解:

求導(dǎo)后極限不存在，洛必達(dá)法則失效03其他類型不定式洛必達(dá)法則是用來求未定式極限的其他類型關(guān)鍵:將其它類型的未定式轉(zhuǎn)化為或類型，再應(yīng)用洛必達(dá)法則.步驟:變成1除以倒數(shù)1.0?∞型例如.

解:例題14求解:練習(xí)

解（1）:例如.步驟:都換為倒數(shù)形式，然后通分2、∞－∞型解:例題15解:練習(xí)求解:練習(xí)

解:練習(xí)解：

步驟:3、00,1∞,∞0型例16求設(shè)

y=xsinx,則lny=sinxlnx解:由

y=elny,有所以例17求解：

等價無窮小替換法2：第二重要極限而所以例18求解:

設(shè)則而故

注意與第二重要極限區(qū)分開來練習(xí)解:練習(xí)求

兩次使用洛必達(dá)法則解：練習(xí)

練習(xí)解:練習(xí)拓展練習(xí)解:04小結(jié)04洛必達(dá)法則令取對數(shù)2.用洛必達(dá)法則時一定要檢驗條件，特別是條件1.3.用洛必達(dá)法則時結(jié)合等價無窮小的替換可以簡化計算。4.若

注:1.用洛必達(dá)法則時，若求導(dǎo)之后仍為則可繼續(xù)用