新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第講直線與圓的方程及位置關(guān)系

直線的方程

￡9

兩條平彳泡間的距mKt/,L4.V+B>'+C^O./.i.-Lv+Br+C.sO>則//〃：之間的柜次d=7777

平面內(nèi)到定點的距離等于

定長的點的集合（軌跡）

叫圓.

網(wǎng)的標(biāo)準(zhǔn)方程：（.v?4+0">=/,

圈心坐標(biāo)為（a,b）,'匕徑為r（r>0）

冏的一般方程：./+./+"￥+切+產(chǎn)=0（加+爐?4尸>0）,

同心坐標(biāo)內(nèi)（.亍,.?。?，「徑r=---------------

Iwl的直徑式方程：若，4（.VijJSCvwJ,

則以線段45為曲徑的圈的方程是c*j+gj?i）o,丁尸。

fx=a+rcos0、，

做I的參數(shù)方程:{（6為參數(shù)）

圓外

圓上

圓內(nèi)

相離

直線與圓、圓與圓的位

置關(guān)系

解題方法總結(jié)

1、點關(guān)于點對稱

點關(guān)于點對稱的本質(zhì)是中點坐標(biāo)公式：設(shè)點P(X],k)關(guān)于點Q(x0,)，0)的對稱點為了(9，y2)?則根

.二一+?

據(jù)中點坐標(biāo)公式，有02

[y02

可得對稱點Pg,y2)的坐標(biāo)為(2%-百,2%-%)

2、點關(guān)于直線對稱

點/>(內(nèi)，y)關(guān)于直線/:A(+8.y+C=0對稱的點為/“修，力)，連接小，交/于M點，則/垂直平分

kj'kpp--1

pp，所以/W_L/,且M為p尸中點，又因為加在直線/上，故可得<%+工2>,)+y2，解出

.2+~~~+~

(電，火)即可?

3、直線關(guān)于點對稱

法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求

出直線方程：

法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程.

4、直線關(guān)于直線對稱

求直線[:依*與，*°=0,關(guān)于直線小心*e)，+/=0(兩直線不平行)的對稱直線

第一步：聯(lián)立《，4算出交點P(x0，比)

第二步：在4上任找一點(非交點)Q(K，X)，利用點關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點

，力)

第三步：利用兩點式寫出4方程

5、常見的一些特殊的對稱

點(x,y)關(guān)于X軸的對稱點為(x,-y),關(guān)于y軸的對稱點為(-X,y).

點(x,月關(guān)于直線y=x的對稱點為(y,x),關(guān)于直線的對稱點為-x).

點(x,y)關(guān)于直線戈二。的對稱點為(2a-x,y)，關(guān)于直線y=人的對稱點為(x,2b-y).

點(x,y)關(guān)于點(a,b)的對稱點為(2a—x,2b—y).

點(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對稱點為(4-y,k-x),關(guān)于直線x-y=k的對稱點為(Z+y,x-k).

6、平行直線系

與已知直線Ax+3v+C=0平行的直線系方程Ai十的十2=D(a為參數(shù)).

7、垂直直線系

與已知直線Ar+仇+C=0垂直的直線系方程以-Ay+2=0（4為參數(shù)）.

8、過兩直線交點的直線系

過直線4：4工+與），+G=0與A/+2.y+G=o的交點的直線系方程：

A、+4），+G+/i（&x+82y+G）=°（2為參數(shù)）?

9、關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論

（1）過圓/+），2=產(chǎn)上一點〃*0,y0）的圓的切線方程為xox+X,），=產(chǎn).

若「（%,%）為圓外一點則為兩切點所在直線方程

（2）過圓（x-a）2+（y-勿2=/上一點。（飛,兒）的圓的切線方程為

2

（.r0-a）（x-a）+（y0-h）（y-b）=r,若P（JV0,為）為圓外一點則為兩切點所在直線方程

（3）過圓Y+）產(chǎn)+6+與，+產(chǎn)=0上一點尸（為,%）的圓的切線方程為

入/+為y+。?三包+石?號也+/=（），若P（%，N。）為圓外一點則為兩切點所在直線方程

（4）求過圓/+）,2="2外一點3與為）的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：

①所求切線一定有兩條；

②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論.設(shè)切線方程為利用

圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于k的方程，求出k值.若求出的上值有兩個，則說明斜率不存在的情

形不符合題意；若求出的女值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意.

題型一：傾斜角與斜率的計算

【典例1?1】直線xTang+y-2=0的傾斜角為.

【答案】三4兀

【解析】由題意可將原直線方程變形y=7a吟子+2=3?〃+2,

JJ

則直線的斜率為tan學(xué)47r，

由傾斜角的取值范圍［0,勸，所以傾斜角為

故答案為：

【方法技巧】

正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式左=&=，根據(jù)該公式求出經(jīng)過兩

百r

點的直線斜率，當(dāng)％=占./刈時，直線的斜率不存在，傾斜角為90,求斜率可用々=tana(a/90),

其中。為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割.牢記“斜率變化分兩段，90是其分界，遇

到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論這可通過畫正切函數(shù)在上的圖像來認(rèn)識.

/\

?JI71

【變式?】已知直線/的一個方向向量為sin—,cos—,則直線/的傾斜角為()

11p=L33J

r27r、47r

A.廣B.H(D.

63一33

【答案】A

71

COS—fZ

【解析】由題意可得：直線/的斜率&=-2-=^=tan^,即直線，的傾斜角為g.

c：J366

故選：A

題型二：三點共線問題

【典例2?1】若三點A(3,3),8(“0),C(0,〃)(其中々力力。)共線，則+—.

【答案】；

【解析】由于A(3,3),見40),C(0,b)三點共線且“工0、”0,

顯然A3、AC的斜率存在，則38=砥「

所上三=空，所以必=3。+幼，所以，+,=2.

a-30-3ab3

故答案為：；

【方法技巧】

斜率是反映直線相對于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，即在同一直線上

任意不同的兩點所確定的斜率相等.這正是利用斜率可證三點共線的原因.

【變式2?1】若三點4一2,3).8(3,-2),。(；,〃?)共線，則，〃的值為.

【答案】I

-5m-3]

【解析】依題意有的8=&AC，即7"[匚，解得加=5.

22

題型三：過定點的直線與線段相交問題

【典例3?1】已知點A（3,l）,直線/是過點汽-2,3）且與線段43相交且斜率存在，則/的斜率k

的取值范圍是

【答案】（,，一|=[2,+co）

【解析】因為尸（一2,3）,A（3,l）,B（-4,-I）,

1-32-1-3

所以腦=二和=—丁句=2?

??,直線/過點P（-2,3）且與線段A3相交，如下圖所示：

2

二4匕北.=一《或&之攵小=2,

（21

???直線/的斜率左的取值范圍是：D[2,+8）.

I3_

一般地，若已知A（Xi，yJ,8（s，y2），P（%（），過夕點作垂直于x軸的直線/'，過尸點的任一直線，的

斜率為0則當(dāng)/'與線段AA不相交時，A夾在原八與&P8之間；當(dāng)/'與線段A4相交時，人在原八與的

兩邊.

【變式3-1]已知直線/：（，”+2）x-W+l））iI=0,若直線/與連接A（T,0）,8（2,l）兩點的線段總有公共點,

則直線/的傾斜角范圍是

【答案】fpv

144」

【解析】如下圖，由題意，

直線方程/：（切+2卜-（加+1）），-,〃-1=0可化為〃2（.r+），+l）+2x-y-l=O,

則直線/過定點。(0,-1),

乂八(一1,0),8(2,1),二七人=——~==7~^=1?

則由直線/與連接A(T0).8(2,l)兩點的線段總有公共點知:

直線/的斜率滿足kW-1或k21,

乂當(dāng)直線/的斜率存在時，上竺?=1+」7工1,

所以左＜一1或左＞1,

則直線/的傾斜角為毛或：＜a＜W，

2442

又屐二］也符合題意，

則直線/的傾斜角范圍是學(xué)

144

故答案為：fpT.

144」

題型四：直線的方程

【典例4?1】已知直線過點(2,3),它在x軸上的截距是在＞軸上的截距的2倍，則此直線的方程為

【答案】31-2)，=0或"2)，-8=0

【解析】當(dāng)直線經(jīng)過原點時，直線方程為：)，=［兒

當(dāng)直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線方程為：生+上=1，

2aa

把點P(2,3)代入f2+三3=1,解得〃=4.

???直線方程為x+2y=8.

綜上可得直線方程為：3x—2y=0或x+2y—8=(),

故答案是：3工一2)，=0或x+2y-8=0.

【典例4?2】如圖，在VA8C中，AC,八及所在直線方程分別為4工一3)，-13=()和3x+4)，-16=0,則

的角平分線所在直線的方程為()

A.x-7y+3=0B.7x+y-29=0C.x-y+3=0D.x+y-5=0

【答案】A

4,r-3y-13=0x=4/、

【解析】聯(lián)立3，+少16=。'解得?，即4(4,1),

)，=1

因為4x3—3x4=0，所以A8上AC,即N8AC=90。,

4

設(shè)/A的角平分線所在直線的傾斜角為a,直線AC的傾斜角為夕，則tan6=§,

則［ana=ian(fl-45°)=3=—

1+37

3

即/A的角平分線所在直線的斜率為；，

所以NA的角平分線所在直線的方程為＞-1=；(x—4),即/-7y+3=().

故選:A.

【方法技巧】

要重點掌握直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方程的幾種形式,

尤其是點斜式、斜截式和一般式.

【變式4?1】若AABC的頂點A(5,1),AA邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0,AC邊上的高

8”所在直線方程為x—2)，-5=0,則直線BC的方程為一.

【答案】6.r—5_y—9=0

【解析】先計算AC邊所在直線力程為2》十)，-11=0,設(shè)S(刈，并)，A6的中點M為僅乎，萼，，根

2x1—y-1=0

據(jù)\(n解得答案?由AC邊上的高8H所在直線方程為x—2.y—5=0可以知道乂C=-2,

產(chǎn)。-2y0—j—V

又A(5,1),AC邊所在直線方程為2x+)，-11=0,

2A+y-11=0[x=4

聯(lián)立直線AC與直線CM方程得e」vA解得，

2x-y-5=0[y=3

頂點C的坐標(biāo)為C(4,3).設(shè)8(X0,加)，A8的中點時為(怨。，怨叱],

由M在直線2A—)一5=0上，得Ixo—yo-1=0,

8在直線x—2y—5=0上，得xo—2yo—5=0,

聯(lián)立:解得。所以頂點8的坐標(biāo)為(-1,-3)?

于是直線BC的方程為6A-5.V-9=0,

故答案為：6.r-5y-9=0

題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題

【典例5?1】過點尸(-1,-2)的直線/可表示為〃?(x+l)+”G，+2)=0,若直線/與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面

積為6,則這樣的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【解析】，〃(x+l)+〃(y+2)=0可化為〃?x+〃y+〃z+2〃=。I),

要使/與兩坐標(biāo)軸能用成三角形，則工()：1〃?+2〃工0,

,.八/口m+2n.，、加m+2/7

由①令x=0得y=------：令y=0得％=--------,

m+Inm+2nIm+2〃m4-In1in2+4〃〃z+4〃2

依題意，gxx=-x---x----=-x

nin2nm2mn

1in4〃./m4，，m4〃，…

-x—+——+4=6,所以一+—+4=412或一+——+4=-12,

2nmnmnm

▼「4/?c4〃,/

月i■以一+——=8或一+—=-16,

nmnm

/>44

設(shè)r=%?,則，+—=8或1+—=-16,

〃tt

則/-8/+4=0或/+16/+4=0

-16_L，256-16

或「二~T~

即/二4±2百或"-8±2厲,

即色=4±2＞/5或％=-8±2岳，

nn

所以這樣的直線有4條.

故選：D

【方法技巧】

（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因

而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說.

（2）在求直線方程時，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件

恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決.例如：已知一點的坐標(biāo)，求過這點的直線方程，通常選用

點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式.在求直線方

程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏.

【變式5-1】已如直線］:匕yili2k=0.

⑴若直線/交x軸負(fù)半軸于點A,交V軸正半軸于點B.

①VAO8的面積為S,求S的最小值和此時直線/的方程：

②已知點網(wǎng)-2,1）,當(dāng)PA+gn?取最小值時，求直線/的方程.

【解析】（1）①由題意，設(shè)A（-40）,8（0的）,。＞0/＞。，故直線/的方程為二十：=1,

-ab

因為直線/過定點（—2,1）,代入方程可得2十。=1,所以1=2十J.之2、囚I,

abah\ab

21J

所以HR8,當(dāng)且僅當(dāng)士=工時等號成立，則5=:必24,

ab2

2=1

所以VA08的面積的最小值是4,此時，ab,解得a=4,Z?=2：

ab=S

所以此時直線/的方程為x-2y+4=0；

②法1：由題意P(—2,1),設(shè)ZPA0=a(0vav￡］，則以='/8=上

I2/sinacosa

PA+-PB=——+—!—sina+cosa

2sinacosasinacosa

令sina+cosa=f,l/lij/=V2sin(a+：),aw(()弓)故/w(l,伺,

2,1nnsina+cosa2/2

口.r-1PA+-PB=----------------=--=—

且sinacosa=^—，則2sinacosa廣一1,

2f-

=在（L&］上單調(diào)遞增，當(dāng)，=&時/（，）取最大值，此時尸A+；P8取最小值,

當(dāng)i時,有sin嗚=1,解得。二%

所以直線，的傾斜角町,則1嗚=】，故直線方程為i=。.

rtiPH三點共線，設(shè)9的中點為M,所以|PA|+JP8|=|PA|+|PM=|AM|,

且歷(-1,&+1),而|4M『=(―1+1+(%+1)2=("-+正+2(,+工)+2221k2.1+2.21kl+2=8,

當(dāng)且僅當(dāng)公=；,即4=1時取等號，此時直線方程為x-)，+3=0.

k-

題型六：兩直線的夾角問題

【典例6-1］直線X-JJy+2=0與直線Gx+2y=1所成夾角的余弦值等于

【答案】叵

14

【解析】直線X-G），+2=0,即丫=直入一亞，則其斜率為占=立，傾斜角為J；

3330

直線Gx+2y=l,即y=-岑則其斜率的=-等v。,

設(shè)直線＞/3x+2v=1的傾斜角為〃，則tan。=＞-V5=tan—?

23

又0?。＜兀，所以〈兀，

LLII/、八兀兀八兀兀-T-兀八兀5兀

所以0＜兀一。＜一，—＜7i-^+—＜—,而一＜6一—＜—,

3662266

所以兩直線的夾角為n-0+$,

6

又因為也=_也,sin^+cosbT,

cos6?2

hlll々22>/7..75V21

x/77V77

(c兀、(c兀)ZJ花.q.兀(2近)J5V2T1V2T

所以cosTt-0+—=-cos0—=-cos^cos—sin^sin-=---------x---------------x—=------,

IbjL6j66I7I27214

故所求夾角的余弦值為叵.

14

故答案為:察.

【方法技巧】

若直線了二勺+”與直線），=。+2的夾角為。則tana=必|

【變式6?1】在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形A8C的邊A8所在直線斜率為2石，則邊AC所在直線斜率

的一個可能值為.

【答案】一逑或立

57

【解析】設(shè)直線AB的傾斜角為。，由已知得砥8=tana=26,設(shè)直線AC的傾斜角為

則匕=tan。，因為在等邊三角形A8C中，ZR4c=60,所以〃=a±60',

tana+tan60_2G+63G

當(dāng)夕=a+60,tan0=lan(a+60)

1-tanatan601一2\/5x#—

所以^AC=tan。=一女8

.c八/”八tana-tan602△-上￡

當(dāng)J=a—60,tan6=tan(a-60]---------------------=-------尸~尸=—,

1+tanatan60l+2V3x>/37

月亍以kAC=tan0=

綜上>kAC=一或%=與、

故答案為：—述或立

57

題型七：直線過定點問題

【典例7?1】直線4：文+(〃葉1)丁一2〃-2=。與直線/2：(〃，+1)工一'一2/〃-2=0相交于點。，對任意實數(shù)〃?，

直線。4分別恒過定點AB,則|用+儼8|的最大值為.

【答案】4

【解析】直線《：x+(〃?+l))，-2〃?-2=0化為x+)，-2+/〃(y-2)=0,

y_2=0x—0

當(dāng)~o八，得，，即直線4恒過點@2),即點4(0,2),

A+y-2=01)=2

直線4：(，〃+1)4一)'-2，〃-2=0化為工-)」2+/〃(彳_2)=0,

當(dāng)“-：7=°，得即直線：恒過點(2,0),即點8(2.0),

x-2=0[y=0

且兩條直線滿足lx(m+l)+(小+l)x(-l)=0,

.,lH即/:4>LP3，

弘『+|依「_|A同2_M+22_g,

/.|PA|+|PB|<^2(|P>4|2+|PB|2)=4,當(dāng)且僅當(dāng)|EA|二|PB|時，等號成立，

.?.|則+|尸目的最大值為4.

故答案為：4.

【方法技巧】

合并參數(shù)

題型八：兩直線位置關(guān)系的判定

【典例8-1】若直線4：〃a+丁+2=()與直線小2x+(/〃-l)y+/〃=0平行，則機的值為(：

A.2或一IB.-IC.-2或1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線平行時斜率相等，列出方程求解，再排除兩直線重合的情況即可得到答案.

【詳解】因為直線4：〃次+y+2=o與直線&2x+(〃-1))，+/”。平行

2

貝!|一"1=------,解得：〃?=2或小=-1,

tn-\

當(dāng)膽=2時，兩直線重合，舍去；當(dāng)/〃=7時，驗證滿足.

故選:B.

【方法技巧】

【解題方法總結(jié)】

判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)

4：AX+4y+G=o(4，4不全為。)，z2：Ax+B2y+c2=0(4.&不全為0),貝U：

當(dāng)入與-A24Ho時，直線/"2相交：

當(dāng)人員=4用時，44直線平行或重合，代回檢驗；

當(dāng)入4-4冬=0時，44直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶.

【變式8-1】已知。撾R,bR,則“直線or+2y-l=0與直線(a+l)x-%y+l=O垂直”是“〃二0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件，

【答案】B

【分析】根據(jù)兩宜線的位置關(guān)系、充分、必要條件的知識確定正確答案.

【詳解】直線以+2)，-1=0與直線(a+l)x-如+1=0垂直，

即a(〃+l)+2x(-2a)=c『-3a=0,解得〃=0或a=3.

所以“直線依+2丁-1=0與直線("l)x-%y+l=O垂直”是“〃=0”的必要不充分條件.

故選：B

題型九：兩直線的交點與距離問題

【典例94】已知直線/：(根+1?-)，-3〃-2=0,則點到直線/的距離的最大值為_____.

【答案】2石

【解析】直線/:(〃7+1)］一)，一3〃一2=0,即工一)，-2+加(工-3)=(),

IX—v-2=0

山;八，解得x=3,y=l,所以直線/恒過定點A(3,l),

|x-3=0

當(dāng)直線/與直線A尸垂直時，點P(-LT)到直線/的距離的最大,

最大值為IAP|=7(3+l)2+(l+l)2=2x/5，

所以點到直線/的距離的最大值為，

故答案為：2將

【典例9-2】/(%)=&—2X+10+6—10X+29取得最小值時,實數(shù)4的值為()

1317

A.—B.3C.—D.4

55

【答案】C

【解析】/5)=&-2X+10+&-10.+29=J(X-5)2+4+J(X-1)，+9,

表示平面上點M(x,O)與點A(5,2),8(1,-3)的距離和，

連接48,與x軸交于M(x,O),比時直線A8方程為>=等(]-1)-3,

令y=。，則工=弓

???/(x)的最小值為J(5-1)2+(2+3)2=后.此時x=5

故選：C.

【方法技巧】

兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結(jié)構(gòu).

【變式9?1]若恰有兩組的實數(shù)對(AB)滿足關(guān)系式?￡：：；丁」,則符合題意的，的值

為.

【答案】氈4a

22

【解析】?葭：；「可以看成點M(21)到直線，：Ar+8y+3=0的距離4,

|5X-2B+3|

可以看成點N(5,-2)到直線/：Ar+8y+3=0的距離出,

4解十加

由己知可得，，:>0,I：At+3y+3=0不過原點,

又由恰有兩組的實數(shù)對（AB）滿足關(guān)系式=

所以可以看成有且僅有兩條直線滿足4=4,直線MN方程：x+）」3=0,

所以滿足題意的直線/：

第一條是線段MN的垂直平分線，當(dāng)/：AK+8），+3=（）是必V的垂直平分線時，

因為|MN|=3五,所以4=4=；|MN|=孚，符合題意；

第二條只能取自與直線MN平行的兩條直線中的一條，且此時另一條直線過原點,

此時第二條直線的方程為工+5-6=0,

所以此時4=d,=逑，即/=逑，符合題意；

22

所以，=逑.

2

故答案為：逑.

2

題型十：點與直線對稱

【典例10?1】一條光線從點尸（-L5）射出，經(jīng)直線x-3y+1=0反射后經(jīng)過點（2,3）,則反射光線所在直線的

方程為（）

A.2x-y-\=0B.x-2=0

C.3x-y-3=OD.4x-y-5=0

【答案】B

【解析】設(shè)點尸（-1,5）關(guān)于直線x-3y+l=0的對稱點為出4力），

則"：h5，化簡得C'解得I：）

a-\.b+5八。一3〃-14=（）b=-4

3x+1t=0

2---------2

故反射光線過點（2,T）,（2,3）,

則反射光線所在直線的方程為x-2=0.

故選：B.

【典例10?12］已知直線/與直線4：2.?），+2=。和/2"+匕4=0的交點分別為48,若點P（2,0）是線

段A8的中點，則直線A8的方程為—.

【答案】x+4y-2=0

【解析】因為直線/與直線4：2x-y+2=。和/”x+y-4=0的交點分別為AB,

設(shè)A（xp2x,+2）,B（X2,4-X2）,

xx=4

因為點P（2,0）是線段A8的中點，由中點公式可得2~,

解得N=-4，8=￡，所以直線48的斜率為k==_1

339一x\4

所以直線/W的方程為），-0=-：（x-2）,即x+4），-2=0.

故答案為：x+4y-2=0.

【變式10-1］直線/：2x-3y+\=0關(guān)于點A（—l,—2）對稱的直線「的方程為—.

【答案】2A-3.V-9=0

【解析】設(shè)P（x,y）為/'上任意一點，則P（"）關(guān)于點A（T,—2）的對稱點為P（—2r,Y—），）,

因為〃在直線/上，所以2（-2-刈-3（T-y）+l=0,即直線/'的方程為2x-3y-9=0.

故答案為：2x-3y-9=0

題型十一：直線系方程

【典例H?l】已知兩直線，小+幻-1=。和％x+幻T=。的交點為「（L2）,則過2（卬偽）,Qz（電也）兩點的

直線方程為.

【答案】x+2y-l=0

【解析】依題意兩直線，"+且"1=0和呼+8）」1=0的交點為尸（1,2）,

所以4+24-1=0,%+24-1=0,。廠。2在直線1+2）」1=0上，

所以過。（44），。式見也）兩點所在直線方程為x+2），-1=0.

故答案為：x+2y-i=0

【典例H?2】過兩直線2023”-2022），-1=（）和2022工+2023），+1=0的交點且過原點的直線方程為.

【答案】4045x+y=0

［解析】令所求直線為2023A-2022y-1+2（20221+2023y+1）=0,

又直線過原點，則-1+2=0->2=1,

所以所求直線為4045x+），=0.

故答案為：4045x+y=0

【方法技巧】

利用直線系方程求解.

題型十二：求圓多種方程的形式

【典例n?l】過點P(4,2)作圓Y+)，2=4的兩條切線，切點分別為A,B,則△Q43的外接圓方程是

()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20

C.(x+2)2+(y+l)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20

【答案】A

【解析】由圓f+y2=4,得到圓心。(0,0),由題意知0、A、B、P四點共圓，△的外接圓即四邊形

松的外接圓，又P(4,2),從而。夕的中點坐標(biāo)(2,1)為所求圓的圓心，；|”|=逐為所求圓的半徑，所

以所求圓的方程為(尤-2)2+()，-1)2=5.

故選：A

【方法技巧】

(1)求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)(a,b)

和半徑「；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點.因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.

(2)用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，

半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.

【變式12-1】已知直線4：2x+y—6=O與/2：2x+y+4=0均與OM相切，點(2,2)在OM上，則0M

的方程為.

【答案】.v2?(y02-5

【解析】由于直線4：2x+y-6=0與/2：2x+y+4=0平行，且均與0M相切，

1()/T

兩直線之間的距離為圓的直徑，即2r=,nr=j5,

Vl'+2-

又(2,2)在4：2x+y-6=O匕所以(2,2)為切點,

故過(2,2)且與4：2/)，-6=。垂直的直線方程為)，=3"-2)+2,

旺一產(chǎn)不仁-2)+2X=-2

2x+y+4=0I”。

所以《：2x+y+4=0與。例相切于點(-2,0),

故圓心為(2,2)與(一2,0)的中點，即圓心為(0,1),

故圓的方程為f+(y-l)2=5,

故答案為：/+()，-=5

題型十三：直線系方程和圓系方程

【典例13?。過圓C-丁+),2+6‘_4=0和圓Q：/+)尸+6)，-28=0的交點，且圓心在直線

2x+)，+4=0上的圓的方程為()

A.(x+i『+(y+2)2=25B.(x+l)2+(y+2)2=20

C.(X-I)2+(>*+6)2=25D.(x-ly+(y+6)2=20

【答案】A

【解析】經(jīng)過圓G：Y+y2+6x—4=o和圓G：d+),2+6、,—28=0交點的圓可設(shè)為

x2+y2+6x-4+2(x2+y2+6y-28)=0,即Y+)岸+(+含把―4；2；1=。,

圓心(一±，-二］在直線2x+y+4=0匕故一二一番+4=0,解得4=2,

所以圓的方程為(x+l)2+G，+2『=25.

故選:A.

【方法技巧】

求過兩宜線交點(兩圓交點或直線與圓交點)的直線方程(圓系方程)一般不需求其交點，而是利用

它們的直線系方程(圓系方程).

(1)直線系方程：若直線4：/v+4.y+G=o與直線/2：&、+與>>，+。2=0相交于點P，則過點夕的直

線系方程為：4(人工+用、+￡)+4(41+芻、+。2)=。(A2+石工0)

簡記為：曲+=o(#+/U*o)

當(dāng)4Ho時，簡記為：a(不含4)

(2)圓系方程：若圓G：x2+y2+￡>j+4y+G=o與圓。ziV+v+Ax+dy+EnO相交于4,B

22

兩點，則過A,8兩點的圓系方程為：x+/+D.x+^y+F.+^x+/+D2x+E2y+F2)=O(A^-\)

簡記為：C,+2C,=O(A*-1),不含g

當(dāng)2=-1時，該圓系退化為公共弦所在直線(根軸)/:(D,-D2)x+(E,-f2)y+f；-/^=0

注意：與圓C共根軸/的圓系g:C+/l/=0

【變式13?1】經(jīng)過直線x-2y=0與圓丁+)尸一4x+2y-4=0的交點，且過點(1,0)的圓的方程為

【答案】x2+/+3x-12y-4=0

【解析】設(shè)過已知直線和圓的交點的圓系方程為：

r+/-4x+2y-4+/l(x-2y)=0

???所求圓過點(1,0)

-7+Z=0

解得2=7

所以圓的方程為/+)，2-44+2》一4+7(工—2)，)=0,化簡得V+)/+3x-i2y-4=O.

故答案為：x2+y2+3x-\2y-4=O.

題型十四：軌跡問題

【典例14?1】若過點尸(1,1)且互相垂直的兩條直線44分別與X軸、y軸交于A、B兩點,則AB中點M的

軌跡方程為

【答案】x+y-l=O

【解析】設(shè)MS>)，則A(2x,。),仇0,2)，)，連接尸M，OM

2,\PM\-\OM\,即Jj—爐+(),_1)2=正77,化簡即得x+y-『0.

故答案為：x+y-l=。

【典例14-2］如圖，已知點A(?l,0)與點B(l,0),C是圓/+)1=］上異于A,8兩點的動點，連接8c并

延長至。，使得|CO|二|BC|,求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【解析】設(shè)動點P(x,y),由題意可知P是△A3。的重心，由4-1,0),3(1,0),

令動點C(.M,和)，則O(2xhl,2M,

x-1+1+2--1

由重心坐標(biāo)公式得.3,

3x+1

則代入/+）3=1

*0）

（

整理得x+-IY+），2=4上（尸0）

<3）9

故所求軌跡方程為卜+gj+/=a"0）.

【方法技巧】

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到

兩個點，或者一點一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再

利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）

【變式14-1】己知定點B（3,。），點A在圓/+）2=1上運動，NAO8的平分線交線段48于點M,

則點M的軌跡方程是.

/Q>2O

【答案】X--+/=-.

-16

【解析】設(shè)4犯力,則病+1=1,

設(shè)W（x,y）,

由AM為一人03的角平分線，

"\MB\-||-3*

.___1___

即有

可得（X—"?，y-〃）=g（3-x.O-y）,

即上一，〃=l-gx,y-//=-iy,

44

可得切=QX-I,n=-y?

?53

44

則（尸一尸+（支）2=1,

即為（..務(wù)+力白

416

故答案為：（“-》2+），=白.

416

題型十五：點與圓的位置關(guān)系判斷

【典例15?1】若點（1,1）在圓/+/7_〃=0的外部，則4的取值范圍為（）

A.（［JB?1'）C.（R）D.（1,問

【答案】A

（1\2111

【解析】因為一十/—”—4=0可4匕為,r--+y2=a+-,則4+；>0,所以

{2）444

又點（1,1）在圓/十/一%-〃=0的外部，所以一1一4>0，故avl,

綜上，一■-V4<1.

4

故選：A.

【方法技巧】

在處理點與圓的位置關(guān)系問題時，應(yīng)注意圓的不同方程形式對應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他

約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約.

【變式15?1】點尸在單位圓。。上（O為坐標(biāo)原點），點A（TT）,5（OI）,AP=pAO+AAB,則

〃十4的最大值為（）

3

A.yB.GC.2D.3

【答案】C

設(shè)P（兒y）,因為荏=〃可+義存,

所以"+1,），+1）=川，1）+41，0），

x+l=z/+2fx=zz+2-l

則,，即〈"?，

>'+1=//[y=//-1

因為點尸在圓產(chǎn)+y=i卜，

所以+一+(〃―1)一=1,

令1=〃+4,得〃2-24+/—2/+1=0,

△=(-2)2-4(?-2f+l)>0,即尸一2Y0,

解得0KY2,

所以〃+/1的最大值為2,

故選:C

題型十六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

【典例16?1】己知曲線），=Jr2+4x-3與直線--），+，-1=0有兩個不同的交點,則實數(shù)k的取值范

圍是（）

12123、「13]F12、

[23jI4；[24；[43j

【答案】C

【解析】曲線），=Jr-整理得（x-2產(chǎn)+V=]（）,之0）,

則該曲線表示圓心為（2,0）,半徑為1的圓的上半部分，直線"-y+k-1=0,即k（x+l）-y-l=0,

x+1=0（x=-\

?八，解得|，則其過定點（TT）,

{-y-1=0[y=_]

如圖，當(dāng)〃w[K，&）時，曲線與直線有兩個不同的交點，

由舟=1'得女=5或2=0,所以&2=（，

（）

k,.=--1--=-1,

1-1-12

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