【江蘇篇】2026年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期專題突破練：空間向量與立體幾何

一.選擇題（共8小題）

I.（2025春?南京期中）已知司=（2,1,-3）,而二（-1,2,3）,而二（九6,-9）,若P,A,

B,C四點共面，則入=（）

A.3B.-3C.7D.-7

2.（2024秋?宿遷校級月考）在正三棱臺AAC-481C1中，八8=4,4Bi=2,AiA與平面A8C所成

角為J則該三棱臺的體積為（）

4

5228147

A.——B.——C.——D.-

3333

3.（2025春?江蘇校級月考）如圖，在三棱錐O-ABC中，點D是棱AC的中點，若&=Z0B=b,

OC=c,則與向量而相等的向量是（）

—?~*—?—?~?]-?—[-?1—*~*1->

A.—a+b—cB.a—b+cC.--^a+b-^cD.~a—b+-c

2222

4.（2025春?江蘇校級月考）在四棱錐尸-ABC。中，幾=（1,1,-1）,AD=（1,0,2）,AP=

（一5,1,1）,則此四棱錐的高為（）

A.V3B.V5C.3V3D.V14

5.（2025春?常州校級月考）在正四棱臺ABCQ-AIBICIQI中，48=24*1=48，棱88與平面

ABCO所成角的正弦值為厚，則該棱臺的體積為（）

A.40B.28V2C.56D.112

6.（2025春?常州期中）在棱長為I的正方體4BCD-4陰。Di中，則點G到平面ABC的距凄為（）

2\/31

A.V3B.c.在D.-

333

7.（2025春?江蘇校級月考）已知長方體ABCD-MB\C\D\中，AA\=AD=2AB,則異面直線AC與

8。所成角的余弦值為（）

V6V5VIoVIo

A.一B.C.—D.——

4545

8.（2024春?沛縣期中）如圖，四邊形AI3=HD=DA=4tBC=CD=2\[2,現(xiàn)將△4?。沿。。

7T7T

折起，當(dāng)二面角A-B。-。的大小在[:，時，直線AB和C。所成角為a,則cosa的最大值為

63

（）

C

2企一遍2魚+通

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2024秋?常州期末）在四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，底面ABCD為平行四邊形，AB=

AD=AA]=\,ZBAD=ZBAA\=ZDAAi=60°,O為底面AIBICIOI的中心，則（）

A.ACr=AB+AD+44B.DO=^(AB-AD+AA1)

C.\BDA\=2D.Di。，C”=120°

（多選）10.（2024春?廣陵區(qū)校級期中）下列給出的命題正確的是（）

A.若直線/的方向向量為Z=（1,0,3）,平面a的法向量為%=（-2,0,|）,則/〃a

B.兩個不重合的平面a,6的法向量分別是工=（2，2,-1）,v=（-3,4,2）,則a_LB

C.若｛Zb,2｝是空間的一組基底，則丘+￡b+c,"+&也是空間的一組基底

D.對空間任意一點。與不共線的三點4、B、C,若b=x&+yn+zR：（其中X、）：、zGR）,

則P、A、B、。四點共面

（多選）11.（2024秋?江蘇月考）已知正四棱錐M-ABC。的棱長均為2,下列說法正確的是（）

A.平面AM"與平面夾角的正弦值為g

TTTTT2^6

B.若點P滿足8P=++則|CP|的最小值為不一

C.在四棱錐M-A8co內(nèi)部有一個可任意轉(zhuǎn)動的正方體，則該正方體表面積的最大值為16-86

TT471

D.點Q在平面A8C。內(nèi)，且|DQ|=2|Q川，則點Q軌跡的長度為不

三.填空題（共3小題）

12.（2024秋?鹽都區(qū)校級月考）已知正方體ABCD-A\B\C\D\的棱長為1,且滿足DE=xDA+yDC+

（l-x-y）DOi，則|DE|的最小值是.

13.（2025春?江蘇校級月考）在四面體中，AD=BC,E,尸分別為AB,C。的中點.，若異面

直線AZ）與8C所成的角為60。，則異面直線EF與BC所成的角為.

14.（2025春?江蘇月考）如圖，在三棱錐尸?ABC中，。為棱PB靠近點8的三等分點，E分別為棱

BC的中點，若點F在線段AC上，若連接CD,交PE于點G,在仆PBC中，設(shè)與=九則入

CD

；若八?！ㄆ矫鍼EF,則一=.

---------------------FC---------------------

四.解答題（共5小題）

15.（2025?南京二模）如圖，在四棱錐P-A8CQ中，附_1平面ABC。，底面A8CQ是菱形，NBA。

=120°,點E在線段P。上，PB〃平面AEC.

（1）證明：E為尸。的中點；

1

（2）若A8=2,二面角C-AE-。的余弦值為一,求南的長.

4

16.（2024?六合區(qū)校級二模）如圖，在三棱錐尸-八8。中，"_1_8。,八8=2,8。=2或,PB=PC=限,

BP,AP,8C的中點分別為。，E,O,4。=石。。，點尸在AC上，BFYAO.

（1）證明：￡尸〃平面AQO；

（2）證明：平面AQO_L平面或正；

（3）求二面角Q-A。-。的正弦值.

(3)當(dāng)〃.(兒"=］時，求點A關(guān)于平面附C的對稱點〃到平面Z/CC的距離.

【江蘇篇】2026年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期專題突破練：空間向量與立體幾何

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案CCCDCCDB

二.多選題（共3小題）

題號91011

答案ADBCBCD

一.選擇題（共8小題）

1.（2025春?南京期中）已知/=（2,1,-3）,而二（-1,2,3）,而二（36,-9）,若P,A,

B,C四點共面，則入=（）

A.3B.-3C.7D.-7

【解答】解：因為P,4,B,C四點共面，所以易，PB,而共面，

不妨設(shè)而=%易+、而=〔2x-y,x+2y,-3x+3y)=(A,6,-9),

2x-y=Ax=4

所以％+2y=6,解得y=l.

-3x+3y=-9\A=7

故選：C.

2.（2024秋?宿遷校級月考）在正三棱臺ABC-4B1C1中，AB=4,4Bi=2,4A與平面ABC所成

,,n

角為T，則該三棱臺的體積為（）

4

5228147

A.—B.——C.——D.-

3333

【解答】解：由題設(shè)，將棱臺補全為正棱錐P-A8C,如下圖，且△AiBiCi,△ABC均為正三角

形,

p

其中O為底面ABC中心，連接PO,則戶。_1面48。,

而AOu面ABC,

即PO1,AO,

所以人14與平面AAC所成角為乙P4。=*,

而A8=4,則力。=^x48xsi九60。=竽,

所以P。=力。=孥,

令尸-481。的高為爪結(jié)合棱臺的結(jié)構(gòu)特征,

,h%/PO2-73

知一=----=九二—=——

POAB23

所以棱臺體積P=Vp-ABC-KP-AI81G二gX乎X(42X-22X43)=竽.

故選：C.

3.（2025春?江蘇校級月考）如圖，在三棱錐O-A3C中，點。是棱AC的中點，若&=￡OB=b,

OC=c,則與向量而相等的向量是（）

TTTTTT]T]T11"?

A.—a+b—cB.a—b+cC.—^a+b—^cD.-Q—b十一。

2222

【解答】解：由已知，DB=OB-OD=OB-在OA+OC)=-.a+b-2

故選：C.

4.(2025春?江蘇校級月考)在四棱錐戶?A8CO中，幾=(1,1,-1),AD=(1,0,2),AP=

(-5,1,1),則此四棱錐的高為()

A.V3B.V5C.3A/3D.V14

【解答】解：設(shè)平面ABC。的法向量為￡=(%,y,z),

則n-AB=0

n-AD=0

所以｛x+y—z=0

r4-2z=09

令x=2,可得y=-3,z=-1,

所以￡=(2,-3,一1)為平面ABC。的一個法向量,

又”=(-5,1,1),

t-?\APn\

所以向量4P在法向量幾=(2,-3,-1)上的投影向量的大小為：

|n|

|(-5)x24-lx(-3)+lx(-l)|_

V22+(-3)2+(-l)2-V

所以四棱錐P-ABCD的高為

故選：D.

5.(2025春?常州校級月考)在正四棱臺ABC。-AIAICIQI中，48=244=4百，棱3山與平面

ABCO所成角的正弦值為F，則該棱臺的體積為()

A.40B.28V2C.56D.112

【解答】解：設(shè)該正四棱臺的側(cè)棱長為。(?>0),

由題意，正四棱臺的上、下底面邊長分別為28，4百,

所以正四棱臺上、下底面的對角線長分別為2n，4V6,

所以該正四樓臺的高九=Ja2-(V6)2=V^6,

V10

因為棱B\B與平面ABCD所成角的正弦值為《一,

Va2-6V10

所以------==，可得/=](),

a5

所以h=V10—6=2>

所以該棱臺的體積為:X2x[(2、6)2+(中6)2+V(2A/3)2x(473)2]=56.

故選：C.

6.(2025春?常州期中)在楂長為1的正方體ABCQ-AIBICIQI中，則點C\到平面A81C的距京為()

2百1

A.V3B.一c.在D.-

333

【解答】解；在棱長為I的正方體AZ?C￡>AWC15中，設(shè)點。到平面同力。的距離為小

則根據(jù)等體枳法可得憶一人8：C=匕-BgC，

11（―/—V311

加以一x-xV2xV2x—xh=-x-xlxlxl,

32232

解得h=字.

故選：C.

7.（2025春?江蘇校級月考）已知長方體ABC。-中，AA\=AD=2AB,則異面直線AC與

8a所成角的余弦值為（）

VioV10

C.—D.——

45

【解答】解：如圖所示：連接CO,AD},根據(jù)長方體的性質(zhì)易知BCi〃AOi,

所以異面直線4c與所成角，即為直線AC與49所成角，則NQMC或其補角即可所求,

不妨設(shè)AA\=AD=2AB=2a,

在△OiAC中，ADX=2\[2a,DXC=AC=V5a,

所以由余弦定理得cosZD.AC=當(dāng)翦棗=吟弊咚=嚕

zx/iL/|X/iC2x2v2axv5a>

Vio

所以異面直線AC與所成角的余弦值為土.

故選：D.

8.（2024春?沛縣期中）如圖，四邊形48C。，AB=BD=DA=4,BC=CD=2y[2,現(xiàn)將△AB。沿8。

折起，當(dāng)二面角A?8。-C的大小在弓，芻時，直線AB和CQ所成角為a,則cosa的最大值為

2?+①V6

C.

16

【解答】解；取3。中點O,連結(jié)AO,CO,

,：AB=BD=DA=4,BC=CD=272,

ACO±BD,AOA.BD,且C0=2,40=2百,

:.ZAOC是二面角A-BD-C的平面角,

以。為原點，OC,。￡＞所在直線為x軸，），軸，過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系.

B(0,-2,0),C(2,0,0),D(0,2,0),

設(shè)二面角A?8。■。的平面角為6,則8W吟，學(xué)，

.\A(2yj3cosO,0,2yHsin8),

：,BA=(2\[3cos0f2,2WsM8),CD=(-2,2,0),

由AB、CD的夾角為a,

廊后|二|1-依os8|

則cosa=

\AB\\CD\2&

????；＃t

:.COSOE,保]，

即1—yficosOE[―^,1—堂],

：,\l->/3cos0\max=1,

則(COSO)max==監(jiān)'

V2

即cosa的最大值為

故選：B.

二.多選題（共3小題）

（多選）9.（2024秋?常州期末）在四棱柱ABC。-AiBCiOi中，底面ABC。為平行四邊形，AB=

AD=AA\=\,Z13AD=ZBAA\=ZD/AAi=60°,O為底面AW1C1Q1的中心，貝1J()

A.AC^AB+AD-^AA.B.DO=^(AB-AD+AA^

乙

C.\Bbi\=2D.仍)，cbi)=120°

【解答】解：由題意，可得4、=4C+cZi=48+4Z)+/17I，故A正確；

DO=i(DDi+威)=1(DDiDA+DC+血)AD+2AA^,故B錯誤;

乙乙乙

因為8勿=BA+ADr=-AB+AD+AAr,

—>2—?—?T2—?—>—?—>—>T

22

所以8。1=AB+AD+AA1-2AB-AD-2AB-AA1-^2AD-AAi=1+1+1-1-1+1=2,

故=故C錯誤；

A^D=AD-AAlf=1+1-1=1,所以|A；D|=1,

CD^BAr=AAX-AB,BA^=1+1-1=1,所以=1,

TT—T111

則皿〈&,&)=3架轡匚也=士中=J

1X11z

所以〈4；。，CDj)=120°,故乃正確.

故選：AD.

(多選)10.(2024春?廣陵區(qū)校級期中)下列給出的命題正確的是()

A.若直線/的方向向量為2=(1,0,3),平面a的法向量為％二(-2,0,勺，則/〃a

B.兩個不重合的平面a,0的法向量分別是Z=(2,2,-1),v=(-3,4,2),則。_1_0

C.若說b,2｝是空間的一組基底，則而+￡b+c,"+；｝也是空間的一組基底

D.對空間任意一點。與不共線的三點4、B、C,若辰=x&+y^+z^(其中X、)：、zER),

則〃、4、B、C四點共面

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,直線/的方向向量為"=(1,0,3),平面a的法向量為3=(-2,0,J),

由于e?九=—2+3x看=0,則e_L幾，故有/〃a或/ua,A錯誤；

對于平面a,0的法向量分別是工=(2,2,-1),v=(-3,4,2),

由于iz?〃=-6+8-2=0,則“_1_京，必有a_L0,/3正確；

對于c若0,￡2｝是空間的一組基底，則向量2b.1不在同一平面內(nèi)，

由空間向量基本定理，向量a+b,b+c、c+a也不在同一平面內(nèi)，

故G+1,b+c,2+各也是空間的一組基底，C正確；

對于Q,若茄=%&+y而+z左（其中x、y、z￡R）,當(dāng)且僅當(dāng)x+y+z=l時，P、A、8、C四

點共面，。錯誤.

故選：BC.

（多選）11.（2024秋?江蘇月考）已知正四校錐M-A8CO的校長均為2,下列說法正確的是（）

A.平面MA6與平面ABCO夾角的正弦值為,

TTTTT2^6

B.若點尸滿足=++則|CP|的最小值為〒

C.在四棱錐M-A/3CO內(nèi)部有一個可任意轉(zhuǎn)動的正方體，則該正方體表面積的最大值為16-86

TT4TT

D.點Q在平面ABC。內(nèi)，且|DQ|=2|QA|,則點Q軌跡的長度為不

對于A,???正四棱錐M-ABCD的棱長為2,???正四棱錐M-ABCD的高為MO=J22-（V2）2=V2,

設(shè)點P為AB中點，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，得MP_LAB,OPLAB,MP=V22-l2=V3,

則平面M43與平面ABC。的夾角為NMP。，則s出4MPO=/=坐，故A錯誤;

對于B,'：BP=ABA+fiBD+(1-〃)R,入+沖(I-入-Q=1,

根據(jù)空間向量基本定理可得點P在平面AM。上，

???當(dāng)CP_L平面MAD時，|CP|最小，

此時根據(jù)等體積法可得VM-ACD=VC-MADf

11/-1V3

即］X2X2X2X^2=5XTX2?XCP…

所以可求得C/in=孚，印|己|的最小值為平，故8正確;

J3

對于C,設(shè)正方體的棱長為m則正方體的體枳為蘇，

???正方體可以在正四棱錐M-ABCD內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動,

???正方體對角線的長度不超過該正四棱錐內(nèi)切球的直徑,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，正四棱錐M-ABCD的體積為力一而四二:x2x2x&二華,

根據(jù)等體積法可得PM-ZIBCD=(4+4V3)-r=，丁=，氣,

001+Vo

???正方體對角線EQ<2r,三京冬,

3+v3

6乂&二48

二止方體表面枳S=6/w=16-8、"，故C止確;

(3+/3)212+6/3

對于。，以A為原點，AB,人/）所在直線為x,），軸，過點A向上作垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)

系,

則4(0,0,0),D(0,2,0)

設(shè)Q（%,0）,\f\DQ\=2\QA\,

*.yjx24-（y—2）2+0=2y/x2+y2+0,

即』+Cy-2）2=4（，+）2）,

化簡整理可得/+（y+|）2=￥，

24

???點。的軌跡是在平面ABC。內(nèi)以E（0,-芻為圓心，半徑為豪!勺圓在四邊形A8CQ內(nèi)的部分（圓

E

4

九

2一

???*,-T3

4軌

7-TX---

???點。的軌跡長度為，339故。正確.

故選：BCD.

三.填空題（共3小題）

12.（2024秋?鹽都區(qū)校級月考）已知正方體ABCD-AIBCIQI的楂長為1,且滿足法=xDA+yDC+

（1一%-、）0方1，則|而|的最小值是_二_.

［解答］解：已知正方體ABCD-A\B\C\D\的棱長為L且滿足DE=xDA+yDC+（1-x-y）DD1,

所以由空間向量的共面定理可知，點￡A,C,。|四點共面，即點E在平面ACQi上，

所以|而|的最小值轉(zhuǎn)化為求點。到平面AC9的距離d.

由正方體楂長為1,可得△AC。是邊長為企的等邊三角形，

則二：x（V2）2xsin^=亭,S-CD=：xlxl=2，

根據(jù)等體積法得，力re。1二%

,,1V311V3

故一x—xd=-x-xl=>d=—,

32323

-V3

故|DE|的最小值是三.

故答案為：y.

13.（2025春?江蘇校級月考）在四面體ABCO中，AD=BC,E,F分別為AB,CO的中點,，若異面

直線人。與8c所成的角為60。，則異面直線E5與BC所成的角為60。或30。.

【解答】解：如圖，

設(shè)G為4。的中點，連接GF,GE,

因為E,戶分別為/W,CQ的中點，

所以EG〃4。，GF//BC,且EG=/40,GF另BC,

又AD=BC,所以七G=GF,△EFG為以NEG廣為頂角的等腰三角形，

口工石。尸（或其補角）為直線AD與所成的角，即ZEG/一120?；?0、

當(dāng)NEG尸=120。時，ZEFG=30°,

當(dāng)NEG/=60。時，ZEFG=60°.

故答案為：60。或30。.

14.（2025春?江蘇月考）如圖，在三棱錐P-ABC中，。為棱P3靠近點3的三等分點，￡分別為棱

CG

8c的中點，若點尸在線段AC上，若連接CQ,交PE于點、G,在△PBC中，設(shè)加=1,貝lj入=

34F2

-；若AO〃平面PER則一=-.

5—FC-3一

【解答】解：第一空：因為。為棱P8靠近點8的三等分點，所以PTD=：7P■8*,

TTTT2TT1T7T

所以CO=CP+PD=CP+5（C8-CP）=^CP+冢8,

ooo

CGt1—

又—=A,所以CD=yCG,

CD4

又上為棱BC的中點，所以a=2后，

-?1TA1-?

所以CG=亨"+等CE,

乂P,G,E在同一直線上，

所以］+?=1,解得入=I；

335

第二空：連接GF,因為A?！ㄆ矫鍼ER

又AOu平面ADC,平面4Z）Cn平面PEF=GF,

AFGD

所以AO〃GF,所以一=—,

FCCG

,CG3GD2

由而=￡可得而=9

所以費=1?

FC3

四.解答題（共5小題）

15.（2025?南京二模）如圖，在四棱錐P-A8CZ）中，用_1平面A8CO,底面A8C。是菱形，ZBAD

=120。，點石在線段尸。上，P3〃平面A￡C.

（1）證明：E為PO的中點；

（2）若A8=2,二面角C-AE-。的余弦值為士求必的長.

4

【解答】解：（1）證明：連接3D交AC于點O,連接E0,

因為底面ABC。為菱形，所以。為8。的中點，

又因為PB〃平面AEC,P8u平面PBD,平面。瓦加平面ACE=EO,

所以P8〃E0,

所以E為。。的中點.

（2）取4c中點P,連接4F.

在菱形ABC。中，/孫。=120。，所以N48C=60。，則△ABC為正三角形,

所以又AO〃8C,所以

又因為%_L平面ABCD,如圖建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz.

設(shè)AP=1(/>()),則。(b，1,0),D(0,2,0),P(0,0,/),E(0,1,另,

則元二(百，1,0),AP=(0,0,t),AE=(0,L另，

則平面八上。的一個法向量為益=(1,0,0).

設(shè)平面ACE的一個法向量為％=(%,y，z),

n/WIACM,fn-i4C=V3x+y=0

Z

則^，絲，則tt

1AE(ri?力E=y+=0

?n=(-V3,3,-1),

1

因為二面角C-AE-D的余弦值為廣

4

所以|cos<m，n>|=什?=[、=7，

\m\\n\Z2zTz4

2

卜③+3+(-f)

解得，=1(負(fù)值已舍去)，

所以以=1.

16.(2024?六合區(qū)校級二模)如圖，在三棱錐P-48。中，48_1_灰?,43=2,8。=20,PB=PC=瓜,

BP,AP,8c的中點分別為。，E,O,AD=V5D0,點F在AC上，BF±AO.

(1)證明：石尸〃平面4D0；

(2)證明：平面平面8EF；

(3)求二面角。-AO-C的正弦值.

【解答】解：⑴證明：由題可知，|AC|=2V3,設(shè)心14A,

'：AB?AC=\AB\\AC\cosZBAC=4,

-?TT-?1~t1-*

：.BFAO=(AAC-AB)?(-AB+-4C)

22

111T-

=今|砌2—5|倜2+(-1--)AB-AC

=8入-4=0,

解得；I=I，

：.OF//AB,OF=^AB,

WDE//AB,DE=

:‘DE"OF,DE=OF,

???四邊形ODEF為平行四邊形，

：.EF//OD,

???OOu平面ADO,正尸《平面ADO,

工所〃平面4。。.

(2)證明：由(1)可知即〃O。，則4。=限0。=當(dāng)，

得AD='SDO=號，

因此。。2+AO2=AD2=2

L

則OD1.AO,有EFA.AO,

KAOLBF,BFCEF=F,BF,￡FcTUBREF,

則有4。_1_平面BEF,

又AOu平面A。。，

所以平面AOO_L平面BEF.

(3)過點。作交AC于點H,設(shè)AQCWE=G,

由AO_L8RWHOLAO,^.FH=^AH,

又由(2)知，ODA.AO,

則NO?！睘槎娼?。-A。-C的平面角,

因為。，E分別為P8,%的中點，

因此6為4以8的重心，

即有DG=^AD,GE二BE,

1Q

又FH=^AH,即有DH=提G「

J/

3

4+-15

224+6一于序

L

cosZ-ABDV6

2x2x22x2x76

解得P4=V14,

同理得8￡=苧，

于是B產(chǎn)+EF?=B產(chǎn)=3,即有BEA.EF,

45

22

X+-

(f)3

巫

3叵等

GD-X

323

在△OOH中，OH=^BF=曰,。。=竽，0H=等,

6

-145

241y,sin^DOH=Jl-(-^)2=T,

「是cos乙DOH2X蜷

所以二面角。-40-C的正弦值為號.

17.（2024?鼓樓區(qū)校級開學(xué)）如圖，在三棱柱ABC-DE尸中，AD=2AB=4,NB4O=。尸為AD的

?3

JT

中點，△BCP為等邊三角形，直線AC與平面八8石。所成角大小為一.

4

（1）求證：PEJ?平面BCP；

【解答】（1）證明：取BP中點M,連接AM、CM,

因為A7）=2AB,P為4。的中點，所以4E=AP,故4MlBP,

因為△BCP為等邊三角形，所以CM_LBP,

又因為4MnCM=M,AM,CMu面ACM,

因此8尸_L平面ACM,

因為BPu平面A3P,所以平面ACMJ_平面A3P,

因為平面ACMD平面ABP=AM,

所以直線AC在平面A8P的射影在直線八M上，所以直線AC與平面ABE。所成角為NC4M,則

/.CAM=p

因為/W=AP=2,Z,BAD=^,所以△八族是正三角形，則AM=8，BP=2,

因為△BCP為等邊三角形，BP=2,則CM二百，

所以在△人MC中，由4M=CM=?乙&4M=今得41cM=半

則“M4=3所以AMI.CM,

因為CMJ_4P,AMC\BP=M,AM,BPc^\ABED,

所以CM_L平面人BED,因為PEu平面八BK。，所以CM1PE,

因為8P=2,在陀中，PD=ED=2,^.PDE=1n,所以PE=2百，又3E=4,

所以BI。iPE2=13E2,即PEA.BP,

又CMnBP=M,CM,BPu平面8CP,

所以PE_L平面BCP.

(2)解：由(1)可知MP、MC、M4兩兩垂直，以M為原點，M4所在直線為x軸，MP所在直

線為)，軸，MC所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,炳),P(0,1,0),Ag,0,0),B(0,-1,0),

由于尸是AO的中點，易得。(一8，2,0),

又由易=而可得E(-2g,1,0),

所以命=(0,-1,V3),PE=(-2V3,0,0),PD=(-V3,1,0),

設(shè)平面ECP的法向量:二(x,y,z),

則:T=-y+信=°,令z=i,得展(0,V3,1),

n-PE=-243%=0

設(shè)平面PC。的法向量薪=(a,b,c),

則杈.色3+V5c=0,取〃=],得晶=(],俗]),

Im-PD=—>/3a+b=0

設(shè)平面ECP與平面PCD的夾角為6,易知0<0<名

所以cos8=|cosV莉，1->|=蛆嗎=；^=邛^,

即平面ECP與平面PCD夾角的余弦值為|?.

18.(2025?興化市校級開學(xué))在平面四邊形48。。中，48=4。=。。=1,乙4。。=30。，ZDAB=\20°,

將△ACO沿AC翻折至△ACP,其中P為動點.

(1)設(shè)PC_LAB,三楂錐P-/WC的各個頂點都在球。的球面上.

(/)證明：平面小C_L平面A4C；

(ii)求球O的半徑；

(2)求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.

【解答】解；(1)(力證明；VAC=CD=1,ZG4D=Z.WC=3O°,N5AO=120。,

???NBAC=90。，AB1AC,翻折后同樣有4B_LAC,又48J_PC,PCC\AC=C,

，A8_L平面PCA,又ABu平面ABC,

，平面以C_L平面A3C；

(ii)如圖，:△ABC的外接圓圓心。|位于BC中點，作C關(guān)于A尸的對稱點S,

則OiC=OiA=(hP=\fQ為△4CP的外接圓圓心，

作。H_L4C于"，則〃為AC中點，

則O\HI平面ACP,O\HIChH,

又△OMC為等邊三角形，.??S，_LAC,

而外接球球心。，滿足O?！蛊矫鍭BC,O3L平面ACP,

???。。1=。2"=孚B0.?，

???球0的半徑為R=JBOJ+ooj=+1=卓；

(2)以A為原點，AC所在直線為x軸，過A且垂直底面ACP的直線為z