ZHUANTIER

專題二三角函數(shù)與解三角形

第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

［考情分析］1.高考對(duì)此部分的命題主要集中于三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象

的變換、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性，常與三角恒等變換交匯命題.2.主要以選

擇題、填空題的形式考查，難度為中等或偏下.

考點(diǎn)一三角函數(shù)的運(yùn)算

【核心提煉】

1.同角關(guān)系：sin2?+cos2?=l,舞=tana

（a#尿+］,IWZ）.

2.誘導(dǎo)公式：在華+a,右Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”.

例1（1）（2022?荷澤檢測）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（一1,2）,則cos2a等于（）

A.B.

C--5D.|

答案B

解析因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)（一1,2）,

22

所以sin，=、（f）2+22=有，

一11

143

--=-

5-5-

5-

（2）己知sin（一冷一a）cos（-竽+a）=蕓，0<a<^?貝l」sina=

答案t5

解析sin（一a）cos（一與+a）

=-cos??(—sina)

.12

=sinacosa=行.

/.0<sina<cosa.

又Vsin2a+cos2a=I,

..34

..sin?=7,cos

二級(jí)結(jié)論

(2)由(sinct±cos?)2=l±2sinacosa知,

sin6t+cosa,sina—cosa,sinacosa知一可求二.

跟蹤演練1（1）（2022?山西聯(lián)考）若sin10°=?sin100。，則sin20。等于（）

a

A.)?；

〃一十I

D，-24

C.3+]序+]

答案c

解析由題可知a>0,

sinIO°=?sin100°=?sin(90°+10°)=flcos10°,

又因?yàn)閟in210o+cos210°=l,

解得sin10A—j-,

C°S10°=W

所以sin20°=2sin10°cos10°

_2a

-2A

⑵已知2cos=cos(a-n),則sin2a+cos2a=

答案~5

解析2cos(a+孚)

=cos(a—7i),

.*.2sina=—cosa,

/.tana=一今

2sinacosa+cos%—sin%

/.sin2a+cos2?=

cos2ft+sin2a

2tana+1-tan%

1+tair?5'

考點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象與解析式

【核心提煉】

由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到），=Asin（cox+e）（A>0,0>0）圖象的步驟

［函數(shù)y=sinx的圖象

沿工軸向左（夕>0）或向右橫坐標(biāo)伸長（0<3<1）或縮

@<0）平移個(gè)單位長度妞（儂>1）為原來的5倍

［得.y=sin（x+<p）的圖章"［得.v=sincox的圖象］

摘坐標(biāo)伸長（（Yto<l）或縮沿x軸向左3>。）或向右

短（3>1）為原來的、倍（然0）平稱I圖個(gè)單位長度

［得）-=sin（a>K+（p）的圖象得產(chǎn)sins1+習(xí)）的圖象

縱坐標(biāo)伸長（A>1）或縮

攝（0<4<1）為原來4倍

得y=Asin（cox+g）在

一個(gè)周期上的圖象

港x軸擴(kuò)展

［得$=/^訪（（ox+<p）,xER的圖象

例2（1）（2021?全國乙卷）壬函數(shù)y=/（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，縱坐標(biāo)不

變，再把所得曲線向右平移鼻個(gè)單位長度，得到函數(shù)｝，=￡畝［一與的圖象，則危）等于（）

A.sin

C.D.si

答案B

解析依題意，將丁二百葭上一彳）的圖象向左平移方個(gè)單位長度，再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐

標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到的圖象，

所以y=sing_g

旃其圖象向左平移/單位長度.（、吟皿①鬲所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍.（X,吟”㈤

-----------------------*j=sin（x+y^J^圖象-----------------------\y=sin|j+mJ的圖

象.

⑵函數(shù)/U）=Asin（3r+e）（A>0）的部分圖象如圖所示，則/（#=.（填序號(hào)）

(3)特殊點(diǎn)定°:代入特殊點(diǎn)求處一般代最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，代入中心點(diǎn)時(shí)應(yīng)注意是上升趨勢

還是下降趨勢.

跟蹤演練2(1)(2022.全國甲卷)將函數(shù)以尸sinQox+孤>0)的圖象向左平移處單位長度

后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則”的最小值是()

答案C

解析記曲線C的函數(shù)解析式為g(x),則ga)=sin[“G+甘++/5+僅+都.因?yàn)楹?/p>

數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以去y+1=E+akWZ),得①=22+；伏WZ).因?yàn)?>0,所

以COmin=1.

⑵(2022?黃山模擬)函數(shù)yCO=Asin(cox+o)(A>0,co>0,一兀<8<0)的部分圖象如圖所示，為J’

得到y(tǒng)=人工)的圖象，需將函數(shù)g(x)=Acos公丫的圖象至少向右平移()

A1個(gè)單位長度

個(gè)單位長度

個(gè)單位長度

D.專個(gè)單位長度

答案A

解析由圖象可知A=2,人幻的最小正周期

T=2x(nk+.TdC\=界，解得口=2,

.??/(1)=2sing+0)=2,

，警+°=百+2E伏WZ),

解得夕=—/+2E(keZ),

又一兀<0<O,：?（p=一《,

???.")=2sin

=2si

*/^(x)=2cos2x=2sin(2x+?

=2屈2^+1,

???將觀幻的圖象至少向右立移%方蘭個(gè)單位長度可得分）的圖象.

考點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)

【核心提煉】

函數(shù)y=Asin（3x+8）G4>0,Q>0）的性質(zhì)

⑴單調(diào)性：由一畀2E/穴+8q+2?（代Z）可得單調(diào)遞增區(qū)間，由升2EW3+°W專+

2E伏￡Z）可得單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）對(duì)稱性：由=E:伏WZ）可得對(duì)稱中心；由（yx+o=E+界￡Z）可得對(duì)稱軸.

⑶奇偶性：9=E（&WZ）時(shí)，函數(shù)產(chǎn)Asin（cox+9）為奇函數(shù):*=E+4（k￡Z）時(shí)，函數(shù)y=A$in（cox

+0）為偶函敷.

例3（1）（2022?新高考全國I）記函數(shù),"）=疝（3+彳）+仇0>0）的最小正周期為T.若爭"<兀，

且），=/U）的圖象關(guān)于點(diǎn)（苧，2）中心對(duì)稱，則/⑨等于（）

35

A.1B.5C.gD.3

答案A

解析因?yàn)樯住碋r,所以條疊<兀，解得2<①<3.

J5co

因?yàn)?gt;=於）的圖象關(guān)于點(diǎn)（莖2）中心對(duì)稱，所以b=2,且sin軟①+于）+8=2,即sin傅①+今）

=0,所以竽co+S=E（AEZ）,

又2<co<3,所以丁<^G一不<丁，

所以當(dāng)①+卷=4兀，解得①=|,

5

T+2

+■

??立

兀

一

所以/+2-

2

⑵（2022?贛州模擬）已知函數(shù)段）=sin（s+：）（Q?O）相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為2兀，若J（x）

在（一小，⑼上單調(diào)遞增，則〃?的取值范圍是（）

A.（0,今］B.（0,

C.（°，竽D.（0,當(dāng)

答案B

解析因?yàn)?U）=sin（ttZ￥+；）（s＞（））相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離2心

1G］

則￡7=27：,即7=4兀，則0=嬴=￡，

則以）=sin&+￡）,

由2E—

得4E—*WxW4E+*&￡Z）,

所以叔在［一莖,上單調(diào)遞增，

由（一機(jī)，〃?）￡［一蕓、得0＜一畛,

所以小的取值范圍是（0,?.

規(guī)律方法研究三角函數(shù)的性質(zhì)，首先化函數(shù)為/U）=Asin（sx+e）+。的形式，然后結(jié)合正

弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)求貝X）的性質(zhì)，此時(shí)有兩種思路：一種是根據(jù)y=sinx的性質(zhì)求出fix）

的性質(zhì)，然后判斷各選項(xiàng)；另一種是由x的值或范圍求存/=QM+*的范圍，然后由y=sin/

的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

跟蹤演練3（1）（2022桂林模擬）已知函數(shù)?￥）-cosx（sin.v-小co$x）,貝4（）

A.yu）的周期為2冗

B.於）在區(qū)間［一今日上單調(diào)

c.yu）的圖象關(guān)于直線上?=一自對(duì)稱

D.7U）的圖象關(guān)于點(diǎn)6，0）對(duì)稱

答案c

解析由題意，得/U）=cosx（sinx—小cosx）

對(duì)于選項(xiàng)A,7U）的周期為T=f=71,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,由一長2%—卜百，解得一擊&W得B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

4J414?JL4

對(duì)于選項(xiàng)C,由2A,一生一&兀+/6Z）,解得.L竽+含AGZ）,當(dāng)L—1時(shí)，X——各所以

/U）的圖象關(guān)于直線工=一自對(duì)稱，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,由2L1=阮也"），解得尸自+加匕），當(dāng)仁。時(shí)，.耳，所以於）的圖象

關(guān)于點(diǎn)（方，一坐）對(duì)稱，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

⑵（2022.廣州聯(lián)考）若函數(shù)y=tan（3+§在［一?外上單調(diào)遞減，且在［-去0上的最大值為

小，則co=.

答案―；

解析因?yàn)楹瘮?shù)尸tan（s+：）在三上單調(diào)遞減，

所以s<0,俞》專,則一注公<0,

又因?yàn)楹瘮?shù)在［一至上的最大值為十，

所以一109+：=1+也，％￡Z,

即切=一：一3女，Z￡Z,

所以①=一；.

專題強(qiáng)化練

一、選擇題

1.（2022?日照模擬）已知角夕的終邊經(jīng)過點(diǎn)砥一鳴，則角》可以為（）

A2R區(qū)C112ED2

入603653

答案D

解析???角〃的終邊經(jīng)過點(diǎn)他一里

???夕是第四象限角，

]A/3

且cos9=3,sin0=—*

貝|」。=爺+2bc,kj

結(jié)合選項(xiàng)知角?？梢詾楣P

2.（2022?惠州模擬）已知tana=2,兀＜a＜竽，則cosa—sina等于（）

A坐B.邛C.羋D.—手

答案A

解析由tana=^=2,

vOoCX

且sin2a+cos2?=1,

ZB.2^5也

得sina=-,cosa=—

所以cosa—sinQ=一坐一（一^^=坐

3.（2022?濟(jì)寧模擬）如圖,某時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為9：45,此時(shí)時(shí)針與分針的夾角為仇則⑻n0

+cos0）（sinZ?—cos0）等于（）

答案B

解析時(shí)針指向9時(shí)，分針指向12,當(dāng)分針轉(zhuǎn)到指向9時(shí)，旋轉(zhuǎn)了圓周的點(diǎn)因此時(shí)針旋轉(zhuǎn)

323

兀n

的

了

個(gè)小時(shí)X-

不--

所以-1248

所以(sin夕+cos9)(sin9一cos8)=siir。一cos-。

7iyj2

=-cos20=—cos4=2-

4.（2022?開封模擬）已知點(diǎn)像0）是函數(shù)/（x）=2sin（w:+g圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，其中

/￡（0,6）,將函數(shù)於）的圖象向右平移招個(gè)單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）等于（）

A.2sin（2x+f）B.—2sin4x

C.—2cos2xD.—2cos4.r

答案D

解析由題意知sin（，+W）=0，所以（正Z）,所以①=6左一2（右Z）,又①￡（0,6）,

=-2cos4x的圖象，即g(x)=-2cos4x.

5.（2022?邯鄲模擬）已知tan。=一3,則竺尸注等于（）

sin（aH-2I

3c3一3、3

A.-4B[C.而D.一正

答案C

解析因?yàn)閠ana=—3,

sin%-sina_sin%—sina_(siifa-l)sina_—sinacosa_—tana__3_

人.(,~COSa-cosa-cos2a+sin2a_1+tan2a-10-

sina十71

6.（2022.福州質(zhì)檢）已知函數(shù)"r）=sin（s—0）（—的部分圖象如圖所示，則人丫）的單調(diào)遞

增區(qū)間為（）

A.[E—看，E+亮，&￡Z

B12E—9，2E+',kGZ

心一點(diǎn)，我+看，kGZ

陋&一看,2A+1,kSZ

答案D

解析由圖象可知，函數(shù)產(chǎn)危）的最小正周期了滿足號(hào)=；；=1,.?"=2,。=苧=冗,

=sin(7tx—,

i/(1j=sing-^)=O

得：一夕=左兀，得e=力一hr,kGZ,

???-切若，J。笑

由2E一與W2E+,,kGZ,

NDj

得2?[&W2iH■亮,kGZ,

5-

因此，函數(shù)產(chǎn)/（幻的單調(diào)遞增區(qū)間為口一看,--

6,代Z.

-

7.（2022?全國甲卷）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長

度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖，A3是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是A8的中點(diǎn)，。在A6

rn2

上，CDJ_AB.“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+*.當(dāng)0A=2,

（7/1

NAO8=60。時(shí)，s等于（）

A"

9一3小9-4也

C.2D.2

答案B

解析由題意知，△0A8是等邊三角形，

所以AB=OA=2.

連接OC（圖略），因?yàn)镃是A8的中點(diǎn)，

所以O(shè)C_L4B,OC=yjOA1-AC2=yj3.

又SLAB,所以O(shè),C,。三點(diǎn)共線，

所以CD=0D—0C=2一小,

流總45（2—佝211—4小

所以s—八B+0A—2+2—7

8.（2022?云南師大附中模擬）已知函數(shù),/（x）=sinx+acosx（a>0）的最大值為2,若方程.危）=。

在區(qū)間（0,巖）內(nèi)有三個(gè)實(shí)數(shù)根即，X2,且為42413,則即+2X2+X3等于（）

8兀八10冗八，、257r

A."B.一一C.4兀D.-^-

答案A

解析/x）=sinA-F?COSx=ylI+^2sin（A-l-^）,由題意知+、=2,且”>0,

解得a=小,所以/U）=2sin（x+g）

方程凡在區(qū)間（0,皆）內(nèi)的實(shí)數(shù)根，即為），=7U）在區(qū)間（0,巖）內(nèi)的圖象與直線y="

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示,

由於）圖象的對(duì)稱性可知，嗎里=%-"*=?，即X：+X2=lm+"3=圣所以足+2c

JU4UJJ

+X3=（X14-X2）+（X2+X3）=—.

9.將函數(shù)危）=2sin（s一縱》0）的圖象向左平移W;個(gè)單位長度，得到函數(shù)產(chǎn)孤）的圖象,

若尸娘）在［。，T上單調(diào)遞增，則co的最大值為（）

A.2B.3C.4D5

答案A

解析依題意，得ga）=2sin［4+給一可

=2sincox,由一舞3°得一令，于是得尸g（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是

414MVXZ

［一擊,因?yàn)閥=g3在0,上單調(diào)遞增，因此0,c一擊，明，即有侖巖，解

得0<co/2,即①的最大值為2.

10.（2022?山東聯(lián)考）已知曲線G：y=cos2x,C2：y=-sin（x+y）,則下面結(jié)論不正確的是

（）

A.把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移著

個(gè)單位長度，得到曲線C2

B.把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移看個(gè)

單位長度，得到曲線C2

C.把曲線G向左平移居個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，

縱坐標(biāo)不變，得到曲線C2

D.把曲線G向左平移自個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，

縱坐標(biāo)不變，最后把得到的曲線向右平移兀個(gè)單位長度，得到曲線C2

答案B

解析對(duì)于選項(xiàng)A,把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的

曲線向右平移著個(gè)單位長度，所得曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為

(5兀、(.2兀3兀、

y=costx—1=coslx+——2-J

=-sin(x+芝)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向

右平移2個(gè)單位長度，所得曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為

故B錯(cuò)誤；

對(duì)F選項(xiàng)C,把曲線G向左平移居個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)仲長到原來

的2倍，縱坐標(biāo)不變，所得?曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為

y=cosg+普)=cos(x+竽+號(hào)

=—sin(x+■)，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,把曲線G向左平移居個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來

的2倍，縱坐標(biāo)不變，最后把得到的曲線向右平移幾個(gè)直位長度，所得曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析

式為

=-sinQ+多，故D正確.

11.已知函數(shù)_/U)=|sinx|—cosx,下列結(jié)論正確的是()

A.人幻為偶函數(shù)

B._/（x）為非奇非偶函數(shù)

C.人幻在［0,兀］上單調(diào)遞減

D.直幻的圖象關(guān)于直線犬=￡對(duì)稱

答案A

解析由題意得函數(shù)的定義域?yàn)镽,

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

/（—A）=|sin（—x）|+cos（—x?=|sinx|+cosx=J（x）,所以/（x）為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)

B錯(cuò)誤；

當(dāng)OWxW兀時(shí)，yU）=sinx+cosx=*7^sin（x+：）,令2E+，Wx+去?2依+竽，A￡Z,所以2E

+：WxW2E+竽，火￡Z,

令2=0若WxW苧,

令上=一1得一竽WxW-苧，

所以此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為［小兀］所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

sin（-：）+cos［-§=W，/傳）=,用+cos苧=0壬fV）,即段）的圖象

不關(guān)于直線％=々對(duì)稱，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

12.（2022?濰坊模擬）設(shè)函數(shù)y=sin（2x十§在區(qū)間上，，十月上的最大值為即⑺，最小值為歐⑺，

則gl（，）一g2?）的最小值為（）

A.IBg

嚀D寸

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)'=如］（標(biāo)+9的最小正周期為T=y=7t,

所以區(qū)間［/,/+：］的區(qū)間長度是該函數(shù)的最小正周期的京

因?yàn)楹瘮?shù)y=$訪（2_￥+?在X間），z+引上的最大值為⑺，最小值為成⑺，

-q/+/+?

所以當(dāng)區(qū)間［f,f+R關(guān)于它的圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，即對(duì)稱軸為一丁=，+1時(shí)，gl⑺一g2⑺

取得最小值，且此時(shí)函數(shù)y=sinQ+§在］，葉用上有最值±1,

不妨設(shè)y在上，,+月上有最大值即⑺=1,

則有sin^2^+|^+1=1,

所以sin（2f+卷=1,

即2/+五=^+2攵兀，攵￡Z,

得/=&兀-24,女￡Z,

所以g2(f)=sin(2/+§

=sin12(E一給+引

=sin(2履+?=啦

2，

所以gi⑺一g2⑺的最小值為2乎.

二、填空題

13.（2022?黃山模擬）已知lan（￥—x）=co］（，則sinx=.

太會(huì)小T

口案2

解析由tan（竽-x）=+，

sH_?

(3兀A-cosx

costxI

II?DC人1IIc

即--:—=—~,SPcos-A=sinx,

—sinxcosx

整理得sMx+sinx-1=0,

而一IWsinxWl,

解得sinx=，2)

14.(20