第03講直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)

公考綱考情

本講為高考命題熱點(diǎn)，常出現(xiàn)在大題的第一問，分值約為6分，文科?？疾炱叫?，理科?？?/p>

察垂直，相對(duì)來說較為固定，考察邏輯推理能力，空間想象能力。

⑥考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)一直線與平面平行

(I)直線與平面平行的定義

直線/與平面Q沒有公共點(diǎn)，則稱直線/與平面。平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

平面外一條直線與此平面a___

aUa,bua,a//b^>a

判定定理內(nèi)的一條宜線平行,則該直

//a

線平行于此平面

一條直線和一個(gè)平面平行，

則過這條直線的任一平面a//,aC\0

性質(zhì)定理

與此平面的交線與該直線=b=>a//b

平行

考點(diǎn)二平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線au”，bua,aC\b=

判定定

與另一個(gè)平面平行，則這兩/*/P,a//p,

理

個(gè)平面平行A/

性質(zhì)定兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)

a//p-,〃p

理平面內(nèi)的直線短于另一個(gè)/__/

半間

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第

三個(gè)平面相交，那么它們的

=b=a//b

交線平行尊

考點(diǎn)三直線與平面垂直

⑴直線和平面垂直的定義

如果一條直線/與平面。內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線/與平面”互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

11a、

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)lA-b

aC\b=O>=i

判定定理的兩條才口交直線都垂直,

aua

則該直線與此平面垂直bua/

_La

ab

兩直線垂直于同一個(gè)平

性質(zhì)定理a/b

面，那么這兩條直線壬紅27b_La

考點(diǎn)四直線與平面所成的角

⑴定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的銃魚叫做這條直線和這個(gè)平面所

成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直魚；一條直線和平面平行或

在平面內(nèi)，則它們所成的角是0。的角.

(2)范圍：［”司.

考點(diǎn)五二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角;

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面

內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所構(gòu)成的仍叫做二面角的平面角.

⑶二面角的范圍：［0,兀］.

考點(diǎn)六直線與平面垂直

⑴平面與平面垂直的定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號(hào)表示

一個(gè)半囿經(jīng)過另一個(gè)平曲的

判定定l±a\

一條垂線，則這兩個(gè)平面互相

理4

垂直

如果兩個(gè)平面互相垂直，則在皿［

性質(zhì)定an8=a

一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線,J>=/_La

理￡l±a

的直線垂直于另一個(gè)平面luBJ

考點(diǎn)七常用結(jié)論

1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若。_La,。_1_夕，則a〃夕.

(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若a〃尸，夕〃》,則?！?

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若。_La,/?la,則

2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

I判定定理判定定理

線線平行T一：E、線面平行L、面面平行

性質(zhì)定理性質(zhì)

3.三個(gè)重要結(jié)論

(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線

線垂直的一個(gè)重要方法).

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

4.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定埋，不要誤解為“如果一條直線垂直

于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面

5.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

判定定理判定定理

線線垂直線面垂直二面面垂直

性質(zhì)性質(zhì)定理

故QE_LC”.所以。/7_1_平面CiDE,

故CH的長即為點(diǎn)C到平面GDE的距離.

由已知可得CE=1,CiC=4,

所以GE=d行,故€7/=生存.

從而點(diǎn)C到平面COE的距離為生伊.

【方法技巧】

1.利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與

已知直線平行的直線.

2.利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的

平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形.

【跟蹤訓(xùn)練】

如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，點(diǎn)尸是平面ABCQ外一點(diǎn)，歷是PC的中

點(diǎn)，在。M上取一點(diǎn)G,過G和AP作平面交平面BOM于G”.求證：G”〃平面

PAD.

證明如圖，連接AC交5。于點(diǎn)O,連接MO

因?yàn)樗倪呅蜛8c。是平行四邊形,

所以。是AC的中點(diǎn).又M是PC的中點(diǎn),

所以AP〃。區(qū)

根據(jù)直線和平面平行的判定定理,

則有附〃平面BMD.

因?yàn)槠矫婀?GC平面BMD=GH,

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，所以%〃G”.

因?yàn)槠矫嬗辍?，au平面雨。，

所以GH〃平面PAD.

高頻考點(diǎn)二線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

[例2](2021?河南、江西五岳聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，附_L底面

ABCD,AD//BC,ND4B=90。，AB=BC=PA=^AD=2fE為PB的中點(diǎn),尸是

PC上的點(diǎn).

(1)若E產(chǎn)〃平面也。，證明：尸為PC的中點(diǎn)；

(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

(1)證明因?yàn)锽C〃A。，ACC平面%/),AOu平面而Q,

所以BC〃平面PAD.

因?yàn)槠矫媸?C,尸￡平面外。，所以可設(shè)平面尸8CCI平面%Q=PM,

又因?yàn)锽Cu平面尸BC,所以8c〃尸以

因?yàn)楹螽a(chǎn)〃平面BA。，ER=平面0BC,

所以E尸〃PM,從而得EF〃BC.

因?yàn)镋為P8的中點(diǎn)，所以/為PC的中點(diǎn).

(2)解因?yàn)槌鯻L底面A3cDZDAB=9()°fAB=BC=R\=^AD=21

所以PB=q*+AB2=2?PD=yjPA2-]-AD2=2^5,

BD=、BA2+AD2=2小,

所以SADPB=3PB\0「2—（；。3）2=6.

設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為"，

由Vc-PBD=Vp-BCD,J=|SABCDB4=|X|XBCXABXM,

i2

則6c/=]x2x2x2,解得d=y

【方法技巧】

在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)

嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必

須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行.

【跟蹤訓(xùn)練】

如圖所示，已知四邊形ABC。是正方形，四邊形ACE/是矩形，M是線段E/的

中I占/、、、?

(1)求證：AM〃平面4DE；

(2)若平面AOMn平面BOE=/,平面A8MC平面8。E=〃7,試分析/與根的位置

關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

⑴證明如圖，記AC與8。的交點(diǎn)為。，連接?！?/p>

因?yàn)?,M分別為AC,E尸的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形,

所以四邊形A0￡M是平行四邊形，所以AM〃0￡.

又因?yàn)镺Eu平面BDE.AMC平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)解/〃加，證明如下：

由(1)知4M〃平面BDE,

又AMu平面ADM,平面ADMCI平面BDE=l,

所以/〃AM,

同理，AM〃平面BDE,

又AMu平面ABM,平面平面BDE=m,

所以m〃AM,所以/〃"7.

高頻考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)

【例3】(經(jīng)典母題汝1圖所示，在三棱柱ABC—48G中，E,F,G,”分別是

AB,AC,AIBI,4G的中點(diǎn),求證：

(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面；

(2)平面七胡1〃平面BCHG.

證明(1)VG,“分別是4G,4cl的中點(diǎn),

???G〃是由iG的中，立線，則GH〃3G.

又二B\C\"BC、

:.GH〃BC,:?B,C,H,G四點(diǎn)共面.

(2)VE,F分別為A分AC的中點(diǎn),：.EF//BC,

〈EFC平面BCHG,BCu平面BCHG,

；?EF〃平面BCHG.

又G,￡分別為Ai8i,A8的中點(diǎn)，統(tǒng)AB,

：.A\G^EBt

，四邊形AiEBG是平行四邊形，：.A\E//GB.

TAEC平面BCHG,G8u平面BCHG,

???4E〃平面BCHG.

???平面￡7%〃平面BCHG.

【遷移1］在本例中，若將條件“E,F,G,"分別是AB,AC,A1B1,AiG的

中點(diǎn)”變?yōu)椤癉i,。分別為BG,8C的中點(diǎn)”,求證：平面4即1〃平面AGD

證明如圖所示，連接4C交AC于點(diǎn)M,

,?,四邊形AiACCi是平行四邊形，

???〃是AC的中點(diǎn)，連接MO,

?:D為BC的中點(diǎn),

:.A\B〃DM.

OA山u平面AiBDi,

OMU平面A\BD\,

J.QM〃平面AiBDi,

又由三棱柱的性質(zhì)及/),0分別為8C,的中點(diǎn)知，DICT統(tǒng)BD,

???四邊形8DGQi為平行四邊形，：.DC\//BD\,

又。GC平面48",BDC平面AiBDi,

平面4/01,

又。Gn￡>M=O,DCi,OMu平面AGO,

因此平面A山。i〃平面AGD

【遷移2】在本例中，若將條件“E,F,G,〃分別是A8,AC,40,4G的

中點(diǎn)”變?yōu)?點(diǎn)。，G分別是AC,4a上的點(diǎn)，且平面8Go〃平面ABOi"，試

An

求倦的值.

X-X\^-

解連接4B交AS于0,連接ODi.

由平面BCQ〃平面AB\D\,

且平面AIBCICI平面BC\D=BC\,

平面4BGCI平面AB\D\=D\O,

所以3G〃OiO,則鐺？=^=L

"iCdOn

A\D\_DC

又由題設(shè)D\C\~~ADy

.DC即黑=L

99AD~

B

【方法技巧】

1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).

2.面面平行條件的應(yīng)用

(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.

(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.(2022?成都五校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-A8c。中，平面出OJL平面ABCQ,

PA=PD,AB=ADtPALPDfAD1.CD,N8AQ=60。，M,N分別為A。，PA

的中點(diǎn).

(1)證明：平面8MN〃平面尸CO；

⑵若AD=6,求三棱桂P—的體積.

⑴證明連接8。，如圖所示.

p

*：AB=ADiZBAD=60°,I.△480為正三角形.

為AO的中點(diǎn)，：.BMLAD.

9

：AD±CDfCD,BMu平面ABCD,：.BM//CD.

又BMC平面PCD,COu平面PCD,...BM〃平面PCD.

VM,N分別為AO,%的中點(diǎn)，:.MN//PD.

又MMt平面PCD,POu平面PCD,

.'.MN〃平面PCD.

又BM,MNu平面BMN,BMClMN=M,

???平面BMN〃平面PCD.

(2)解在(1)中已證BMLAD.

???平面以O(shè)_L,平面ABCD,3Mu平面ABCD,

，8"_1_平面PAD.

又AD=6,ZBAD=60°,:?BM=34.

VB4=PD,PALPD,AD=6,

：.PA=PD=^AD=3啦，

VM,N分別為AO,公的中點(diǎn)，

SAPMN=；S△由o=[x^x(36)2=*

???三棱錐?一BWN的體積V=VB—PMN=WSNMN,BM

=號(hào)3飆攣

高頻考點(diǎn)四線面垂直的判定與性質(zhì)

【例4】（2019?全國H卷）如圖，長方體ABC。-ABGQi的底面ABCD是正方

形，點(diǎn)石在棱A4上，BElECi.

(1)證明：BE_L平面EBC】；

(2)?AE=A\E,A8=3,求四楂錐七一661。。的體積.

⑴證明由已知得BCi_L平面A&Mi,8Eu平面A331A1,故BiCJBE.又BE

±￡Ci,BICIAECI=CI,BiCi,ECiu平面E81C1,所以BE_L平面EB1C1.

(2)解由(1)知NE%i=90。.

由題設(shè)知RtAAZ?E^RtA/liBi￡,

所以ZAEB=N4EB=45。，

故AE=A5=3,AAi=2AE=6.

如圖，作EF_L58i,垂足為凡則ER_L平面331clC,且EF=45=3.

所以四棱錐E-BBiGC的體積V=|x3x6x3=18.

【方法技巧】

1.證明直線和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性①〃。，〃_La=OJ_a);(3)面面平行的性質(zhì)也

±a,a〃ga【P),,(4)面面垂直的性質(zhì)(a_LQ,o.n尸a,/_!_〃，lu8nL

2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思路.

高頻考點(diǎn)五面面垂直的判定與性質(zhì)

【例5】(2020?全國］卷)如圖，。為圓銖的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，^ABC

是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，ZAPC=90Q,

D

⑴證明：平面%BJ_平面以C；

（2）設(shè)。。=啦，圓錐的側(cè)面積為，5兀，求三棱錐P-ABC的體積.

⑴證明由題設(shè)可知，PA=PB=PC.

由△48C是正三角形，

可得△力1C名△以8,LPAC^/XPBC.

又NAPC=90。，故N4PB=90。，ZBPC=90°.

從而P8J_必，PBLPC,又"，PCu平面以C,PAOPC=P,

故P8_l_平面B4C,又P8u平面以8,

所以平面見8_1_平面PAC.

⑵解設(shè)圓錐的底面半徑為八母線長為/,

由題設(shè)可得〃=小，?一產(chǎn)=2,解得/=1,7=^3.

從而AB=y[5.

由⑴可得出2+P32=A3\故FA=PB=PC=*.

所以三棱錐P-ABC的體積為

聶％/BPC=器x（鄲邛

3乙j）o

【方法技巧】

1.判定面面垂直的方法主要是：

（1）面面垂直的定義