專題10.3兩個計數(shù)原理、排列與組合

三I題型目錄

題型一分類及分步的簡單應用

題型二排列數(shù)及組合數(shù)問題

題型三捆綁法及插空法

題型四縮法

題型五隔板法

題型六特殊兀素法

題型七染色問題

平均分組問題

題型九部分平均分組問題

才典例集練

題型一分類及分步的簡單應用

例i.”二十四節(jié)氣”是中國古代勞動人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示.小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二

十四節(jié)氣有關的古詩.他準備在春季的6個節(jié)氣與夏季的6個節(jié)氣中共選出3個節(jié)氣，若春季的節(jié)氣和夏

季的節(jié)氣各至少選出1個，則小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）

小滿立夏谷雨

芒種清明

夏冬？、春分

小暑/

雨水

二十四節(jié)

氣與四季M作

大寒

霜降立冬小雪

B.180C.270D.360

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知，小明可以選取1春2夏或2春1夏，由組合數(shù)計算即可.

【詳解】根據(jù)題意可知，小明可以選取I春2夏或2春1夏，

其中1春2夏的不同情況有:C：C=90種;

2春1夏的不同情況有：C〉C；=90種，

所以小明選取節(jié)氣的不同情況有：90+90=180種.

故選：B.

例2.有語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物6門課程，從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學不

排在第四節(jié)，共有種不同的安排方法.(用數(shù)字回答)

【答案】300

【分析】解法一，分類考慮，化學是否被排在上午，根據(jù)分類加法原理求得答案；

解法二，先排上午第四節(jié)，再排其余節(jié)次的課，根據(jù)分步乘法原理求得答案；

解法三，利用間接法，即求出從6門課程中任意選4門安排在上午的排法，減去化學排在第四節(jié)課的排法

數(shù)，即得答案.

【詳解】解法一，第一類：化學被選上，有A；A；=180種不同的安排方法；

第二類：化學不被選上，有A；=120種不同的安排方法.

故共有18()+120=300種不同的安排方法，

故答案為：300

解法二，第一步：化學不排在第四節(jié)，故第四節(jié)有A；種排法;

第二步：其余三節(jié)有A；種排法，故共有A；A；=5x60=30()種不同的安排方法，

故答案為:300

解法三(間接法)，從6門課程中任意選4門安排在上午，有A：種排法，

而化學排第四節(jié);有A；種排法，故共有A"A；=360-60=300種不同的安排方法.

故答案為：300

舉一反三

練習1.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果.《周髀算經(jīng)》《九章算術》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》

等10部專著是了解我國占代數(shù)學的重要文獻.這10部專著中據(jù)說有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期.某校擬

從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程的學習內(nèi)容，則所選2部專著中至少有1部是魏晉南北

朝時期的情況共有()

A.42種B.39種C.1()種D.35種

【答案】A

【分析】根據(jù)題意分兩種情況：一是所選的2部專著中有1部是魏晉南北朝時期的，二是所選的2部專著

都是魏晉南北朝時期的，求出各個情況的方法數(shù)，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意分兩種情況：一是所選的2部專著中有I部是魏晉南北朝時期的，有C；C；=21種方法，

二是所選的2部專著都是魏晉南七朝時期的，有仁=21種方法，

所以由分類加法原理可知共有21+21=42種方法，

故選：A

練習2.甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有種

承包方式(用數(shù)字作答).

【答案】60

【分析】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，再讓乙承包2項，剩下的3項丙承包，

根據(jù)分步乘法原理可求得結(jié)果.

【詳解】由題意得，不同的承包方案分步完成，先讓甲承包1項，有C：=6種，再讓乙承包2項，有C；=1(),

剩下的3項丙承包，

所以由分步乘法原理可得共有6x10=60種方案，

故答案為；60

例3.已知A：=3()(〃cN「且/亞2),則C：+2C+C：=()

A.28B.42C.43D.56

【答案】A

【分析】先根據(jù)排列數(shù)得出〃，再計算組合數(shù)即可.

［詳解］A：=〃(〃-1)=30,〃2_〃_3O=("-6)(〃+5)=O,〃￡N，:.n=6,

6x5

C；；+2C：+C：=C+2C：+C：=1+2X6+—=1+12+15=28.

故選:A.

例4.(I)解不等式A；<4A；-2.

(2)若C；+C：+C；++C：=55,求正整數(shù)〃.

【答案】(1){6}：(2)n=7.

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)及排列數(shù)公式，計算即可；

(2)根據(jù)組合數(shù)及組合數(shù)公式，計算即可.

0<x<6

【詳解】⑴由A：<4A產(chǎn),可得-6,可得24x464N.

xeN

61,6!

可得行

4.

所以(8r)(7r)>，即-15x+52<()‘

因為22-15X2+52>0,32-15X3+52>0，42-15x4+52>0，

52-15X5+52>0>62-15X6+52<0.

所以x=6；

(2)c；W+..y

=c；+c；+c：+c；+.?.+c：-i

=c：+c：+c；++c-1

=C+c；+??+*1

故C3=56=C，解得〃=7.

舉一反三

A7

練習6.(多選)滿足不等式消>12(〃tN+)的〃的值可能為()

A”

A.12B.11C.8D.10

【答案】ABD

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式得到不等式，解得〃的取值范圍，即可判斷.

【詳解】由排列數(shù)公式得多=產(chǎn)嚕="?=(〃-5).(,?-6),

A“(n-Jy.nl(zz-7)!

依題意可得(〃-5)-(〃-6)>12,解得〃>9或“<2(舍去)，

又“cN+，所以〃可以取10,11,12.

故選：ABD.

練習7.己知C：;；=A3+I,求〃.

【答案】6

【分析】利用組合數(shù)性質(zhì)以及組合數(shù)公式和排列數(shù)公式，將C：；=A3+I化簡并展開，解方程即可求得答

案.

【詳解】由C：：；=A3+I得C3=A3+I,

即"；I=("])(〃―2)+1，即〃2—7〃+6=0,

解得〃=1,或〃=6,由A；-知〃23,

故”=6.

練習8.計算：

⑴若C：2=C/3,求〃

⑵若I2C：=A：,求〃

【答案】⑴〃=3或〃=5

(2)H=8

【分析】(1)根據(jù)組合式的性質(zhì)計算可得；

(2)根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)公式計算可得.

【詳解】(1)因為C：2=C；；-3,所以〃=2〃—3或〃+2〃-3,2,

解得〃=3或〃=5.

(2)因為12C：=A：,

所以12x室m=—1)(〃—2),又“N3,所以〃(〃-1)工0,

所以〃一2二6，解得〃=8.

練習9.(I)解方程：C：：；=C：：；+C￡+C：-2

(2)解不等式A”6A廠；

【答案】(1)〃=4；(2)x=8

【分析】(1)利用組合數(shù)的性質(zhì)及計算公式解方程作答.

(2)利用排列數(shù)公式化簡不等式，再求解不等式作答.

【詳解】⑴由組合數(shù)性質(zhì)及C：：；=C：：：+C3+C；2,得—C，

而%=C.2+C1=C3+CL+C]，則%+C-%+C3+C3

因此C：+2=C3即〃+2=吟2〃22,解得〃=4,

所以原方程的解為〃=4.

,[0<.￥-2<8

(2)由A；<6A；2,得<且解得2VX$8,X€N.,

X<O

8!/8!

又(8—r)!<6(]()_中，化簡得f-191+84<0，解得7Vx<12,因此x=8,

所以不等式A；<6A}的解為x=8.

練習10.(1)若3A：=2A幻+6A；,則產(chǎn).

(2)不等式C：>C：的解集為.

【答案】5{67,8,9}

【分析】(1)根據(jù)排列數(shù)公式即可求解；

(2)根據(jù)組合數(shù)的運算公式及性質(zhì)化簡不等式求其解集即可;

【詳解】(1)3AJ=2A；+1+6At/.x>3HxGN+,

3x(x-l)(x-2)=2x(x+l)+6x(x-l),化簡得3/-17x+10=0,

解得/=5,x='|(不合題意，舍去)，.二%=5；

/?!n\1

(2)VC>C^,A4!x(n-4)!>6!x(w-6)!,即「一%一叫。，解得6?〃<10.

,n>6

〃之6

〃eN,,J〃=6,7,&9.J〃的取值集合為{6,7,8,9}.

故答案為：5：{67,8.9}.

題型三捆綁法及插空法

例5.為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮"、“樂''、"射"、“御"、"書''、

“數(shù)''六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設六周，則下列說法錯誤的是()

A.某學生從中選2門課程學習，共有15種選法

B.課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法

C.課程“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法

D.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件利用組合知識可以判斷A正確；利用特殊位置法可以判斷B錯誤；相鄰問題利用捆

綁法可以判斷C正確；不相鄰問題利用插空法可以判斷D錯誤.

【詳解】對于A,從六門課程中選兩門的不同選法有C：=15種，A正確；

對干B,從中間四周中任取一周排“禮”，再排其它五門體驗課程共有4A；=480種，B正確；

對于C,“御”“書”“數(shù)”排在相鄰的三周，可將“御”“書”“數(shù)”視為一個元素，不同排法共有A；A：=144種，C

正確；

對于D,先排“禮”、“御”、“書”、“數(shù)”，再用插空法排“樂"射”，不同排法共有A：A；=48()種，D錯誤.

故迄D.

例6.澈浦“八大碗”是由兩冷菜，三大菜，三熱炒組成.今有人欲以其中的“東坡肉”“紅燒羊肉醋魚湯””韭

芽肉皮老筍干絲”“大蒜肉絲”共六道菜宴請遠方來客，這六道菜要求依次而上，其中“紅燒羊肉''和“醋魚湯”

不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為()

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【分析】應用排列數(shù)求出“紅燒羊肉''和“醋魚湯”接連相鄰上菜的方法數(shù)，間接法求出上述兩道菜不能接連相

鄰上菜的方法種數(shù)即可.

【詳解】若“紅燒羊肉”和“醋魚湯”接連相鄰上菜，則有A；=2種，

再將其與其它4道菜作全排列，共有A：=120種，

所以“紅燒羊肉''和“醋魚湯”接連相鄰上菜的方法數(shù)有240種；

而六道菜依次上菜的總順序有A：=720種，

所以其中“紅燒羊肉”和“醋魚湯”不能接連相鄰上菜的方法數(shù)720-240=480種.

故選:A

舉一反三

練習II.要從甲、乙等8人中選5人在座談會上發(fā)言，若甲乙都被選中且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那

么不同的發(fā)言順序共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】720

【分析】根據(jù)先選后排原理，再根據(jù)插空法，進行排列組合即可得解.

【詳解】除甲乙外再選3人共有C：種可能，

從選中的3人中選一人插在甲乙中間，此三人再進行排列共有A；C；種可能，

再將此三人看作整體和另外兩人進行全排列，共有A；種可能，

則共有=20x3x2x6=72。，

故答案為：720.

練習12.（多選）我校以大課程觀為理論基礎，以關鍵能力和核心素養(yǎng)的課程化為突破口，深入探索普通高

中創(chuàng)新人才培養(yǎng)的校本化課程體系.本學期共開設了八大類校本課程，具體為學科拓展（X）、體藝特長（7）、

實踐創(chuàng)新（5）、生涯規(guī)劃（C）、國際視野（/）、公民素養(yǎng)（G）、大學先修⑺）、PBL項目課程（P）八大

類，假期里決定繼續(xù)開設這八大類課程，每天開設一類且不重發(fā)，連續(xù)開設八天，則（）

A.某學生從中選3類，共有56種選法

B.課程排在不相鄰兩天，共有A；A；種排法

C.課程中廣排在相鄰三天，且“C只能排在"S'與"r'的中間，共有720種排法

D.課程“廠不排在第一天，謖程“G”不排在最后一天，共有A；+C；C,A：種排法

【答案】ABD

【分析】由題意，利用組合數(shù)、插空法、捆綁法、特殊元素優(yōu)先法，解得分類加法原理，可得答案.

【詳解】選項A,某同學從中選3類，共有C；=56（種）選法，A正確；

選項B,若，不相鄰，剩余6類排列方法為A：,形成7個空，則“犬”廠填入7個空的方法為A；,所以

共有A：A：種排法，B正確;

選項C,先排列"歹”「”尸三科，則有2種排列方法，3科形成整體與剩余5科再進行全排列，則有A：種排

列方法，

所以共有2A：=1440（種）排法，C錯誤；

選項D,分成兩類情況，一是排在第一天，則此類情況下排法有A；種，

二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有C；C；A：種方法，

則共有A；+C?A；種排法，D正確.

故選：ABD.

練習13.一條長椅上有七個座位，四人坐，要求三個空位中，有兩個空位相鄰，另一個空位與這兩個相鄰

空位不相鄰，共有幾種坐法？

【答案】480種

【分析】首先將兩個空位看成一個整體，再利用插空法求解.

【詳解】把兩個相鄰空位看成一個整體，另一個空位與這個整體不相鄰，則是用四個人把兩個元素隔開的

典型問題，就可先讓四人坐在四個位置上，再讓后兩個“元素”（一個是兩個作為一個整體的空位，另一個是

單獨的空位）選擇被四人造成的五個“空隙”中的兩個插入，

所以共有/&=480種坐法.

練習14.喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進行談判，通過談判他們握手言和，準備一起照合影像

（排成一排）.

⑴要求喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，有多少種排法？

（2）要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少種排法？

【答案】（1）144

（2）480

【分析】（1）利用捆綁法進行求解即可；

（2）利用插空法進行求解即可.

【詳解】（1）因為喜羊羊家族的四位成員必須相鄰，

所以可以把它們捆綁一起，然后與灰太狼、紅太狼全排列，

所以一共有A：xA；=144種排法.

（2）喜羊羊家族的四位成員一共形成5個空，灰太狼、紅太狼進行插空，

所以一共有A：xA；=480

練習15.一天課程表中，6節(jié)課要安排3門理科，3門文科，要使文、理科間排，不同的排課方法有種；

要使數(shù)學與物理連排，化學不得與數(shù)學、物理連排，不同的排課方法有種.

【答案】72144

【分析】分類討論文理科的順序可得第一空；利用捆綁法結(jié)合插空法可得第二空.

【詳解】要使文、理科間排，有兩種情況：文科排1,3,5,理科排2,4,6或理科排1,3,5,文科排2,

4,6,共有人；?。皇恕放c=72種排法；

數(shù)學與物理連排，則把數(shù)學、物理當作一個元素，化學不得與數(shù)學、物理連排，用插空法得：A；-A〉A；=144

種排法.

故答案為：72；144.

題型四倍縮法

例7.某學習小組A、B、C、D、E、F、G七名同學站成一排照相，要求A與〃相鄰，并且C在。的

左邊，E在。的右邊，則不同的站隊方法種數(shù)為（）

A.120B.160C.240D.360

【答案】C

【分析】將A與8捆綁，然后要求。在。的左邊，E在。的右邊，結(jié)合倍縮法可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，A與B相鄰，則將A與3捆綁，

然后要求。在。的左邊，E在。的右邊,

由捆綁法和倍縮法可知，不同的排法種數(shù)為與冬=主/=240種.

A；6

故選：C.

例8.某中學為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃

在原定排好的5個學生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來5個節(jié)目的出場順序不變，則增加的2個教

師節(jié)目白種不同排法（用數(shù)字作答）

【答案】42

【分析】用相對順序已定的排列模型求解.

【詳解】5個學生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，共有7個節(jié)目，把7個節(jié)目看成有順序的7個位置，

將這7個位置挑出2個位置安排給2個教師節(jié)目，共有A；=42種安排方法，再將剩下的5個位置安排給5

個學生節(jié)目，因原來5個學生節(jié)H的出場順序不變，故只有1種安排方法，故共有42x1=42種不同排法.

故答案為：42

舉一反三

練習16.小武是1993年12月18日出生的，他設置家里的電子門鎖的時候打算用他的出生年、月、日中的

8個數(shù)字進行排列得到一個8位數(shù)的密碼，那么小武同學可以設置的不同密碼的個數(shù)為（）

A.2760B.3180C.3200D.3360

【答案】D

【分析】先將8個數(shù)字進行全排列，再利用定序倍縮法除以重宴的情況即可.

【詳解】先將這8個數(shù)字進行全排列，有A；種情況，

而這8個數(shù)字中有三個1和兩個9,可將這三個1和兩個9看作是順序固定的排列方法，

A8

所以一共可以組成貴=3360個六位數(shù)，即可以設置的不同密碼的個數(shù)為3360.

故選：D.

練習17.五一國際勞動節(jié)，學校團委舉辦“我勞動，我快樂”的演講比賽.某班有甲、乙、丙等5名同學參

加，抽簽確定出場順序.在“學生甲必須在學生乙的前面出場”的前提下，學生甲、乙相鄰出場的概率為（）.

I912

A.-B.-C.-D.—

5533

【答案】B

【分析】設“學生甲、乙相鄰出場”為事件A,“學生甲必須在學生乙的前面出場”為事件8,根據(jù)倍縮法求出

學生甲必須在學生乙的前面出場的種數(shù)，得出P（8）,再根據(jù)捆綁法求出學生甲必須在學生乙的前面出場且

甲、乙相鄰出場的種數(shù)，求出248）,根據(jù)條件概率公式計算即可.

【詳解】設“學生甲、乙相鄰出場.'為事件A,“學生甲必須在學生乙的前面出場''為事件3,

共有A；種情況，學生甲必須在學生乙的前面出場的情況有涓種,

A；

叨以P（B）=學」

A；2

甲乙同學按出場順序一定，一且相鄰出場的情況共有A：種，

所以P（A8）=%

1

-

功

/八

!52

\

-T--

則P（A山）陰5

2-

故選：B.

練習18.《紅樓夢》四卜一I可中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄餐”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞靦肉、

香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在

雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鰲”時不同的下鍋順序共有（）

A.6種B.12種C.36種D.72種

【答案】B

【分析】將香菌、新筍、豆腐干看作一個元素，利用捆綁法結(jié)合倍縮法求解.

【詳解】因為香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，把它們捆綁在一起，看作一個元素，

此時共有5個元素，其中雞湯最后下鍋，放在最后一個位置，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，

A4

定序問題用倍縮法，共有不■=已種不同的排列方式.

故選：B.

練習19.（多選）用3,4,5,6,7,9六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）

A.這樣的六位數(shù)共有720個

B.在這樣的六位數(shù)中，偶數(shù)共有240個

C.在這樣的六位數(shù)中，4,6不相鄰的共有144個

D.在這樣的六位數(shù)中，4個奇數(shù)數(shù)字從左到右、從小到大排序的共有30個

【答案】ABD

［分析］根據(jù)排列的知識對每個選項一一分析即可.

【詳解】對于A,符合題意的六位數(shù)有A：=720個，故A正確；

對于B,若六位數(shù)為偶數(shù)，其個位數(shù)字為4或6,有2種情況，

其他數(shù)位沒有限制，則符合題意的偶數(shù)有2A；=240個，故B正確：

對于C,將其他4個數(shù)字全排列，再將4,6安排在產(chǎn)生的空位中，

所以有A：A；=480個4,6不相鄰的六位數(shù)，故C錯誤；

對于D,4個奇數(shù)數(shù)字按從左到右、從小到大的順序排好，

則有"=冬=30個符合題意的六位數(shù)，故D正確.

A424

故選：ABD.

練習20.甲、乙、丙、丁、戊5名同學從周一至周五輪流安排寫作練習，甲、乙均不安排在周一和周二，

且甲在乙之前，則不同的排列方式共有種.

【答案】18

【分析】先從除甲、乙外的3名學生中選出2名，安排在周一和周二，再將剩余3名學生安排在周三至周

五，且甲在乙之前，再根據(jù)分步計數(shù)乘法原理可得答案.

【詳解】先從除甲、乙外的3名學生中選出2名，安排在周一和周二，共有A；種排列方式；

再將剩余3名學生安排在周三至周五，共有A：：種排列方式.

又甲在乙之前，則不同的排列方式共有第二18種.

A2

故答案為：18.

題型五隔板法

例9.方程玉十勺十七十七十七=9的非負整數(shù)解的組的個數(shù)為（）

A.C*B.C；3

c.C；c；D.

【答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成5部分，利用隔板法即可得解.

【詳解】依題意，可知為，々?3，二，/為非負整數(shù)，

因為％+工2+七+七+毛=9,所以(4+l)+(^+l)+(A3+l)+(x4+l)+(.r5+1)=14,

從而將問題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個完全相同的小球分成5部分，

一共有13個間隔，利用4個隔板插入即可，故共有Ch種.

故選：A

例10.現(xiàn)有6個三好學生名額，計劃分到三個班級，則恰有兩人班分到三好學生名額的概率為.

【答案吟

【分析】分只有一個班分到名額，恰有兩個班分到名額和三個班都分到了名額三種情況求出總的情況，然

后利用占典概型求概率的方法能求出恰有兩個班分到三好學生名額的概率.

【詳解】將6個三好學生名額分到三個班級，有3種類型：

第一種是只有一個班分到名額，有3種情況；

第二種是恰好有兩個班分到名額，由隔板法得有C；C；=15種情況，

第三種是三個班都分到了名額，由隔板法得有仁=10種情況,

則憐有兩個班分到三好學生名額的概率為裝.

故答案為：孩.

舉一反三

練習21.在空間直角坐標系。-個z中，A(8,0,0),8(0,8,0),C(Q0,8),則三棱錐0—43。內(nèi)部整點(所有坐

標均為整數(shù)的點，不包括邊界上的點)的個數(shù)為()

A.35B.36C.84D.21

【答案】A

【分析】首先求平面ABC的一個法向量，并根據(jù)法向量確定三棱錐內(nèi)部的點滿足的條件，

并結(jié)合隔板法，求方法種數(shù).

【詳解】由條件可知，=(-8,8,0),AC=(—8,0,8),

設平面48c的一個法向量fi=(x,y,z)，則

48?力=-8x+8y=0

令x=i,則y=z=i,故“=(1,1,1),

AC/i--8%+8z=0

設P(d〃,c)是平面ABC上的點，貝JAP=(a-^,,b,c),

故AP〃=a-8+h+c=0，則〃+b+c=8,

不妨設三棱錐O-A8c內(nèi)部整數(shù)點為Q(「sj),則幾sJwN’,且「21，s?l,后1,則,?+$+欄3

若r+s+/=8時，則0在平面ABC上，

若r+s+/>8,則。在三棱錐O-A8C的外部，

所以34r+s+/K7,

當/?+$+/=〃,/?€N'，且34〃47時，

將"寫成〃個I排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個數(shù)為3的取值的方法個數(shù)，顯然有C3

個方法，

所有整數(shù)點。的個數(shù)為C；+C；+C；+C+C：=35.

故選：A

練習22.(x+2)，+z)”的展開式為多項式，其展開式經(jīng)過合并同類項后的項數(shù)一共有()

A.72項B.75項C.78項D.81項

【答案】C

【分析】由多項式展開式中的項為心“)&"即。+〃+c=ll(a,Ac20),將問題轉(zhuǎn)化為將2個隔板和11個小

球分成三組，應用組合數(shù)求項數(shù)即可.

【詳解】由題設，多項式展開式各項形式為My*且a+A+c=113—0),

故問題等價于將2個隔板和11個小球分成三組，即C：3=78.

故選:C

練習23.(多選)把8個相同的小球放到編號為1,2,3,4的4個盒子中，則()

A.每個盒子中至少放1個小球的放法共有35種

B.有空盒的放法共有161種

C.恰有1個空盒的放法共有21種

D.編號為2的盒子中至少放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法共有20種

【答案】AD

【分析】利用隔板法可判斷選項A：根據(jù)分類加法計數(shù)原理及組合的知識結(jié)合隔板法可判斷B,D；由分步

乘法計數(shù)原理及組合的知識可判斷C.

【詳解】對于A,有8個相同的小球，放入編號為1,2,3,4的4個盒子中，

相當于將8個球排成一排，分為￡份，即在這8個球之間形成的7個空中，選3個插入隔板，

每個盒子中至少放1個小球的放法共有35種，故A正確.

對于B,有8個相同的小球，放入編號為1,2,3,4的4個盒子中，

有空盒的放法可分為：8個球放?個盒子里，有C；=4種放法；

8個球放二個盒子里，有C：C；=42種放法；放三個盒子，有C：C；=84種方法，

所以共有4+42+84=130種放法，故B錯誤；

對干C,有8個相同的小球，放入編號為1,2,3,4的4個盒子中，

恰有I個空盒的放法，結(jié)合B可知即將8個相同的小球放入3個盒子里，

共有C：C；=84種，故C錯誤；

對于D,有8個相同的小球，放入編號為I,2,3,4的4個盒子中，

編號為2的盒子中至少放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法分4類：

編號為2的盒子放2個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有C；=10種，

編號為2的盒子放3個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有C；=6種，

編號為2的盒子放4個小球，其他3個盒子每個盒子至少放I個小球的放法有C；=3種，

編號為2的盒子放5個小球，其他3個盒子每個盒子至少放1個小球的放法有1種，

則共有10+6+3+1=20種放法，故D正確，

故選：AD.

練習24.在中國革命史上有許多與“8”有關的可歌可泣的感人故事，如“八子參軍”、“八女投江”等，因此數(shù)

字“8”是當之無愧的新時代“英雄數(shù)字”.如果一個四位數(shù)，各個位置上數(shù)字之和等于8,這樣的數(shù)稱為“英雄

數(shù)”（比如1223,1+2+2+3=8,就是一個“英雄數(shù)”），則所有的“英雄數(shù)''有個（用數(shù)字回答）

【答案】120

【分析】根據(jù)題意，將原問題轉(zhuǎn)化為將8個小球分為4組且第一組不能為。的問題，根據(jù)0的個數(shù)分情況，

結(jié)合擋板法即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，8個相同的小球排成一排，8個小球兩兩之間不包括頭尾共有7個空位中，

若四位數(shù)的“英雄數(shù)'沖不含0,則需要在這7個空位中隨機安排3個擋板，可以將小球分為4組每兩個擋板

之間的小球的數(shù)忖依次對應四位數(shù)的千、百、十、個位數(shù)字，共有C；=35個，

若四位數(shù)的"英雄數(shù)''中只有一個0,則需要在這7個空位中隨機安排2個擋板，可以將小球分成個數(shù)不為0

的3組，0可以作為百、十、個位其中一位上的數(shù)字，此時共有C；x3=63個，

若四位數(shù)的"英雄數(shù)''中有兩個0,則需要在這7個空位中隨機安排1個擋板，可以將小球分成個數(shù)不為。的

2組，0可以作為百、卜、個位其中兩位上的數(shù)字，此時共有CxC；=21個，

若四位數(shù)的,?英雄數(shù)”中有3個0,則只能是8000,只有一種情況，

綜上:共有35+63+21+1=120個“英雄數(shù)”.

故答案為：120.

練習25.用0~9十個數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復，把個位、十位、百位的數(shù)字之和等于9的三位數(shù)稱為“長

久數(shù)”，則“長久數(shù)”一共有個.

【答案】45

【分析】將“長久數(shù)''的排列轉(zhuǎn)化為將9個表示1的球與2個表示()的球排成一排，利用隔板法即可求解.

【詳解】設4，%，％對應個位到百位上的數(shù)字，則4wN'M￡N(i=l,2)且4+生+%=9,相當于將9個表

示I的球與2個表示0的球排成一排，如圖，

11111111100,

這II個數(shù)有10個空，用2個隔板隔開分為3組，左起第一組數(shù)的和作為。3,第二組數(shù)的和作為的，第三

組數(shù)的和作為q,

故共C；0=45種，

故答案為：45.

題型六特殊元素法

例II.第31屆世界大學生夏季運動會于6月26日至7月7日在成都舉辦，現(xiàn)在從6男4女共10名青年志愿者

中，選出3男2女共5名志愿者，安排到編號為1、2、3、4、5的5個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其

中女志愿者甲不能安排在編號為1、2的賽場，編號為2的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有()

A.1440種B.2352種C.288()種D.3960種

【答案】D

【分析】對女志愿者甲是否被選中進行分類討論，分別確定各賽場的人員安排，結(jié)合分類加法計數(shù)原理可

得結(jié)果.

【詳解】分以下兩種情況討論：

①女志愿者甲被選中，則還需從剩余的9人中選出3男1女，選法種數(shù)為C：C；=60,

則女志愿者甲可安排在3號或4號或5號賽場，另一位女志愿者安排在2號賽場，

余卜3個男志愿者隨意安排，此時，不同的安排種數(shù)為60X3XA：=1080：

②女志愿者甲沒被選中，則還需從剩余9人中選出3男2女，選法種數(shù)為C：C；=60,

編號為2的賽場必須安排女志愿者，只需從2名女志愿者中抽1人安排在2號賽場，

余下4人可隨意安排，此時，不同的安排方法種數(shù)為60X2XA：=2880.

由分類加法計數(shù)原理可知，不同的安排方法種數(shù)為1080+2880=3960種.

故選：D.

例12.為了紀念世界地球日，復興中學高三年級參觀了地球自然博物館，觀后某班級小組7位同學合影，

若同學A與同學B站在一起，同學。站在邊緣，則同學。不與同學A或3相鄰的概率為.

【答案】|4

【分析】利用分步乘法原理先求出同學A與同學“站在一起，同學C站在邊緣的方法數(shù)，再求出其中同學C

不與同學A或小相鄰的方法數(shù)，然后利用古典概型的概率公求解即可.

【詳解】將同學A與同學3看成一個整體，與剩下的5人排列，先讓同學C站在邊上，有C；種方法，然后

同學A與同學小組成的整體與剩下4人排列，有A；A；種方法，

所以分步乘法原理可知同學A與同學/站在一起，同學C站在邊緣，共有C；A；A；種方法，

其中同學C不與同學A或8相鄰的有：先讓同學C站在邊上，有C；種方法，然后同學A與同學8組成的整

體從與同學。不相鄰的4個位置中選一個位置,有A；C：種方法,再讓乘仆?的4人去站剩卜.的4個位置,有A：

種方法，

所以由分步乘法原理可得同學。不與同學A或B相鄰的共有C；A；C：A：種方法，

C1A2cA44

所以所求概率為。==：：：?二1

C；A：A；5

故答案為：］4

舉一反三

練習26.從0,1,2,…，9中選出三個不同數(shù)字組成四位數(shù)（其中的一個數(shù)字用兩次），如5242.這樣的

四位數(shù)共有（）

A.1692個B.3672個C.3708個D.3888個

【答案】D

【分析】就含零的個數(shù)分類討論后可得正確的選項.

【詳解】情形一不含。的四位數(shù)個數(shù)為C〉C；-C.A；-3024.

情形二含1個。的四位數(shù)個數(shù)為C〉C；-3,3=648.

情形三含2個0的四位數(shù)個數(shù)為C；3A；=216.

于是符合題意的四位數(shù)個數(shù)為3024+648+216=3888.

故選:D.

練習27.用0,I,2,3,4,5共6個數(shù)字，可以組成個沒有重復數(shù)字的六位奇數(shù).

【答案】288

【分析】解法一，從特殊位置入手，即先考慮個位或十萬位上的數(shù)字，根據(jù)分步計數(shù)原理可求得答案；

解法二，從特殊元素入手，即先考慮0的排法，再排其他數(shù)字，根據(jù)分步計數(shù)原理可求得答案.

【詳解】解法一（從特殊位置入手）

①從個位入手：個位上的數(shù)字的排法有A；種，十萬位上的數(shù)字的排法有A：種，余下的數(shù)字可以在其余各位

上進行全排列，有A：種排法.

由分步乘法計數(shù)原理知，符合題意的六位奇數(shù)共有A；A：A：=288個.

②從十萬位入手：十萬位排定后，個位數(shù)字的排法與十萬位所排數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)有關，因此，需分2

類.

第I類，十萬位排奇數(shù)的六位奇數(shù)有A；A：個；

第2類，十萬位排偶數(shù)的六位奇數(shù)有A；A；A：個.

故符合題意的六位奇數(shù)共有A；A：+A；A；A：=288個.

解法二（從特殊元素入手）

。不在兩端有A；種排法，從1,3.5中任選一個排在個位有A；種排法，

其氽各數(shù)位用余下的數(shù)字全排列,

由分步乘法計數(shù)原理知，符合題意的六位奇數(shù)共有A；A；A：=288個.

故答案為:288

練習28.“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我''等.數(shù)學上具有這樣特征的一類

數(shù)稱為“回文數(shù)”.“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121,241142等，在所有五位正

整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“同文數(shù)”共有個.（用數(shù)字作答）

【答案】225

【分析】根據(jù)給定的信息，確定五位正整數(shù)中的“回文數(shù)”特征，再由。出現(xiàn)的次數(shù)分類求解作答.

【詳解】依題意，五位正整數(shù)中的"回文數(shù)”具有：萬位與個位數(shù)字相同，且不能為0；千位與十位數(shù)字相同，

求有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”的個數(shù)有兩類辦法：

最多1個0,取奇數(shù)字有A；種，取能重復的偶數(shù)字有A：種，它們排入數(shù)位有A；種，取偶數(shù)字占百位有A；種，

不同“回文?數(shù)”的個數(shù)是A!A；A；A[=200個，

最少2個0,取奇數(shù)字有A；種，占萬位和個位，兩個0占位有1種，取偶數(shù)字占百位有A；種，

不同“回文數(shù)”的個數(shù)是A；A；=25個，

由分類加法計算原理知，在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有200+25=225個.

故答案為：225

練習29.某34人班級派5人參觀展覽，班級里有11人喜歡唱，4人喜歡跳，5人喜歡rap,14人喜歡籃球，

每個人只喜歡?種.5人站一隊參觀，但是當隊伍中第攵次+1,々+2次+3個人分別喜歡唱、跳、wp、籃球時,

上述4人會討論蔡徐坤，展覽館不希望有人討論蔡徐坤.當且僅當兩個隊伍中至少有一個位置上的人的喜好

不同，兩個隊伍才被認為是不同的，則滿足上述條件的不同的排隊方案數(shù)為.

【答案】1015

【分析】就5個人中喜歡的種類分類討論后可得正確的排隊方案數(shù).

【詳解】如果5個人中喜歡的種類有1種，則不同的排隊方案數(shù)為3種，

如果5個人中喜歡的種類有2種，則不同的排隊方案數(shù)為C：x（2xC"2xC；）=180：

如果5個人中喜歡的種類有3種，

則不同的排隊方案數(shù)為C（C；xC；x2+C；xC；xC；）=600；

如果5個人中喜歡的種類有4種，

則不同的排隊方案數(shù)為C；xC：xA；-8=232：

故不同的排隊方案數(shù)為1015.

故答案為：1015.

【點睛】思路點睛：對于較為復雜的計數(shù)問題，注意根據(jù)問題的特征選擇合理的分類討論的角度，這樣能

簡化計算.

練習30.現(xiàn)有包括甲、乙在內(nèi)的5名同學在比賽后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，則

符合要求的排列方法共有種

【答案】54

【分析】利用排列組合先排特殊元素，再排其余元素即可

【詳解】先排乙，從中間的3個位置中選1個安排乙，則有C；=3種方法，

再排甲，從除左端外，剩下的3個位置中選1個安排甲，則有C；=3種方法，

最后排其余3個，有A：=6種方法.

所以由分步乘法原理可知共有3x3x6=54種方法，

故答案為：54

題型七染色問題

例13.某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同

一種果樹，則共有（）種不同的方法.

【答案】C

【分析】利用分類計數(shù)原理求解，按2與4兩區(qū)域種植果樹是否相同進行分類即可.

【詳解】分兩類情況：

第一類：2與4種同一種果樹，

第一步種1區(qū)域，有5種方法；

第二步種2與4區(qū)域，有4種方法：

第三步種3區(qū)域，有3種方法；

最后一步種5區(qū)域，有3種方法，

由分步計數(shù)原理共有5x4x3x3=180種方法：

第二類：2與4種不同果樹，

第一步在1234四個區(qū)域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有A；=12。種方法；

第二步種5號區(qū)域，有2種方法，

由分步計數(shù)原理共自120x2=240種方法.

再由分類計數(shù)原理，共有180+240=420種不同的方法.

故選：C.

例14.在如圖所示的五塊土地上種植四種莊稼，有五種莊稼秧苗可供選擇，要求相鄰的土地不種同?種莊

稼，共有（）種植方式.

2

135

4

A.240種B.300種C.360種D.42（）種

【答案】A

【分析】先選出4種莊稼，再根據(jù)可能的相同莊稼情況計算種數(shù)，運用分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，五塊土地上種植四種莊稼，先選出4種莊稼，共有C；=5種選擇，

則1,5地種植相同莊稼或2,4地種植相同莊稼，共有2x（4x3x2xl）=48種選擇，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，有5x48=240種.

故選:A

舉一反三

練習31.某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區(qū)域.現(xiàn)有6種

不問的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個區(qū)域只布置一種花卉，

則不同的布置方案有（）

A.720種B.1440種C.1560種D.2520種

【答案】C

【分析】先對圖中不同的區(qū)域命名，分A與。布置相同的花卉、A與C布置不同的花卉兩種情況，再運用

分步計數(shù)和分類計數(shù)的方法從E開始計數(shù)即可.

【詳解】

如圖，不同的布置方案分兩類：

當A與C布置相同的花卉時，

先安排E，有6種不同的選擇；再安排A與C,有5種不同的選擇；再安排3,有4種不同的選擇；最后

安排。，有4種不同的選擇，共有6x5x4x4=480種.

當A與C布置不同的花卉時，

先安排E,有6種不同的選擇；再安排A與C,有5x4種不同的選擇；再安排以有3種不同的選擇；最后

安排。,有3種不同的選擇,共有6x5x4x3x3=1080種.

所以不