專題3.8抽象函數(shù)問題

SI題型目錄

題型一抽象函數(shù)的定義域

題型二抽象函數(shù)的值域

題型三求抽象函數(shù)的解析式

題型四抽象函數(shù)的奇偶性

題型五抽象函數(shù)的周期性

題型六抽象函數(shù)求解不等式

才典例集練

題型一抽象函數(shù)的定義域

例1.(2022秋?河北保定?高一河北省唐縣第一中學校考階段練習)已知函數(shù)/的定義域為

[0.4],則(￡2的定義域為()

A.[-1,4]B.[―1⑵C.(-1,4]D.(-1,2]

【答案】D

【分析】若函數(shù)的定義域為A,則復合函數(shù)/(以幻)有意義要滿足g(x)eA.

[()<x2<4

【詳解】因為函數(shù)/(幻的定義域為[。，4],則富』有意義要滿足1-1；，解得xe(-l,2],

x/7+iU+i>o

故選：D

例2.(2022秋?山東德州?高三?？茧A段練習)若函數(shù)/(x)的定義域為[0,4],則函數(shù)

g(x)=/(x+2)+3=i的定義域為()

A.(1,2)B.(1,4)C.(L2]D.(1,4]

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得出關于/的不等式組，由此可解得函數(shù)g(x)的定義域.

【詳解】解:因為函數(shù)〃”的定義域為[0川，

對于函數(shù)g("=/(工+2)-一^,則《二八一，解得1cxK2,

yJX-\|X-1>0

1

即函數(shù)g(x)=f(x+2)+的定義域為(1,2].

—1

故選：c

舉一反三

練習1.(2023秋.陜西西安?高三統(tǒng)考期末)若函數(shù)/(X)的定義域為(-2,16),則函數(shù)

的定義域為()

A.(1,8)B.(1,32)

C.(1,2)U(2,8)D.(1,2)0(2,32)

【答案】C

【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，分式的分母不為零，以及-2<2x<16可求得結果.

【詳解】因為函數(shù)的定義域為(-2,16),

所以要使尸彘有意義’則

-2<2x<16

x-1>0,解得lvx<8且x/2,

1

所以原函數(shù)的定義域為(l，2)U(2,8),

故選：C.

練習2.(2023秋?遼寧沈陽?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)y=/(x+l)的定義域為[L2],則函數(shù)

y=/(2x—l)的定義域為()

-1"|r3"]

A.-JB.—,2C.[—1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關系進行求解即可.

【詳解】???函數(shù)y=/(x+l)的定義域為[1,2],KPl<x<2,可得2G+1W3,

???函數(shù)y=/'(X)的定義域為[2,3],

令2W2X—1W3,解得

■3'

故函數(shù))，=〃2尤一1)的定義域為-,2.

故選：B.

練習3(2023秋?江蘇揚州?高三期末)已知函數(shù)〃2x-3)的定義域為[-1,4],設函數(shù)

F(x)=#一￥,則函數(shù)網(wǎng)力的定義域是_____.

yJ3x—x—7

【答案】（L3]

-5<l-2x<5

【分析】由/（2x-3）的定義域得出-5融x-35,進而由<*+8—>。得出所求

【詳解】因為函數(shù)/（2x-3）的定義域為所以-掇改4,-5融x-35

-541-2x45

解得1vx<3

-X2+8A-7>0

故函數(shù)尸"）=:），則函數(shù)產⑴的定義域是（L3]

\JSx-x~-1

故答案為:（1,3]

練習4.（2023春?江西宜春?高二?？奸_學考試）若函數(shù)/（2'）的定義域為[0,2],則函數(shù)

/（4?）的定義域為.

【答案】[05

【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求法及指數(shù)函數(shù)的單調性求解即可.

【詳解】對于/（2'）,因為0?x<2,所以由.y=2,的單調性得2°K2,K22,即1K2Y4,

所以對于/（41）,有1工41K4,即4丁4"飛4、

由），=下的單調性得OKl-xVl,解得OKxKl,

所以一（4一）的定義域為[0』.

故答案為：[05.

練習5.（2022秋?河南信陽.高三?？茧A段練習）已知函數(shù)/（合）的定義域為（-2,0）,則

/（2x-1）的定義域為（）

||、?1

A.（--?—）B.（-5,-1）C.（0.-）D.（-3,--）

【答案】C

【分析】由已知條件求得/（力的定義域，再由/（x）的定義域求出的定義域即可.

【詳解】???函數(shù)苦）的定義域為（一2,0）,即—2<x<0,

x+\x—l+2,i2

------=1+----

x-\x-\

又解得0<x<|,

???/（21）的定義域為（0,令2，

可令0"<』2,即有X>1，則/(￡)=/(%2)-/5)+1>1,

“I

可得f(w)>fa),

則八X)在(O，+8)上遞增；

(3)由/C0在(0,收)上為增函數(shù)，可得/(?在［1,16］遞增，

可得/(1)=1為最小值，〃16)為最大值，

由/(4)可(16)-f(4)+1,可得〃16)=2/(4)-1=5,

則〃幻的值域為［1,5］.

舉一反三

練習6.(2022?全國?高三專題練習)/(X)是R上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù)，若函數(shù)

f(x)+g(x)的值域為［-1,4］,則/(x)-^(x)的值域為.

【答案】［Yn

【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義結合/(x)+g("的值域即可求出〃x)-N(x)的值域.

【詳解】解：由/(x)是人上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù)

得至|J/(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)

因為函數(shù)〃x)+g(x)的值域為［-1,4］

即-l"(x)+g(x)W4

所以-14/(-力+g(-力W4

又/(一6=-/(力，g(T)=g(X)

所以/(力一鼠”的值域為：［T』.

故答案為：［T』.

練習7.(2022秋?浙江杭州?高三杭州四中?？计谥?已知函數(shù)y=/(x)的定義域是R,信域

為［-1,2］,則值域也為［-1,2］的函數(shù)是()

A.y=2f(x)+\B.>'=1/(2x+l)|

C.y=-f(x)+\D.y=l/(A)|

【答案】C

【分析】根據(jù)/(幻的值域為［7,2］,BP-1W)2,即可求出2f(x)+l,|/(2x+l)|,-/U)+l,

以及I/WI的范闈，從而可求解.

【詳解】/（X）的定義域為R,值域為[-1,2],即-掇/（力2；

對于A,y=2/（x）+l?-l,5],即y=2/（x）+l的值域為[—1.5],故A錯誤；

對于B.），=/（2x+1）G[-L2],即y=|/（2x+l）|的值域為[0,2]，故B錯誤；

對于C,y=-f（x）?-2,l],即）,=_/（幻+1的值域為11,2],故C正確；

對于D.y=l/（x）目0.2],即y=|/*）|的值域為[0,2],故D錯誤.

故選：C.

練習8.（2022?高一課時練習）已知函數(shù)/（x）的定義域為（I，+8）,值域為R,則（）

A.函數(shù)/（產+1）的定義域為R

B.函數(shù)+的值域為R

C.函數(shù)/（『+2x+2）的定義域和值域都是R

D.函數(shù)/'（/（X））的定義域和值域都是R

【答案】B

【分析】對于A選項：根據(jù)抽象函數(shù)的定義域令丁+1>1,推出/（f+i）的定義域判斷正

誤；

對于B選項：因為/（"的值域為R,所以/（丁+1）的值域為R,進而推導出/（丁+1）-1的

值域，判斷正誤；

對于C選項：令V+2X+2>1,求出函數(shù)/（d+2x+2）的定義域，即可判斷正誤；

對于D選項：若函數(shù)/（/"））的值域為R,則/（力>1,即可判斷正誤；

【詳解】對于A選項：令Y+i>i,可得叱0,所以函數(shù)/任+1）的定義域為{上工0},

故A選項錯誤；

對于B選項：因為/（x）的值域為R，x2+l^l，所以/任+1）的值域為R,可得函數(shù)

/（f+1）_[的值域為R,故B選項正確；

對于C選項：令d+2x+2〉l，得xw-l,所以函數(shù)/（/+2x+2）的定義域為{4『工一1},

故C選項錯誤；

對于D選項：若函數(shù)/（/（力）的值域為R,則〃力>1,此時無法判斷其定義域是否為R，

故D選項錯誤.

故選：B

練習9.（2022秋?河北保定?高三河北省曲陽縣第一高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)

），=/（力的定義域是R，值域為[L2],則下列四個函數(shù)①y=2/（"—1：②y=/（2x—l）；

③y=2"x)，④)，=k>g2*x+1)+1，其中值域也為［，2］的函數(shù)個數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】求出①②③④中各函數(shù)的值域，即可得出合適的選項.

【詳解】對于①，因為14/(x)W2,則y=2/(x)-le［l,3］,①不滿足條件；

對于②，對于函數(shù))，=/(2x-l),2x—leR,則函數(shù))，=〃2工一1)的值域為［1.2］,②滿足條

件；

對于③,B^l</(x)<2,則y=2什③滿足條件；

對于④，因為④/卜)42,f(x+l)e［l,2］,貝iJy=log2"x+l)+lW，2］,④滿足條件.

故選：B.

練習10.(2022秋.湖南衡陽.高三衡陽市一中?？茧A段練習)若函數(shù)「=/(幻的值域是［；,3］,

則函數(shù)尸(“)=/(2x.1)?1的值域是________.

f(2x+l)

【答案】⑵曰］

【分析】由給定條件求出/(2%+1)的值域，換元借助對勾函數(shù)性質即可得解.

【詳解】因函數(shù))，=/(幻的值域是弓,引，從而得函數(shù)，=/(2x+l)值域為

函數(shù)尸(x)變?yōu)閥=/+L由對勾函數(shù)的性質知y=f在1］上遞減，在［L3］上

t2t2

遞增，

，=1時，/而=2,而t=:時，y=:1=3時，y=?即人邛，

jLJJ

所以原函數(shù)值域是⑵5］.

故答案為：［2,與］

題型三求抽象函數(shù)的解析式

例5.(2023?廣東深圳?高三深圳外國語學校?？茧A段練習)寫出一個滿足：

〃X+),)=/(X)+/(),)+2A>，的函數(shù)解析式為.

【答案】/W=x2

【分析】賦值法得到/(O)=O,"x)+/(T)=2f,求出函數(shù)解析式.

【詳解】/(x+y)=/(x)+/(y)+2個，中，令x=y=O,解得/⑼=0,

令)得/(X一力=/(6+/(—)-2/,故/(力+/(-力=2/，

不妨設/(力=/,滿足要求.

故答案為:f(x)=x2

例6.(2023?安徽?合肥-中校聯(lián)考模擬預測)(多選)已知函數(shù)/(X)的定義域為R,且

/(x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y),x>o時./(.v)>o,〃2)=3.則()

A./(1)=1

B.函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+切單調遞增

C.函數(shù)/(力是奇函數(shù)

D.函數(shù)/(x)的一個解析式為〃力=2'-1

【答案】ABD

【分析】賦值法求值判斷A選項，定義法判斷單調性判斷B選項，特殊值法判斷C選項,

根據(jù)題干要求判斷解析式符合題意判斷D選項.

【詳解】A項:因為/(X+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y),

當工>。時，/(x)>0,/(2)=3,令x=y=l,

則/(2)=[/(1)7+2/⑴=3,解得/⑴印，A正確；

B項：任?。翰?lt;9?0,+<?),

則/(工2)=/[玉+(工2一七)]=/(玉)/(工2一N)+/(%)+/(工2一凡),

因為當X>0時.，/'(x)>0,

所以/優(yōu)-％)>。，/(N)>。，

所以/(石)/(巧f)+/(再)+f(芍f)>/(%),即/(W)>/(X)，

所以函數(shù)/(力在區(qū)間(0,切)單調遞增，B正確；

C項：4-x=.v=0,WJ/(0)=[7(0)]2+2/(0).

解得"0)=0或〃0)=-1，當"0)=0,且x>0時，令)』一不

則0=f(x)f(r)+f(%)+f(r)，

若/(X)為奇函數(shù)，貝1」/(一力二一/(力,B|J0=-f2(x)+f(x)-/(x),

解得〃x)=o,與題意矛盾;

當〃0)=-1時“X)不為奇函數(shù).

綜上所述，函數(shù)/("不是奇函數(shù)，C錯誤；

D項：當/(x)=2'-l,

則/(x+y)=2

/(X)/3+/(X)+/3=(2T)(2'T+(2T)+(2T)

=2x+y-2X-2V+1+2V-1+2y-\

=2A+J-H

所以〃x+y)=/(x)〃y)+/(x)+/3,易得〃x)=2T在R上單調遞增,

所以x>0時，/(x)=2v-l>2°-l=0,/⑵=22-1=3,

故函數(shù)〃力的一個解析式為〃用=2--1,D正確.

故選:ABD

舉一反三

練習11.(2023秋?江蘇南京?高三統(tǒng)考期末)(多選)已知函數(shù))，=/("，對于任意x,)*R,

綱=/(?")，則()

f\y)

A./(O)=lB.f^)=2f(x)

c./(x)>0D,"A"%

2

【答案】ACD

【分析】通過賦值法，取具體函數(shù)，基本不等式等結合已知條件分選項逐個判斷即可.

【詳解】令x=yn祟=/(0)=/(。)=1，故A正確；

由已知4^4=/(K-)')n/(x)=/(y)/(x-y)n/(x+y)=/(x)/(y)，①

令/a)="M60」)U(l,M)滿足題干要求，2f(x)=2a\f(x2)=/(x2)2/(x),

故B錯誤；

嗅則〃加出)噌卜［冏2

由①可知，令x=y

又因為黑=""-#，則/圖工°,所以小)=/圖2

>(),故C正確:

因為〃x)>0,所以/(X)+/()，)N243/()，)=24(X+)，),

則/(x+3,)=/(中'

又由①,令=

所以〃""/仆）2/（牙）,故D正確.

故選：ACD.

練習12.（2023?湖南婁底?統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)/（工）滿足以下條件：①在區(qū)間（0,討）上

單調遞增：②對任意*「*：，均有/（卬力=/（%）+/仇）-1.則/（x）的一個解析式為

【答案】/（x）=lnx+l（答案不唯-）

【分析】根據(jù)對數(shù)運算性質及對數(shù)函數(shù)性質寫出一個函數(shù)解析式即可.

【詳解】如:f（x）=\nx-],則=/㈤=ln%+l,

又/（內W）=ln（中2）+1=1歡+巾工2+1，則f（x\x2）=f（-￥i）+f（x2）-1，

此時/（A）在區(qū)間（0,+8）上單調遞增，滿足題設.

故答案為：f（x）=lnx+l（答案不唯一）

練習13.（2019秋?山西運城?高一校考階段練習）已知定義在R上的函數(shù)/（“滿足:

①對任意的x,i,都有/（xy）=/（.r）+/（y）;

②當x＞l時，/（x）＞0.

（1）求證：/⑴=0;

（2）求證：對任意的xeR,都有=

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解

【分析】（1）令x=y=l,即可求得/（1）=0；

（2）令y="=0）,由〃切==（力+〃＞）以及〃1）=0即可證得結論;

X

【詳解】（1）令x=y=i,則/⑴=2/⑴，

??."1）=（）

（2）令y=L（xwO）,

X

■O（）

【點睛】本題主要考杳抽象函數(shù)的函數(shù)值，解題的關鍵是根據(jù)題干賦恰當?shù)臄?shù)值，屬于基礎

題

練習14.(2022?全國?高一專題練習)若函數(shù)/(x)滿足，8)+/3=2,則/(x)可以是

—.(舉出一個即可)

【答案】/(.r)=1(x^0)

【分析】由題意猜想/(耳=1(無力0),驗證滿足條件.

【詳解】若〃x)=l(xw0),滿足/41+/")=2.

若滿足/(口+小)=2.

故答案為：/(x)=l(x工0),答案不唯一.

練習15.(2022秋?江蘇南京?高一南京市第十三中學?？茧A段練習)寫出同時滿足條件“①函

數(shù)/(x)為增函數(shù)，②/(1+y)=/(x)/(v)”的一個函數(shù)/(力=.

【答案】2,(答案不唯-)

【分析】由指數(shù)函數(shù)及常運算性質即可判斷.

【詳解】由題意，指數(shù)函數(shù)均滿足①②.

故答案為：2”答案不唯一)

題型四抽象函數(shù)的奇偶性

例7.(2022秋?廣西玉林?商三校聯(lián)考階段練習)已知〃工-1)是定義域為R的奇函數(shù)，

S(x)="2xi3)是定義域為R的偶函數(shù)，則()

A.g⑵=0B.屋3)=0C./⑶=0D./⑸=0

【答案】A

【分析】由條件得到函數(shù)/(力的對稱性，根據(jù)對稱性求值，即可求解.

【詳解】因為/(x-1)是定義域為R的奇函數(shù)，

所以=1),所以函數(shù)〃力關于點(TO)對稱，且〃-1)=0

因為g(M=/(2x+3)是定義域為R的偶函數(shù)，

所以〃—2x+3)=/(2x+3),所以函數(shù)“X)關于直線x=3對稱，

所以/⑺=0,即g⑵=0.

故選：A

例8.(2023?湖南長沙?雅禮中學?？家荒?(多選)已知不恒為0的函數(shù)/(x),滿足V》，jeR

都有/(x)+/(y)=2/(皇)《寧).則()

A./(0)=0B./(0)=l

C./(x)為奇函數(shù)D.、f(x)為偶函數(shù)

【答案】BD

【分析】令工=)，=0和〉=工，即可判斷選項AB；令)七一不，即可判斷選項CD.

【詳解】令x=y=o,則/'(。)+〃。)=2/(0).〃0),???/(0)=0或1.

令)'二不則/(力+/(力=2/(力”0),若/(0)=0,則/(力=0,與/(力不恒為0矛盾，

???/(0)=1,???選項B正確選項A錯誤；

令了二T,則/(X)+/(T)=2/(O)-/(X)=2/(X),為偶函數(shù)，??.

選項D正確選項C錯誤.

故選：BD.

舉一反三

練習16.(2023秋?遼寧錦州?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù))，=/(x)對任意實數(shù)“，)’都滿足

2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)t且/⑴=一1,則()

A./(可是偶函數(shù)B./("是奇函數(shù)

c./(x)+/(l-x)=0D.￡/(k)=l

k=\

【答案】AC

【分析】令x=l，y=?？傻?0)=1/o,從而可判斷B；令x=0可判斷A；令4=)，=；,可

得/(《)=()，令x=g可判斷C；由AC的解析可得函數(shù)/(力的周期為2,從而可判斷D.

【詳解】在2f(x)/(y)=f(x+y)+/a-y)中,

令x=l,y=0,可得2〃1)〃0)=2八1),即一2/(0)=-2,解得〃0)=1。0,故B錯誤；

令”=0可得2/(O)〃y)=〃y)+〃-y)W〃y)=〃f,

故函數(shù)/(y)是偶困數(shù)，即/(x)是偶函數(shù)，故A止確；

令x=y=；,則2/，￡|=/(1)+/(0)=0,故/(￡|=仇

令x=；，可得2*)/⑴=/(；+,+/(；_,=0,

故)(司+〃1一”=0,故C正確；

因為“X)是偶函數(shù)，所以〃力于?(一%),故/(-x)+/(lr)=0.

HP/(A-)+/(1+X)=0,

所以/(x+l)+/(2+%)=0,所以f(x+2)=/(x),故函數(shù)/(力的周期為2,

因為〃l)+/(O)=。，/(l)=-h所以/。)+/(2)=/(1)+/(0)=0,/(2023)=/(1)=-1,

202彳

所以￡/(8)=/⑴+/⑵+-+/(2023)=/(2023)=/⑴=7,故D錯誤.

A-1

故選：AC.

練習17.(2023春?河南?高三信陽高中校聯(lián)考階段練習)已知定義在(Y,())U(U,4w)上的函

數(shù)/(X)滿足Va,北(f0)5。，—/佶卜小)7他)，且當工?0，1)時,/W>0,

則下列說法正確的是()

A.〃力是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B.“X)是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)

C./(t)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D./(I)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

【答案】B

【分析】對〃、人進行賦值即可根據(jù)奇偶性的定義進行了數(shù)奇偶性的判斷.

【詳解】/(工)的定義域(e,0)U(0,y)關于原點對稱，

因為Va,Z?e(-co,0)u(0,+co),/^=/(?)-/(/?),

故令〃=-a時，〃7)=/⑷-〃-。)，

令〃=力=］時，/(l)=/(l)-/(l)=0,

令a=l,b=T時，f(T)=f(l)-〃T)=〃T)=0,

???/(。)-/(-a)=。，即/(〃)=/(-。)，

???/("是偶函數(shù)，

又當“€(0,1)時，〃">0,即〃工)不恒為零，故/(同只能為偶函數(shù)，不能為奇函數(shù).

故選:B.

練習18.(2023秋?浙江衢州?高三統(tǒng)考期末)(多選)已知定義在R上的非常數(shù)函數(shù)/(月滿

足f(x+y)=f(x)+/(y)-i,則()

A./(o)=lB./(司-1為奇函數(shù)C./(力是增函數(shù)D.〃力是周期函數(shù)

【答案】AB

【分析】對于A項、B項，令x=)，=0,令丁二一工代入計算即可；對于C項、D項，舉反

練習判斷即可.

【詳解】對于A項，令x=)，=0得：/(0)=2/(0)-1,解得：/(0)=1,故A項正確：

對于B項,令丁二一得：/(0)=/(X)+/(T)7,由A項知，/(0)=1,所以

(/(x)-l)+(f(-x)-l)=O,所以/。)一1為奇函數(shù)，故B項正確;

對于C項，當/V)=T+1時,f(x+y)=-x-y+\t

f(x)+/(y)-l=-x+l+(-y)+l-l=-x-y+l,滿足f(x+y)=/(%)+f(y)T,但

/(X)=T+l是減函數(shù).故C項錯誤：

對于D項，當/(x)=x+l時，f(x+y)=x+y+\,/(x)+/(y)-l=x+l+y+l-l=x+)，+l,

滿足〃x+y)=/*)+/(訓-I,但f(x)=x+1不是周期函數(shù).故D項錯誤.

故選：AB.

練習19.(2022秋.高三單元測試)若定義在R上的函數(shù)/(力滿足：對任意用，WwR,有

〃占+々)=/(斗)+/*2)+1，則下列說法中：①/(力-1為奇函數(shù);②〃力-1為偶函數(shù)；

③/(1)+1為奇函數(shù)；④〃x)+l為偶函數(shù).一定正確的是.

【答案】③

【分析】令%=占=().得〃0)=-1,令再=一人得至++根據(jù)

奇偶性定義即可得答案.

【詳解】對任意不巧eR,有〃再+千)=〃再)+f(w)+l,

令內=々=0,得=

令Xj=X,W=T,得/(O)=/(X)+〃T)+1,

整理得〃X)+1=—”—x)-1=—+故/(x)+l為奇函數(shù)，

無法判斷了(x)-l的奇偶性.

故答案為：③.

練習20.(2023春?廣東廣州?高三統(tǒng)考開學考試)(多選)若定義在(T,0)U(0,位)上的函數(shù)

/(x)滿足：/(Ay)=/(x|+/(y),且/(2)=1,則下列結論中正確的是()

A./(1)=0B./(4)=2

C./(x)+/(f)=。D.小)-/(-工)=。

【答案】ABD

【分析】根據(jù)所給抽象函數(shù)的性質，利用賦值法求解即可判斷各選項.

【詳解】由已知可得函數(shù)的定義域為(f,0)U(0,7O),滿足"邛)=〃x)+/()，)①,

且"2)=1，

對于選項A,可令x=y=l,代入①式，得〃1)=/(1)+/(1),得"1)=0,所以A選項是

正確的；

對于選項B,可令％=y=2,代入①式，得〃4)=〃2)+〃2)=1+1=2,得44)=2,所

以B選項是正確的；

令x=y=T,代入①式，得/(l)=/(T)+/(T)=2/(-l),而/(1)=0得/(T)=0,

可令。=-1代入①式,^/(-x)=/(x)+/(-l)=/(x),整理得f(T)=〃力,

所以C選項是錯誤的，D選項是正確的.

故選：ABD.

題型五抽象函數(shù)的周期性

例9.(2023春?廣西柳州?高二柳州市第三中學校考階段練習)若定義［-2023,2023］上的函數(shù)

/(X)滿足：對任意X，94-2023,2023］有/G+W)=〃X)+/(W)-2022若/(力的最大值

和最小值分別為M,N,則M+N的值為()

A.2022B.2018C.4036D.4044

【答案】D

【分析】由賦值法可得/(X)+〃T)=4044,構造g(x)=/(x)-2022,說明g(x)為奇函數(shù)，

由《L+g(力g=°可得結果,

【詳解】對任意不毛?-2023,2023］有/&+￡)=/(%)+/(&)-2022,則令

%=%=0,/(0)=/(0)+f(0)-2022=/(0)=2022,

令

內=X/=-x,/(0)=/(,r)+/(-x)-2022=/(x)+f(-x)=4044=>-［/(x)-2022］=f(-x)-2022

令g(x)=〃x)-2022,則g(x)=-g(r),故g(力為［-2023,2023］上的奇函數(shù),

故

g()而+g(x)a=。？/(磯而2022+/3四-2022=0?MN=/(x).+/(戈)四二4044

故選：D.

例10.(2023.山西太原.太原五中?？家荒?(多選)已知定義域為R的函數(shù)“X)對任意實

數(shù)乂)'都有/(")，)+/(/7)=2/3/()，)，且/(；)=0,則以下結論一定正確的有()

A./(0)=-1B./")是偶函數(shù)

C.“X)關于中心對稱D.*)+〃2)+…+”2023)=0

IN)

【答案】BC

【分析】根據(jù)賦值法，可判斷/(o)=l或/(0)=0,進而判斷A,根據(jù)賦值法結合奇偶性的

定義可判斷C,根據(jù)偶函數(shù)即可判斷對稱性，根據(jù)對■稱性以及奇偶性可得函數(shù)的周期性，進

而可判斷CD.

【詳解】令x=y=O,則/(0)+/(0)=2/(0)/(0)n/(0)=0或〃0)=1,故A錯誤，

若"0)=1時,令X=o,則/(y)+/(-y)=2/(y)/(0)。/(y)立y),此時〃力是偶函

數(shù),若〃0)=0時，令)，=0,則/(x)+/(x)=2.f(x)/(0)=0?/(x)=O,此時人力既是

偶函數(shù)又是奇函數(shù)；因此B正確，

令x=g，貝1J—)j=2/(g)/()，)=0n/(g+)，)+/(；—)]=0,所以/(力關

于(梟)中心對稱,故C正確，

由〃工)關于(右0)中心充■稱可得/(K)=-/(j)，結合小)是偶函數(shù)，所以

/(%)=?7(I-x)=-f[x-1)=-2))=/(x-2),所以/(%)的周期為2,

令X=)，=g,貝=⑴+/(0)=2/(￡|/]￡|=0,故〃l)+/(2)=f(l)+/(0)=0,

進而〃1)+/(2)+…+/(2022)=1011x[〃l)+/(2)]=0,而“2023)=/⑴=一/(0),由A

選項知"0)=0或f(0)=1,所以〃1)+〃2)+…+/(2()23)=0或-1,故D錯誤.

故選：BC

舉一反三

練習16.(2023?河南開封?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)八外的定義域為R,八外為奇函數(shù)，/(x+1)

22

為偶函數(shù)，且￡/(女)=1，則/(i)=()

￡=】

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性得到函數(shù)的周期為4,得到￡/僅)=/⑴+/(2),根據(jù)條件

/=1

元/(4)=1,解出/⑴.

Jt=l

【詳解】解：因為函數(shù)/⑺的定義域為R,f(x)為奇函數(shù)，所以/(。)=0,

又因為/(x+D為偶函數(shù),所以M的對稱軸為x=1,

則八外為周期函數(shù),周期為4.

則有2/⑻=5(/(1)+/(2)+/(3)+/(4))+(/⑴+/(2)),

設/⑴=，〃，根據(jù)對稱性/(3)=-〃?，且/(0)=/(2)=/(4)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+。4)=0,所以

22

￡/(^)=5(/(1)+/⑵+〃3)+/(4))+(/⑴+/(2))=/(I)+f(2),

n】

即/⑴+/(2)=6+0=〃?，

因為￡/伙)=1，所以〃2=1，B[j/(I)=m=1.

i-1

故選：c.

練習17.(2023?安徽合肥?二模)若定義域為R的奇函數(shù)肥X)滿足『(x)=f(x+D+〃xT),

且/⑴=2,則八2024)=.

【答案】2

【分析】利用賦值法及奇函數(shù)的定義，結合函數(shù)的周期性即可求解.

【詳解】由/(x)=/(x+D+/(x-l),得〃x+l)=/(x+2)+/(x),

所以/*)-/U-l)=/(x-2)+f(x),BP-f(x-l)=/(x+2),于是有-f[x}=所x+3),

所以-fix+3)=/(x+6),即〃力=/(x+6).

所以函數(shù)的周期為6.

因為/(A)是定義域為R的奇函數(shù)，

所以/(■?)=-〃O),UP/(0)=0.

令x=l,則/(l)=/(2)+f(0),解得/(2)=/⑴一/(0)=2,

所以/(2024)=/(337x6+2)=/(2)=2.

故答案為：2.

練習18.(2023?河南洛陽?統(tǒng)考模擬預測)已知/(“是定義在R上的奇函數(shù)，若/?為

偶函數(shù)且/⑴=2,則/(2022)+/(2023)+/(2024)=()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)給定的奇偶性，推理計算得了(x+6)=/(x),再結合已知值及周期性求解作答.

【詳解】因為/(“是定義在R上的奇函數(shù)，則/(r)=-/(x)，且/(。)=0,

乂/1+￡|為偶函數(shù)，則《一+￡|=/卜+￡|,即/Q+3)=/(-x),

于是/(x+3)=-/(幻，則「x+6)=-/(x+3)=/(x),即/(可是以6為周期的周期函數(shù)，

由"1)=2,得/。)=〃1)=2，/(2022)=/(6x337)=/(0)=0,

/(2023)=/(6x337+l)=/(l)=2,/(2024)=/(6x337+2)=/(2)=2,

所以/(2022)+/(2023)+/(2024)=4.

故選：D

練習19.(2023春?四川涼山?高二寧南中學?？茧A段練E)已知定義在R上的函數(shù)/(1)滿

足=且函數(shù)〃x+l)是偶函數(shù)，當xw[—l,0]時，〃耳=1一/,則《半卜

()

9卜16「34八41

A.—B.—C.—D.—

25252525

【答案】C

【分析】由函數(shù)/(X+D是偶函數(shù)，可得函數(shù)/(*)的圖像關于直線x=l對稱，從而有

/(-x)=/(x+2),再結合/(x)=2-/(-x)可得函數(shù)/(幻的周期為4,然后利用周期和

f(x)=2-f(一幻將爭億至IJ上即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/(X+D是偶函數(shù),所以尸(1-x)=H1+X),所以解T)=/(X+2),

因為/*)=2-/X—x),所以/(x)+/(x+2)=2,所以/a+2)+/(x+4)=2,

所以fM=f(x+4),所以函數(shù)/(x)的周期為4,

所以/(等)=/(IOlx4+|)=/(|),

H/(|)=2-/(-|)=2--(-|)2]=,所以不豹嗖，

故選：C.

練習20.(2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考二模)已知/(X),都是定義在R上的函數(shù)，對任意

X,y滿足/(x-y)=/(x)g(.y)-g(x)〃y),且/(一2)=/(1)*0,則下列說法正確的是()

A./(o)=lB.函數(shù)g(2x+l)的圖象關于點(1,0)對稱

20”

c.g⑴+g(—1)=0D,若/(1)=1,則￡/(〃)=1

n=l

【答案】D

【分析】利用賦值法結合題目給定的條件可判斷AC,取/(x)=s吟蒼g(x)=cosgx?可

判斷B,對于D,通過觀察選項可以推斷/(工)很可能是周期函數(shù)，結合/(x)g(y)，g(x)/(y)

的特殊性及一些已經證明的結論，想到令y=-i和丁=1時可構建出兩個式子，兩式相加即可

W3

得出J'(x+l)+/(x-l)=—/(x),進一步得出/(x)是周期函數(shù)，從而可求之/(〃)的值.

H-I

【詳解】解:對于A,令x=y=O,代入已知等式得于(O)=jf(O)g(O)-g(O)f(O)=O,得

/(0)=0,故A錯誤；

對于B,取/(x)=sinF:r,g(x)=cos￥x,滿足了(工一j)=/(x)g(y)—x(x)/(y)及

JJ

/(-2)=/(1)#0,

因為g(3)=cos27t=lwO,所以g(x)的圖象不關于點(3,0)對稱,

所以函數(shù)g(2x+l)的圖象不關「點(1,0)對稱，故B錯誤；

對于C,令y=O,x=l,代入已知等式得/(1)=/⑴g[O)-g⑴/(O),

可得了⑴口一屋。)]=一晨1)/(0)=。，結合/⑴工。得l-g⑼=0，g(o)=l，

再令x=o,代入已知等式得〃-)，)=/(o)g(y)-g(o)f(y),

將"0)=0,g(0)=i代入上式,得/㈠)=-/(y),所以函數(shù)〃刈為奇函數(shù).

令X=l,y=T,代入已知等式，得f⑵=/⑴g(-l)-g⑴〃-1),

因為〃-1)=一/(1)，所以〃2)=〃l)[g(T)+g⑴],

又因為”2)=-"-2)=-/⑴，所以于(l)="l)[g(f+g⑴],

因為/⑴/0,所以g⑴+屋一1)=一1，故C錯誤；

對于D,分別令＞=-1和y=l,代入已知等式，得以下兩個等式：

/(X+l)=/(A-)^(-l)-^(A)/(-l),/(X-l)=/(X)g(I)-^(A)/(l),

兩式相加易得/(X+1)+/(X—l)=—/(x),所以有/(x+2)十/(耳二一/(戈十1),

即：f(x)=-f(x+l)-〃%+2),

有：-〃x)+/(x)=/(xM)+/(x-l)-/(x+l)-/(x+2)=。，

即：/(x-l)=/(x+2),所以/(”為周期函數(shù)，且周期為3,

因為/⑴=1,所以〃一2)=1,所以42)=—/(—2)=7,/(3)=/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+/⑶=0,

個(P3

所以2/(〃)=1=川)+/(2)+/(3)+-+/(2023)=/(2023)=/(1)=1,故D正確.

n=1

故選：D.

題型六抽象函數(shù)求解不等式

例U.(2022?海南?校聯(lián)考模擬預測)(多選)已知定義在R上的函數(shù)/(“不恒等于零.同

時滿足/(x+)，)=/(x)/(y)，且當x>()時，/(x)>2022,那么當x<0時，下列結論不正

確的為()

A.-1</(x)<0B./(x)<-l

i

C./(-r)>1D.o</W<

2022

【答案】ABC

【分析】令x=l，)，=?？傻?0)=1,令'=一工可得/(一”=宙.當x<0時,r>0,根據(jù)

已知條件得/(一)>2022,即6>2022，所以。<“刃<圭.

【詳解】對任意x,ywR,恒有/(x+y)=/(x)/(y),

令x=l,y=0可得/(l+0)=/(l)/(0),

因為當x>0時,/(x)>2022,故〃1)>2022,所以/⑼=1,

令尸一x,可得/(0)=/(_r_x)=/3/(—x)=l,所以/(一卜詩康

當xv0時,-x>0,根據(jù)已知條件得/(-%)>2022，即-r-7>2022,所以0</(“<-L-

J\^)2022

故選：ABC.

例12.(2023?高三課時練習)已知/(x)是定義在R上的減函數(shù)，且對Vx,)，eR,

/(x+)，)=/(x)+/(y),若/(七一">°，則x的取值范圍為()

A.(l,+oo)B.(0,1)C.(0,y)D.(-1,0)

【答案】A

【分析】利用已知條件賦值求出/(。)=0,結合函數(shù)的單調性解不等式.

【詳解】因為〃x+N)=/(x)+/(y)，

令4二),=0,易得/(0)=0.

因為/(“是定義在R上的減函數(shù)，且

所以2T<0,解得x>l.

故選：A.

舉一反三

練習21.(2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶市鳳鳴山中學?？计谥?已知函數(shù))，=/(x)CrcR)的

圖象如圖所示，則不等式MXM<。的解集為.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象以及不等式的等價關系即可.

x>0fx<0

【詳解】解：不等式等價為<、八或、八，

則l<x<3,或一l<x<0.

故不等式刀(x)vO的解集是(T,0)11(1，3).

故答案為(T0)U(l