§4.8正弦定理、余弦定理

【課標(biāo)要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用3能利代正弦定理、余

弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為外接圓半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=_____________；

%===2R

內(nèi)容sin/llr=_____________；

?=______________

⑴a=2RsinA,

b=____________,

c=____________；cosA=________；

變形(2)sinA=^-,cosB=________；

sinB=__________?cosC=_________

sinC=__________；

(3)a:b:c=________________

2.三角形解的判斷

A為銳角4為鈍角或直角

C

圖形

ABA補(bǔ)一％A'B

關(guān)系式a=hs\nAhsinA<a<ba2ba>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解

3.三角形中常用的面積公式

⑴S=gc九表示邊。上的高）；

（2）5===

（3）5=（r為三角形的內(nèi)切圓半徑）.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“Y”或“X”）

(I)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.()

(2)在aABC中，若sinA>sinB,貝!a>b.()

(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.()

(4)當(dāng)〃2+c%2〉。時(shí)，△A8C為銳角三角形；當(dāng)從+c%2=。時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)/十。%2V。時(shí)，*

A8C為鈍角三角形.()

2.已知AABC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為小b,c,若b=6,a=\,8號(hào)，則c等于()

A.V5B.2C.V3D.3

3.在8c中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為小b,c,若用80,〃二100,4=45。，則符合條件的三角形有

A.一個(gè)B.兩個(gè)

C.0個(gè)D.不能確定

4.在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=4,b=5,c=6,則cosA=,AABC

的面積為.

1.熟記△ABC中的以下常用結(jié)論：

⑴A+B+O兀，—

''222

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊，0A>8=sinA>sincosA<cosB.

(4)sin(A+B)=sinC：cos(A+B)=cosC；tan(A+8尸tanC：sin^^=cospcos^^=sin|.

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccos8；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(6)三角形的面積S=Jp(p-a)(p—b)(p-c)(p=+b+c)).

⑺在斜△AAC中，tan4+tanB+tanC=tanAtan/?tanC.

2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)

(1)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理解三角形時(shí)，注意解的個(gè)數(shù)討論，可能有一解、兩解或無(wú)解.

(2)求用時(shí)易忽略角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤，需要根據(jù)大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的規(guī)則，畫圖幫助判斷.

題型一利用正弦、余弦定理解三角形

例1⑴(2025?重慶模擬)在△A4C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,且從+d+3=a2若慶歷,

?=3V2sinB,則C等于()

B.-C-

,8

（2）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若68,c=3,71=60°,則此三角形外接圓的半徑

R等于（）

A隨B芋cZ吟

?3J3

思維升華應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧

（I）求邊：利用正弦定理變形公式等或余弦定理求解.

sinB

（2）求角：利用正弦定理變形公式sin4二嚶等或余弦定理的推論求解.

D

（3）利用式子的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)〃+/元：2y時(shí)的形式用余弦定理，等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式

用正弦定理.

跟蹤訓(xùn)練1⑴（2025?八省聯(lián)考）在中，BC=8,AGIO,cosZBAC=1,則△ABC的百積為（）

A.6B.8

C.24D.48

（2）（多選）在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知。+410,c=5,sin2B+sinB=0,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.a=3B.b=7

C.B=60°D.sinC=—

14

題型二正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

命題點(diǎn)1三角形的形狀判斷

例2在中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若cocos3=（2時(shí)）cos4,則△ABC的形狀

為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

命題點(diǎn)2三角形的面積

例3（2024.武漢模擬）在△A8C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若8=芋，b=6,

4

?2+C2=2V2?C,則△ABC的面積為.

命題點(diǎn)3與平面幾何有關(guān)的問題

例4已知。是RtZLABC斜邊AC上一點(diǎn)，AC=V3DC.

則叫+sina=sin")

ABACAD

3.中線長(zhǎng)定理

在△AB。中，AO為8C邊上的中線，貝ljAB2+AC2：=2(AD2+OC2).

典例⑴在△A8C中，角A,4，C所對(duì)的邊分別為atb,c,若a=7,b=S,c=9,則4c邊上的中線長(zhǎng)

為.

(2)在aABC中，角A,8,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,A。是/84C的角平分線，若NR4C=弓，AO=28，

貝ij2Z?+c的最小值為.

答案精析

落實(shí)主干知識(shí)

肅b^2beosA

sinBC

c2+a2lcacosBa2+b22abcosC

2/?sinB2/?sinC——

2R2R

sinA：sin8：sinC

后+。2_/C2+M_MM+b2_c2

2bc2ac2ab

3.(2)^absinCgacsinHg/xsinA

(3)|r(?+b+c)

自主診斷

l.(l)X(2)7(3)X(4)X

2.B3.B4.--

44

探究核心題型

例1(1)D［在△48C中，由/+J+bc=/及余弦定理，可得cosA二匕弟竺弓，

由0<.4<7T,可得A=y,

又b=n,(/=3V2sinB,

+但?nbsinA布sin芋近段1

由正弦理付===

/EsinB=---a--_3V/x2s.in_B_3pvr2s.in_B_2s.m￡_?.

又sinB>0,解得sin又當(dāng),

又0<6吟,因此，

所以C=TL48*

(2)D［因?yàn)閎=8,c=3,A=60°,

PjfUa2=b2+c22bccos4=64+92X8X3X1=49,所以a=7,

所以此三角形外接圓的直徑2/?=號(hào)二卷=嘩，所以R=竽.］

s\nAv333

2

跟蹤訓(xùn)練1(1)C［由余弦定理得BC2=AC2+AB22ABACeosZGSP64=100+/t/?22ABX10X-,

5

???A8?12AB+36=0,

/MB=6,：.AB2+BC2=AC\???A8_L8C,

BC=1X6X8=24.|

(2)ABD［由sin2B+sinB=0,得

2sinSeos8+sin8=0,

因?yàn)樵凇鰽BC中，sin,

得cosB二：,

由余弦定理b2=a2+c22accosB,

得加=4+522x4><5乂(-3,

因?yàn)閎=10a,所以(10o)2=a2+522XaX5X(—m,解得a=3,所以/k7.

由cosB=^,得B=120°,

貝ijsinB與

由正弦定理得sinC=^sin5=1x］

例2D［方法一因?yàn)閏f/cos/?=(2r?/>)cosA,

C=n(A+B),

所以由正弦定理得sinCsinAcosB

=2sinAcosAsin8cosA,

所以sinAcos8+cosAsinfisinAcosB

=2sinAcosAsin8cosA,

所以cosA(sinBsinA)=0,

所以cosA=0或sin8=sinA,

所以或B=A或8=TL4（舍去），

所以AABC為等腰或直角三角形.

方法二因?yàn)閏acosB

=(2?/?)cosA,

由余弦定理得必安

222

s,Ab+c-a

二(2⑼

化簡(jiǎn)得(ROS'd/AO,

所以ab=O或Z?2+c2a2=O,

所以a=b或b2+c2=a2,

故△A8C為等腰或直角三角形.]

例33

解析由余弦定理得b^+^accosB,

即36=a2+c2+>/2ac

=2y/2iic+V2ac=3y/2ac,

所以(vc=6x/2,

所以△A8C的面積

Smcsin%X6&X*3.

例4(1)120°(2)72

AC_DC

解析(1)在△AOC中，由正弦定理得

sinzjlOCsinzD/lC

/ICsin4OAC

所以sinZ/4￡)C=

DC

又/ADC=B+/BAD

=B+(90°ZDAC)

=B+60°>60°,

所以/AOC=120。.

⑵由BD=2DC,且DC=1知BC=3,

又AC=V3DC,則AC=V5,

所以RtAABC中，cosC=^=v,

BC3

在△4OC中，由余弦定理得

AD2=AC2+DC22ACDCCOSC=(V3)2+12V3XIXy=2,

所以AD=V2.

跟蹤訓(xùn)練2(1)等邊三角形

解析因?yàn)楫?dāng)=2,

sinBc

所以售9,所以b=c.

又(Z?+c+a)S+c〃)=3Z?c,

所以b2+c2a2=bc,

訴卜)b2+c2-a2be1

所以cosA=——-----

2bc2bc2

因?yàn)锳E(0,兀)，所以A=5,

所以AA8c是等邊三角形.

⑵解①由余弦定理有a2+b2c2=2al)cosC,

因?yàn)閍2+b2c2=V2ah,

所以cos,

因?yàn)镃e(o,兀)，所以sin。。，

從而sinC=V1—cos2C

FW

又因?yàn)閟inC=V2cosB,

即cos,

又8￡（0,兀），所以

J

②由①可得,cosC=?,C￡（o,n）,

從而C=-,sinA=sin（B+Q

4

=sin（7+Z）

>/3^>/2lV2_V6+V2

-A1—Xv——--------.

22224

方法一由正弦定理有當(dāng)二人，

sinjsin-

從而/>=y-V2（?=Yc，

由三角形面積公式可知，

△48C的面積可表示為

5.MBC=1/?c-sinA

1遍V6+V23+V32

=----C-C-------=-----C,

2248

由已知△A8C的面積為3+V3,

可得竽（2=3+g,所以C-2V2.

O

方法二記R為△A8C外接圓的半徑，

由正弦定理得

Sxx'bs