專題16概率復(fù)習(xí)考點攻略

一、考點歸綱與例題評解

士考點一概率的定義與事件的分類

1.概率：率的統(tǒng)計定義：一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率“會稔定在

tn

某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率。

2.必然事件：在一定條件下一定會發(fā)生的事件，它的概率是I.

3.不可能事件：在一定條件下一定不會發(fā)生的事件，它的概率是0.

4.隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，它的概率是0?1之間.

［例1］下列事件中是不可能事件的是（）

A.守株待兔B.甕中捉鱉C.水中撈月D.百步穿楊

【答案】C

【解析】解：A、守株待兔，不一定就能達到，是隨機事件，故選項不符合；

B、甕中捉鱉是必然事件，故選項不符合；

C、水中撈月，一定不能達到，是不可能事件，選項不符合；

D、百步穿楊，未必達到，是隨機事件，故選項不符合；故選C.

中考點二概率的計算

1.公式法：P（＞4）=-,其中〃為所有事件的總數(shù)，也為事件A發(fā)生的總次數(shù).

n

2.列舉法

（1）列表法：當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)FI較多時，應(yīng)不重不漏

地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法求事件發(fā)生的概率.

（2）畫樹狀圖法：當(dāng)?次試驗要涉及2個或更多的因素時，通常采用畫樹狀圖來求事件發(fā)

生的概率.

【注意】當(dāng)一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列

出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。

［例2］不透明袋中裝有大小形狀質(zhì)地完全相同的四個不同顏色的小球，顏色分別是紅色、

白色、藍色、黃色，從中一次性隨機取出2個小球，取出2個小球的顏色恰好是一紅一藍的

概率是______

【答案】春

【解析】解：畫樹狀圖如下:

紅白￡黃

/\小小/\

白公黃0公黃紅白雷紅白董

由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果，其中取出2個小球的顏色恰好是一紅一藍的有2種結(jié)

果，

91

所以取出2個小球的顏色恰好是一紅一藍的概率為*=看，

1Zb

故答案為：-y.

【例3】如圖是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到

一個小矩形.將一個飛鏢隨機投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（）

【答案】B

【解析】解：如圖，連接EG,FH,

BG

設(shè)AD-BC-2a,AB-DC-2b,貝I」FH-AD-2a,EG-AB-2b,

VM,O,P,N點分別是各邊的中點，.\OP=MN=—FH=a,MO=NP=—EG=b,

22

四邊形MOPN是矩形，，S期彩MOPN=OP,MO=ab,S陽彬=S莢形EFGHS處形MOPN=2abab=ab,

士考點三利用頻率估計概率

1.定義：一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)。附近，因此，

用一個事件發(fā)生的頻率絲來估計這一事件發(fā)生的概率.

n

2.適用條件：當(dāng)試驗的所有可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，我

們一般要通過統(tǒng)計頻率來估計概率.

3.方法：進行大量重復(fù)試驗，當(dāng)事件發(fā)生的頻率越來越靠近?個常數(shù)時，該常數(shù)就可認為

是這個事件發(fā)生的概率.

【例4】為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區(qū)1000名九年級男生的身

高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下.

人數(shù)60260550130

A.0.32B,0.55C,0.68D.0.87

【答案】C

所以估計抽查該地區(qū)一名九年級男生的身高不低于170cm的概率是0.68.故選：C.

中考點四概率的應(yīng)用

概率是和實際結(jié)合非常緊密的數(shù)學(xué)知識，可以對生活中的某些現(xiàn)象做出評判，如解釋摸獎、

評判游戲活動的公平性、數(shù)學(xué)競賽獲獎的可能性等等，還可以對某些事件做出決策.

【例5】今年2-4月某市出現(xiàn)了200名新冠肺炎患者，市委根據(jù)黨中央的決定，對患苕進

行了免費治療.圖1是該市輕癥、重癥、危重癥三類患者的人數(shù)分布統(tǒng)計圖（不完整），圖

2是這三類患者的人均治療費用統(tǒng)計圖.請回答下列問題.（1）輕癥患者的人數(shù)是多少？（2）

該市為治療危重癥患者共花費多少萬元？（3）所有患者的平均治療費用是多少萬元？（4）

由于部分輕癥患者康復(fù)出院，為減少病房擁擠，擬對某病房中的小B、C、。、E五位患者

任選兩位轉(zhuǎn)入另一病房，請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中仄。兩位患者的概率.

(1)本次接受調(diào)查的初中學(xué)生人數(shù)為,圖①中機的值為;

(2)求統(tǒng)計的這組每天在校體育活動時間數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)根據(jù)統(tǒng)計的這組每天在校體育活動時間的樣本數(shù)據(jù)，若該校共有800名初中學(xué)生，估

計該校每天在校體育活動時間大于1h的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)40,25：(2)1.5；(3)720人

【解析】解:(1)4+10%;40,

10^40x100%=25%.

，〃=25.

故答案為40:25.

0.9x4+1.2x8+1.5x15+1.8x10+2.1x3

⑵1.5,

4+8+15+10+3

，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.5.

???這組數(shù)據(jù)中，1.5出現(xiàn)了15次，出現(xiàn)的次數(shù)最多,

???這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.5.

???將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個數(shù)都是1.5,有老三=1.5,

???這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.5.

⑶在統(tǒng)計的這組每天在校體育活動時間的樣本數(shù)據(jù)中，每天在校體育活動時間大于1h的學(xué)

生人數(shù)占90%,

???估計該校800名初中學(xué)生中，每天在校體育活動時間大于1h的人數(shù)占90%,有

800X90%=720(A).

二、眼蹤拓展訓(xùn)爍題

第一部分選擇題

一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分）

1.下列事件中，是必然事件的是（）

A.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定正面向上

B.車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈

C.如果標(biāo)二",那么a=b

D.將花生油滴在水中，油會浮在水面上

【答案】

【解析】A.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上是隨機事件.

B.車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈是隨機事件；

C.如果標(biāo)二加，那么〃二力，也可能是〃=-6此事件是隨機事件；

D.將花生油滴在水中，油會浮在水面上是必然事件；

故選D.

2.如圖是?個游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針落在數(shù)字“II”所示區(qū)域內(nèi)

的概率是（）

-

-

A.D.8

【答案】A

3.如圖，電路圖上有4個開關(guān)A、B、C、。和1個小燈泡，同時閉合開關(guān)A、8或同時

閉合開關(guān)C、。都可以使小燈泡發(fā)光.卜.列操作中，“小燈泡發(fā)兒”這個事件是隨機事件的

是（）

\Y

A

/J

CD

e

A.只閉合1個開關(guān)B.只閉合2個開關(guān)C.只閉合3個開關(guān)D.閉合4個開關(guān)

【答案】B

【解析】解：由小燈泡要發(fā)光，則電路一定是一個閉合的回路，

只閉合1個開關(guān)，小燈泡不發(fā)光，所以是一個不可能事件，所以A不符合題意；

閉合4個開關(guān)，小燈泡發(fā)光是必然事件，所以D不符合題意；

只閉合2個開關(guān)，小燈泡有可能發(fā)光，也有可能不發(fā)光，所以B符合題意；

只閉合3個開關(guān)，小燈泡一定發(fā)光，是必然事件，所以C不符合題意.故選B.

4.小明用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規(guī)律徘放了一組圖案(如圖所示)，每個圖

案中他只在最下面的正方體上寫“心''字，寓意“不忘初心其中第(1)個圖案中有1個正方體，

第(2)個圖案中有3個正方體，第(3)個圖案中有6個正方體，……按照此規(guī)律，從第(100)個圖

案所需正方體中隨機抽取一個正方體，抽到帶"心'’字正方體的概率是()

(1)(2)(4)

C1

A.——B.—C.一

10020101

【答案】D

【解析】解：由圖可知：第1個圖形共有I個正方體,最下面有1個帶"心'’字正方體:

第2個圖形共有1+2=3個正方體，最下面有2個帶“心”字正方體;

第3個圖形共有1+2+3=6個正方體，最下面有3個帶“心”字正方體;

第4個圖形共有1+2+3+4=10個正方體，最下面有4個芍“心”字正方體；…

故選：D.

5.小李與小陳做猜拳游戲，規(guī)定每人每次至少出一個手指，兩人出拳的手指之和為偶數(shù)時小

李獲勝，那么小李獲勝的概率為()

【答案】A

【解析】畫出樹狀圖，共有25個等可能的結(jié)果，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有13

個，

由概率公式得出答案.

畫輸樹狀圖如K：亦***

共有25個等可能的結(jié)果，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有13個，

???小李獲勝的概率為圣，故選A.

6.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上一面的點數(shù)依次記為mb.那么方程F+ar+b=。有

解的概率是（）

A1B1CAD.普

231536

【答案】D.

【解析】畫樹狀圖展示所有36種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出使岸?4以）,即展Mb的結(jié)果數(shù),

然后根據(jù)概率公式求解.畫樹狀圖為：

?23

123456t345?123456

4s6

123456,J123456

共有36種等可能的結(jié)果數(shù),其中使*-4生0,即企4b的有19種,

二方程/+仆+力=0有解的概率是當(dāng)

36

7.如圖，電路圖上有四個開關(guān)4、8、C、。和一個小燈泡，則任意閉合其中兩個開關(guān)，小

燈泡發(fā)光的概率是

1C1I

A.2-B.4-D.6-

【解析】回樹狀圖得:

開始

ABCD

/|\/NZK/1\

BCDACDABDABC

???共有12種等可能的結(jié)果，現(xiàn)任意閉合其中兩個開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的有6種情況,

???小燈泡發(fā)光的概率為9■二故選A.

122

8.為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取r該地區(qū)loo名九年級男生，他們的身高

x(cm)統(tǒng)計如卜：

組別(cm);<160160<x<l70170<r<180x>180

人數(shù)5384215

根據(jù)以上結(jié)果，抽查該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于180cm的概率是

A.0.85B.0.57C.0.42D.0.15

【答案】D

1弓

【解析】樣本中身高不低于180cm的頻率=孤=0.15,所以估計他的身高不低于180cm的

概率是0.15.故選D.

9.現(xiàn)有4條線段，長度依次是2、4、6、7,從中任選三務(wù)，能組成三角形的概率是()

11「33

A.—B.—C.-D.一

4254

【答案】B

【解析】解：從長度分別為2、4、6、7的四條線段中任選三條有如下4種情況：2、4、6；

2、4、7；

2、6、7；4、6、7；其中能構(gòu)成三角形的有2、6、7；4、6、7這兩種情況，

10.某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：

射擊次數(shù)20801002004001000

“射中九環(huán)以上”的次數(shù)186882168327823

“射中九環(huán)以上”的頻率

0.900.850.820.840.820.82

（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約是（）

A.0.90B.0.82C.0.85D.0.84

【答案】B

【解析】解：???從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.82附近，

，這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率是0.82.故選：B.

第二部分填空題

二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）

11.在一個不透明的袋子中裝有4個白球，a個紅球.這些球除顏色外都相同.若從袋子中隨

機摸出1個球，摸到紅球的概率為馬，則。=______.

3

【答案】8

12.表中記錄了某種蘋果樹苗在?定條件下移植成活的情況：

移植的棵樹〃200500800200012000

成活的棵樹用187446730179010836

成活的頻率絲

0.9350.8920.9130.8950.903

n

由此估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為.（精確到0.1）

【答案】0.9

【分析】利用表格中的數(shù)據(jù)求出多批次成活率的平均數(shù)即可估算這種蘋果樹移植成活率的概

率.

【詳解】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知：

所以估計這種蘋果樹苗移植成活的概率約為0.9.故答案為：0.9.

13.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，每枚骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，則這兩枚骰子向

上的一面出現(xiàn)的點數(shù)相同的概率為.

【答案】7

6

【解析】列表得：

(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

由表可知一共有36種情況，兩枚骰子點數(shù)相同的有6種，

所以兩枚骰子點數(shù)相同的概率為三=，

14.大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打嬴疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用.如圖是小明同學(xué)的蘇康因（綠

碼）示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的

總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率稔定在

0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為cm2.

【答案】2.4

???經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，

15.在一個不透明布袋里裝有3個白球、2個紅球和。個黃球，這些球除顏色不同其它沒有

任何區(qū)別.若從該布袋里任意摸出1個球，該球是黃球的概率為之，則。等于.

【答案】5.

【解析】根據(jù)題意知肅7-=4，

解得4=5,

經(jīng)檢驗：4=5是原分式方程的解，

.?.a=5,故答案為：5.

則

序，

出場順

式?jīng)Q定

抽簽方

人通過

、丙三

甲、乙

賽，

講比

次演

亍一

備舉，

）班準(zhǔn)

九（1

某校

16.

是.

概率

丙的

乙、

是甲、

序恰好

出場順

】7

【答案

6

圖得：

出樹狀

：畫

】解

【解析

開始

丙

乙

甲

/\

/\

/\

乙丙甲丙甲乙

—————I——

丙乙丙甲乙甲

結(jié)果，

I種

只有

丙的

、乙、

好是甲

順序恰

中出場

，其

的結(jié)果

等可能

有6種

???共

7-

案為：

，故答

為9

概率

、丙的

、乙

好是甲

順序恰

???出場

6

6

題

解答

部分

第三

分）

46

題，共

6小

題有

題（本

解答

三、

.

相同

外都

顏色

們除

球，它

1個黃

球、1

個白

球、5

個紅

中有4

的布袋