專題7函數(shù)中的雙變量問(wèn)題

一、考情分析

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)在函數(shù)背景下借組導(dǎo)

數(shù)處理含有兩個(gè)變量的等式與不等式問(wèn)題，這類問(wèn)題由于變量多，不少同學(xué)不知如何下手,其實(shí)如能以函

數(shù)思想為指導(dǎo)，把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或兩個(gè)一元函數(shù)問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)就可有效地加以解決.

二、解題秘籍

（一）與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的雙變量問(wèn)題

此類問(wèn)題一般是給出含有%,毛，/（與），/（々）的不等式，若能通過(guò)變形，把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù)，可利

用函數(shù)單調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解.

常見(jiàn)結(jié)論：

（1）若對(duì)任意不總€(gè)。,當(dāng)再工X時(shí)恒有,⑸一/⑸＞0.則v=f（幻在。上是增函數(shù)；

（2）若對(duì)任意當(dāng)x產(chǎn)/時(shí)恒有"）＞女,則y=f（x）-匕在力上是增函數(shù);

X）—x2

⑶若對(duì)任意當(dāng)王工居時(shí)恒有小上9＞—?jiǎng)t），=/（x）+A在D上是增函數(shù)；

X,-x,x1x2X

（4）若對(duì)任意e。，當(dāng)x產(chǎn)占時(shí)恒有以兄—+元,則y=/（x）-f在。上是增函數(shù).

內(nèi)一/

[例I]（2024屆四川省仁壽第一中學(xué)校高三上學(xué)期第一次調(diào)研）已知函數(shù)/（外=上等.

⑴求/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）存在與”（1，欣）且X]/工2，使|f（M）-.f（X2）|*|lnxTnx2|成立，求k的取值范圍.

【解析】（1）由題意得r（1）=三竺，令/"*）=（）得1=1,

xe（0,l）時(shí)，｛）＞0,/⑶在（QD上單調(diào)遞增;

xe（l,+oo）時(shí)，r（x）＜0,/⑴在（l,+oo）上單調(diào)遞減；

綜上，/“）單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（1，田）.

（2）由題意存在外,玉6（1，*°）且工產(chǎn)工2，不妨設(shè)再＞工2＞1，

由（1）知XW（l,+8）時(shí),/（X）單調(diào)遞減.

|/（%）-/（七）|"何內(nèi)一加為|等價(jià)于/（毛）一/（公）“（111百一111%），

即f（玉）+—nW2/（%）+及In菁,

即存在不，&e。.”)且內(nèi)，使j(*)+klnwN/(xJ+AInX]成立.

令人(x)=f(x)+Idnx,則心)在(1,-KO)上存在減區(qū)間.

即力，(幻=，干X<0在(|,y)上有解集，即攵<坐在(h-KO)上有解，

.r廠

.(41nx\

即/<——,X€(L-KO)；

IX/max

/x41nx.，/、4(l-21nx)

令z(％)=——,XG(l,+eo),f(x)-、7,

.1

時(shí)，/1(x)>(),?x)在上單調(diào)遞增，

X?人,+B)時(shí),t'(x)<0,?x)在(至+8)單調(diào)遞減,

團(tuán)?X)max=?五)=一2，團(tuán)&<一2.

ee

(二)與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題

與極值點(diǎn)和七有關(guān)的雙變量問(wèn)題，一般是根據(jù)公看是方程/'(工)=0的兩個(gè)根，確定西，/的關(guān)系，再通過(guò)消

元轉(zhuǎn)化為只含有用或々的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)解題，有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為百，七的齊次式，然后轉(zhuǎn)化

為關(guān)于上的函數(shù)，此外若題中含有參數(shù)也可考慮把所給式子轉(zhuǎn)化為關(guān)r參數(shù)的表達(dá)式.

為

[ft2](2024屆福建省福州第一中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)量檢查)已知函數(shù)〃”=?-21門(mén)-0.

X

⑴若X￡(O,1),/(.t)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍，

⑵設(shè)4，巧是函數(shù)/("的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：土牛匚.

【解析】(1)當(dāng)心0時(shí)，

r(x)=a-2+二=江一<+",在xe(O,l)時(shí)，/(“<()./'(X)單調(diào)遞減,

Xx~x~

又F(l)=a—o—a=o,所以f(x)>0,不滿足題意;

、ar2-2x+a

當(dāng)〃>()時(shí),f(x)=----33----

若A=4—4/?0,即時(shí)，f(x)>0,/(x)在x?0,l)上單調(diào)遞增,

又/(1)=。一0-。=0,所以/(x)<0,滿足題意;

若A=4-4〃2>0,即。<”1時(shí)，

令尸3=0,可得0<玉=三叵i+Vi-?2

<1,X)=>1，

當(dāng)xe0,-^--時(shí)，/qx)>0,/(X)單調(diào)遞增,

當(dāng)犬e七J五”時(shí)，/(“<°，/'(X)單調(diào)遞減，

而/?(1)=〃-0—〃=0,所以/--->0,

\人&大俏

不滿足f(x)在XW(O1)l-./W<0.

綜上所述，a>\；

(2)當(dāng)時(shí)，

由工>()得/"(刈=竺二^<0,“力單調(diào)遞減，無(wú)極值，不滿足題意;

X

當(dāng)〃〉0時(shí)，f\x)=ax~~^x+a,

若A=4—4/K0,即aNl時(shí)，尸(耳20,/(x)在xe(0,l)上單調(diào)遞增，

無(wú)極值，不滿足題意；

若A=4-4〃2>0，B|J0<?<1Hl,

令(3=0,可得(」一日藍(lán),乂此時(shí)看〉不，

a~a

當(dāng)xc0,」——時(shí)，戶了)>0,“X)單調(diào)遞增，

\Z

當(dāng)力el-x/T^7時(shí)，/5)<(),外力單調(diào)遞減，

\Z

當(dāng)xe二件8時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞增，

\/

所以f(x)為極大值,/(%)為極小值,

2

且用+電=,，內(nèi)出=1，/(X1)>/(X2),

要證|/國(guó))--&)|<*要，即證

即F(X)7(W)＜2(Wf)，

,、1i)

即證：/(%)-/—<2---X,

J(XJ

即證：?《)=/&)—/(J—2(JT卜0<尤<1)

則"力=2"：+^^+2」2"2)/：,+伽+2),

因?yàn)椤?16-4(2〃+2)2=-16/-324<0,

故s(x)在(0,1)上為減函數(shù),故s(x)<s⑴=0,

故小)-1)<2(口[,0<]<1成立，

故|f(*)-/(吃)|<?

【例3】(2023屆云南省曲靖市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考)已知函數(shù)/(力=；X2+4山—4.(7>()).

(1)當(dāng)。=3時(shí)，試討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)芭，七(X<W)，證明：/(%)+/(毛)>皿〃-10.

【解析】(1)當(dāng)。=3時(shí)，/(彳)=；/+3111工-4彳定義域?yàn)閤e(0,+8),

行、3.X2-4X+3(X-I)(X-3)

f(x)=x+4=---------=----------,

XXX

令f'(x)=0解得x=l或3,且當(dāng)0</<1或x>3時(shí),，/,工)>0,當(dāng)l<x<3時(shí)，/Z(A)<0,

所以當(dāng)0<x<l或x>3時(shí)，/(X)單調(diào)遞增，當(dāng)l<x<3時(shí)，/(力單調(diào)遞減，

綜上“X)在區(qū)間(0,1),(3,例)上單調(diào)遞增,/(X)在區(qū)間(1,3)單調(diào)遞減.

,Xx+a

(2)由已知/(1)=!/+々山一4%，nf^.f(x)=x+--4=~^t

2xx

函數(shù)/W有兩個(gè)極值點(diǎn)內(nèi),9(內(nèi)<9)，即/一44+〃=。在(Qy)上有兩個(gè)不等實(shí)根，

令力(x)=x~—4x+a,只需＜/、故0＜。＜4,

、.而也2)=〃-4＜0

乂彳i+巧=4,入內(nèi)=a，

1x；+H3—4.rJ+(g后+a\nx,-4占

所以fa)+"%)=

=-4(Xj4-x2)+?(InV)+lnv2)4-如;+君)=ci\na-a-8

要證/(玉)+/(￡)>Ina-10,即證alna-a-8>lna-10.

只需證(1-a)ln〃+a—2<0,

令=-a)lna+a-2,a?0,4),

]-aI

則/“'(a)=-lna+---+1=——Ina,

aa

令"(a)=W(a),則4(a)=<。恒成立，

所以加(。)在a￡(0,4)上單調(diào)遞減,

乂加'(1)=1>0,z?f(2)=--ln2<0,

由零點(diǎn)存在性定理得，迎,e(l,2)使得加(4)=().

,1

即1n%=一,

%

所以aw(O,/)時(shí)，M(a)>0,單調(diào)遞增，

ae&,4)時(shí)，W(a)<0,/〃(a)單調(diào)遞減，

則“(初回=加(/)=(1_%)m/+/_2=(1_40)-!-+。0_2=%+-!-―3,

%。0

又由對(duì)勾函數(shù)知)'=/+，-3在4?1,2)上單調(diào)遞增，

《)

所以4+'-3<2+1-3=-1<0

422

所以〃7?<0,即/a)+/(w)〉ln"10得證.

(三)與零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題

與函數(shù)零點(diǎn)冷看有關(guān)的雙變量問(wèn)題，一般是根據(jù)公々是方程/(工)=()的兩個(gè)根,確定冷々的關(guān)系，再通過(guò)

消元轉(zhuǎn)化為只含有用或%的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)解題，有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為4電的齊次式，然后轉(zhuǎn)

化為關(guān)于上的函數(shù),有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，若函數(shù)中含有參數(shù)，可考慮把參數(shù)消去，或轉(zhuǎn)化為以

參數(shù)為自變量的函數(shù).

【例4】已知函數(shù)/(x)=分？-x-lnx.

(1)當(dāng)a=l時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;

（2）若函數(shù)/3）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)占占.

①求實(shí)數(shù)〃的取值范圍：

②證明：/（X+占）＞2-In（工］+王）.

【解析】（I）當(dāng)。=1時(shí),函數(shù)/（力=爐7-Inx,定義域?yàn)椋?,例）.

2廠一x—1(2J+l)(x—1)

xx

由r*）=o,得工=1.

當(dāng)Ovxvl時(shí)，r（x）vO,當(dāng)x〉l時(shí)，r（x）＞0,

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1,也）.

⑵①若函數(shù)/（X）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)不電，

則方程小-x-lnx=0有兩個(gè)不等的實(shí)根.

即方稱a=巨”有兩個(gè)不等的實(shí)根.

x

、，，、x+\nx,八、e，/、\-x-2\nx

idg(x)=——；—(x>0),則g(x)=---------------

x~X

記加(x)=l-x-21nx(x>0),則訊X)在(0,+<?)上單減,且皿1)=0,

，當(dāng)Ovxvl時(shí)，/?(x)>0,gr(x)>0：當(dāng)x>l時(shí)，啾x)vO,g'(x)vO,

???g。）在（0,＞上單調(diào)遞增,在（t+oo）單調(diào)遞減.

**?g(X)max=&⑴=1.

1

又?：g-<0且當(dāng)x>l時(shí),g(x)>0,

ye)

???方程為&a）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)，

???當(dāng)0＜avl時(shí)函數(shù)〃幻在定義域內(nèi)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)不X2.

②要證/(%+x2)>2-ln(xl+x2),

2

只需證0(X]+Xj)-(X)+x2)-ln(A1+x2)>2-ln(x(+x2)，

只需證〃(X]+$)_(xi+x,)>2,

因?yàn)閏ix;--In.r,=O,avj-x2-Inx2=0,兩式相減得:

一君)一(內(nèi)-x2)-(lnx)-lnx2)=0.

整理得。（X+%）=1+-匚

司一%

所以只需證1+西二^?(M+劣)一(芯+W)>2,

I占一/J

即證借土龍玉](8+心)>2,

I%一七)

互+1

即小——In%>2,不妨設(shè)0<z<x,,令/=±(0<f<l),

IL-J8"4

x2

只需證四?lnf>2,

l-l

只需證。+1)1迎-2(/-1)<0,

設(shè)〃⑺=Q+l)ln-2。-1),

只需證當(dāng)0<￡<」時(shí),〃⑴<0即可.

???〃'?)=ln，+l—1,“"(1)=1一1==<()?)<[<1),

ttrr

???〃'(，)在((0,1)單調(diào)遞減，

???當(dāng)0</<1時(shí)，〃'Q)>〃()=0,

???〃⑺在(0,1)單調(diào)遞增，當(dāng)o<r<1時(shí)〃⑴<〃(1)=o,

???原不等式得證.

明.

(四)獨(dú)立雙變量，各自構(gòu)造一元函數(shù)

此類問(wèn)題--般是給出兩個(gè)獨(dú)立變量，通過(guò)變形,構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解.

【例5】(2024屆陜西省寶雞實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三一模)已知函數(shù)〃X)=a'+V71n〃一"e是

自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)a=e,〃=4時(shí)，求整數(shù)I的值,使得函數(shù)/。)在區(qū)間伏,&+1)上存在零點(diǎn)；

(2)若存在不々￡[-1，1]，使得1/(石)一/(再)色e-l,試求〃的取值范圍.

【解析】(1)f(x)=eK+x2-x-4,:.f(x)=el+2x-l,/，(0)=0

當(dāng)”>0時(shí)，e'>1,故人外是((),+8)上的增函數(shù)，

同理/(X)是(-8,0)上的減函數(shù)，

/(0)=-3<0,/(l)=e-4<0,/(2)=e:-2>0,且x>2時(shí)，/U)>0,

故當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/“)的零點(diǎn)在0,2)內(nèi)，.?"=1滿足條件.

同理，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)/*)的零點(diǎn)在(—2,-1)內(nèi)，.?.&=-2滿足條件，

綜上女=1,-2.

(2)問(wèn)題<=>當(dāng)xe［T,l］時(shí)，I/(.r)inax-f(x)mn|=/(x)^-/(x)mln>e-1,

f\x)=a'Ina+2x-Ina=2x+(優(yōu)-1)Ina,

①當(dāng)x>0時(shí)，由〃>1,可知優(yōu)一l>0,lna>0,r(x)>0；

②當(dāng)xvO時(shí)，由a>l,可知a'-l<U,lna>U:r(x)<U；

③當(dāng)X=O時(shí),尸3=0,.??/(幻在［TO］上遞減，［0J上遞增，

.?.當(dāng)x/1,1］時(shí),/(x)^=/(()),/(A)_=max{/(-l),/(l)),

而f(-i)=a---2\na,g(/)=/---21n/(z>0),

at

1O1

.??/⑺=1+十一。=$一廳之°(僅當(dāng)，=1時(shí)取等號(hào))，

??.g?)在(0,loo)上單調(diào)遞增,而8(1),0,

.??當(dāng)時(shí)，8(/)>0即〃>1時(shí)，a---2\na>0,

a

*'?/(D>f/(O-/(O)>e-1即a-lna>e-l=e-lne,

構(gòu)造人(a)=a-Ina(">1),易知Ma)>0,.,.版4)在(1,+a))遞增，

.MNe,即a的取值范圍是e+co).

(五)構(gòu)造一元函數(shù)求解雙變量問(wèn)題

當(dāng)兩個(gè)以上的變?cè)蚴莾蓚€(gè)量的確定關(guān)系在解題過(guò)程中反復(fù)出現(xiàn).通過(guò)變量的四則運(yùn)算后，把整體處理為?

個(gè)變量，從而達(dá)到消元的目的.

【例6】已知函數(shù)/(x)=e」n(l+R).

(1)求曲線)=/(x)在點(diǎn)(0,/(。))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=f(x),討論函數(shù)g(?在［0,+oo)上的單調(diào)性;

(3)證明:對(duì)任意的s"e(0,+°o),有/'($+，)>/($)+/?).

【解析】⑴解：因?yàn)?(x)=e、ln(l+x),所以/(O)=O,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，

又((x)=e、(ln(l+%)+*-),

1+x

???切線斜率)=/'(0)=1

???切線方程為；)'=x

⑵解:因?yàn)間M=f(x)=ex(ln(l+x)+,

1+x

21

所以g'W=c\\n［\+x)+------------),

l+x(l+x)~

令h(x)=ln(l+x)+--1,

l+x(l+x)~

?..,,.122x~+1

則h(x)=---------------7+-------r=-------r>0,

l+x(l+x)2(l+x)3(l+x)3

???kv)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

h(x)>/|(O)=1>0

???g'(X)>。在。+8)上恒成立，

Jg(X)在［0,+刃)上單調(diào)遞增.

⑶解：原不等式等價(jià)于/(S+/)-/($)>/(/)-/(()),

令in(x)=f(x+t)-f(x),(x,r>0),

即證m(x)>力(0),

*.*/n(x)=f(x+/)-f(x)=ev+,ln(l+x+r)-erln(l+x),

x+rv

w/(x)=cA+/ln(l+x+/)+---e--------clln(l+x)---e-----=g(x+t)-g(x),

I+x+rl+x

由(2)知g(x)=r(x)=e'(ln(l+工)+占)在［0,+e)1：?jiǎn)握{(diào)遞增，

g(x+r)>g(x),

tn(x)>0

/.Mx)在(0,+8)上單調(diào)遞增，乂因?yàn)閄J>0,

Aw(x)>w(0),所以命題得證.

(六)獨(dú)立雙變量，把其中一個(gè)變量看作常數(shù)

若問(wèn)題中兩個(gè)變量沒(méi)有明確的數(shù)量等式關(guān)系,有時(shí)可以把其中一個(gè)當(dāng)常數(shù)，另外一個(gè)當(dāng)日變量

【例7】已知函數(shù)/(x)=x」nq(a、0),

x

⑴若函數(shù)g(x)=e'在x=0處的切線也是函數(shù)/⑴圖像的一條切線，求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)若函數(shù)/(X)的圖像恒在直線x-y+l=()的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑶若不赴￡(@，W)，且工產(chǎn)工2，證明：(內(nèi)+尤2)4>八/2

e2

【解析】(l)/(x)=e\g(x)在x=0處切線斜率左=g'(O)=l,g(O)=l,所以切線/：y=x+L

則斜率人=/'（而）=

又（（力=lng-l,設(shè)/與〃力相切時(shí)的切點(diǎn)為xo,xoln-ln9--l,

x\xoxo

則切線/的方程又可表示為y=

1〃,，

In-----1=1

由，％,解之得a=eL

「％=[

（2）由題可得/37-1<0對(duì)于K>0恒成立，即xlng-x-1<0對(duì)于x>0恒成立,

x

令力（x）=xlnq-x-l,則1（刈=111@一2,由〃'（x）=0得4=二，

xxe“

Xa

e'

+0——

g）/極大值

則當(dāng)x>0時(shí)，力（力2=力（￡）=￡-1,由得：0<a<e2,即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（。,白.

\e，ee

（3）由題知r（x）=ln--l,

X

由尸（力=（）得4=g，當(dāng)時(shí)，r（A-）<0,/（"=月個(gè)（。>0）單調(diào)遞減,

eex

因?yàn)?v4+%2v。,所以/（X）>/（X+M），即Nln">（X|+z）ln——,

X[X]?X）

一一，。國(guó)+為，a-,ax+a-

所以In—>」~-In--------,①同理In—>」--Inf---------,②

X]xtX]+x2x2x2X1+x2

①+②得In幺+ln巴>5+i+Vtihl

再/

因?yàn)樯?山=2+J』4,

玉x2X]x2

由演+/<?得二^y〉l,即心子丁〉。

■Aj-i人）"?

所以In——I-In—>41n-------42

所以（內(nèi)4-Jtj）>ax]x2.

%x2x、+x2

（七）雙變量，通過(guò)放縮消元轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題

此類問(wèn)題一般是把其中一個(gè)變量的式子放縮成常數(shù)，從而把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題

［例8］(2023屆湖北省武漢市江漢區(qū)高三上學(xué)期7月新起點(diǎn)考試)已知函數(shù)/(x)=(x-1)。'-a(x+l).

⑴當(dāng)〃二e時(shí)，求函數(shù))，=/*)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)人&是函數(shù)V=fM的兩個(gè)極值點(diǎn).

①求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

4

②求證：/(西)+/(占)>-

e

【解析】(1)當(dāng)時(shí)，/(x)=(x-l)ev-e(x+l),/'(x)=xe'-e當(dāng)xWO時(shí)，/<力<0,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)

單調(diào)遞增，月./'(1)=0,0vx<l時(shí)，f'M<0,%>1時(shí)，fXx)>0,所以xvl時(shí)，/'a)v。，二)，=/(1)的

單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1),遞增區(qū)間為(1,+00).

⑵①???函數(shù)產(chǎn)/⑴有兩個(gè)極值點(diǎn)，，方程r(x)=.ie'-a=O,即xe'=a有兩個(gè)解.令g(x)=k，則

y=g(x)的圖象與y=。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).而g'a)=(x+l)e'當(dāng)x<-l時(shí)，/(X)<().以外遞減,：當(dāng)x>—1時(shí),

g'(x)>0,g(x)遞增，??.g(x)而n=g(—l)=T又:X<()時(shí)，g(x)<0；x>0時(shí)，g(x)>0,工當(dāng)XV-1時(shí)，

g(X)單調(diào)遞減，且g(小(」昨當(dāng)X>-1時(shí)，g(X)單調(diào)遞增，且g(X)［」,+8］???廣g(x)的圖象

與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是-JvavO.故，的取值范圍為(一1,0)②不妨設(shè)/々是/(幻的兩

ce

個(gè)極值點(diǎn),且個(gè)<電,由①可知為<-1<七，xvx］或再時(shí),J'Xx)>0,時(shí)，f\x)<0,/(x)在

(y小)上單調(diào)遞增，在區(qū),與)上單調(diào)遞減，在(心內(nèi))上單調(diào)遞增.?；不<-1<勺，A-2-X2<X2.\

/(-2-^)</(^)(/(再)是極大情)，???/(—272)+/(電)《〃％)+/(々)要證/(M)+“々)>/，只需

e

證f(—2-占)+/(工2)>-土設(shè)力("=〃力+/(-2-沙，其中X>T,則

e

h(x)=(x-1)eT-6r(x+1)+(—3—x)e-2-v-tz(—l-x)=(x-l)e'-(3+x)e~2~x,/?f(x)=xer+j=——丫/、?

ee

^t(x)=xe2x+2+x+2,則/'(x)=(2x+l)e2-2+i,令T(*)=/(*)=(2*+1把2"2+i,r(x)-(4x+4)e2x42>0,

???”x)在(-1,+oo)上單調(diào)遞增.???x>T.??.?》)>?-l)=0,1(x)在(-1,+oo)上單調(diào)遞增，I

r(A)>z(-l)=O,即“(6>0??/(人)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，???〃(x)>，(—1),又M-I)=2/(T)=-/

e

4,、,、4

A(x)>—故/(%)+/(%)>—.

ee

三、典例展示

[例I]（2024屆湖北省武漢市部分學(xué)校高三上學(xué)期九月調(diào)研）三知函數(shù)/（%）=（/+〃氏+〃）e'.

⑴若/〃=〃=（）,求/（力的單調(diào)區(qū)間；

⑵若〃=a+〃+2,〃=標(biāo)+從+2,且/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為/和出（王〈與），求）（人）—.為）的最

e2-e1

小值.

【解析】（1）〃?=〃=0時(shí)，/（X）—x2e',

^（.r）=（x2+2x）er=x（x+2）e*,

令r（x）=0,可得x=-2或x=0,

當(dāng)工<一2或x>0時(shí)，/^x）>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)-2<x<0時(shí)，r（x）〈0,函數(shù)/（X）單調(diào)遞減.

所以〃x）在（，,-2）和（0,+e）上單調(diào)遞增，在（-2,0）上單調(diào)遞減.

（2）/1?￥）=[J+（〃?+2）x+〃[+〃]e',

令/'（力=。，可得犬+（/〃+2）x+〃?+〃=。.

由題意可得，N.x?是關(guān)于x的方程丁+（〃?+2）工+〃2+〃=0的兩個(gè)實(shí)根，

所以A+X,=一（"?+2）,辦12=〃?+".

由父+（〃?+2）x+〃2+〃=0,有片=一（〃?+2）玉-rn-n,

所以/（內(nèi)）=（%；+/叼+〃）西=（一20一

x'

將用=_4_9-2代入上式，得/ix1）=（x2-x1+2）e,

同理可得/（%）=（E-七+2）/.

所以/（*2）一/（、）=（芭一42+2）心一（%-3+2）爐

et2-ex,-eX2-ex,

=_-A2）。片&+（%~~0+2）[「；

U

令石-X=/（，>0）,①式化為一"一2）,+（，+2）,

ef-1

設(shè)式/）=_（-2）：：,+2）（>0卜即8〃）=_1^+2（/>0），

，/、e2/-2/^-1

則小尸17^

記力⑺=e"-2力一1(f>0),則/f)=2e'(e'T-1).

記夕(，)=9一/一1(r>0),則”(f)=e'_l>0,

所以咐在(0,+。)上單調(diào)遞增，所以°(f)＞。(。)=0,

所以〃(/)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以竹)＞力(0)=0.

所以/[)＜0,g?)在(。,y)上單調(diào)遞減.

2

乂，=(x2-Xi)?=(x,+9)2-4x^2=7/7-4/2+4

=(a+0+2)—4(4~+。~+2)+4=-3a2—3/?2+2ab+4a+4b

=-3672+(2Z?+4)a-3Z?2+4/?

=-3〃3

I3333

二從+3

3333V7

b+2

當(dāng)且僅當(dāng)=0且。-1=0,即4=。=|時(shí)，戶取到最大值4,即f的最大值為2.

3

因?yàn)間(，)在(0,*)上單調(diào)遞減，所以g(/)mm=g(2)==

e-1

所以叫叫最小值為*

【例2】(2024屆重慶市第十一中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知函數(shù)/(x)="n(x+l)+a+l)3〃eR),

尸(㈤為/(x)的導(dǎo)函數(shù),

(1)當(dāng)/=6時(shí)，

(/)求曲線y=/(x)在(o,/(o))處的切線方程;

(/7)求函數(shù)g(x)=/(kl)-f'G-l)+*的單調(diào)區(qū)間;

JC

/(玉一1)一/(42-1)二/'(為-1)+/'(工2-1)

⑵當(dāng)年-3時(shí)，求證：對(duì)任意的有

為一工22

【解析】(1)(/)當(dāng)/=6時(shí)，/(x)=6In(x+l)+(x+l)',

2

則〃0)=61nl+l=l,f(x)=—+3(x+\),

所以y=/(x)在(0,1)處切線的斜率A=r(o)=3+3(0+l)2=9,

所以切線方程為y=9x+L

(八)由(i)可知g(x)=61nx+P----3.P+—=6]111+工3—3工2+—(x>0),

xxx

所以〈(人)=幺+3人2-6人-3=止迎上D，

XXx~

令g'(x)=o解得x=l,

所以當(dāng)()<X<1時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)X>1時(shí)，g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增.

2

(2)由題意可知/'(X-1)=^+411工，f(x-\)=3x+-,

A

對(duì)任意的%>當(dāng)之1，令五=%憶>1，

“0

則a(芭-i)+r(w-】)]-2[/(芭-1)]

=(X)—.v2)3x；H---F3x；H----2x：—x：+.]n―-

'l內(nèi)X2)'^2)

——3xfxy++1-----——2tIn--

IS\)

"—3&2+3J)+tk----2InA:①,

、k)

令g)=x」-21nx,x>\,

1?(\\

當(dāng)X>1時(shí),//(X)=l+———=I——>0,

X~X\XJ

由此可得〃(x)在［1,小)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)火>1時(shí)，力伏)即心J-21nQ0,

K

因?yàn)槌?1,ky-3k2+3k-\=(k-\)">0,t>-3,

所以￡(氏3-3及2+3k一1)+/(火」-2面2

(r-3/+3&-1)-3k——21nA

k)k

=內(nèi)一3公+6111攵+2一1②，

k

由（I）（"）可知當(dāng)Q1時(shí)，g（@>g⑴，即K一3二+6lnA+）>l,

&A3-3A:2+6lnA:+--l>0@,

k

由?@③可得G-&）［/'（、—i）+r（4一1）］-2［/（內(nèi)一1）一/（七一1）］>0,

所以當(dāng)壯一3時(shí)，對(duì)任意的%>與之1，/a-1）7（、-Iv/a-I：/（>-1）

玉一第2

【例3】（2023屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市高三上學(xué)期期中）設(shè)函數(shù)/"）=-/皿工+9+獷

（1）試討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（2）如果a>0且關(guān)于x的方程/（x）=〃?有兩個(gè)解%,%（芭<9），證明：N+石>2〃.

【解析】（1）〃X）的定義域?yàn)椋?、+。），

丁+aV-2/(x-a)(x+2〃)

2x2x

令r（M=o,解得』，或x=-勿，

當(dāng)時(shí)，則當(dāng)0<x<—2〃時(shí)，/'（x）<0,當(dāng)x>—2a時(shí)，戶"）>0,

???f（x）在（0,Q）上為減函數(shù),t（-2^+oo）上為增函數(shù),

當(dāng)心0時(shí)，則當(dāng)0<x<〃時(shí)，r（x）<0,當(dāng)時(shí)，/《火>0,

，f（x）在（0,。）上為減函數(shù)，在（。,+。。）上為增函數(shù)，

當(dāng)〃=0時(shí)，/4%）>0恒成立，即“力在（0,+巧上是增函數(shù)，

綜上可得，當(dāng)a<0時(shí)，“X）在（。,-2〃）上為減函數(shù)，在（-2?y）上為增函數(shù),

當(dāng)心（）時(shí)，/（力在（0,。）上為減函數(shù)，在（。,y）上為增函數(shù)，

當(dāng)4=0時(shí)，/（X）在（0,也）上是增函數(shù)，

（2）證明：

當(dāng)〃>0且關(guān)于1的方程〃x）二根有兩個(gè)解％,看（王<9）等價(jià)于當(dāng)〃>0存在

/6）=/（毛）,a<』）

由（1）當(dāng)4>0時(shí)，/'（X）在（0,a）上為減函數(shù)，在（4*。）上為增函數(shù),

不妨設(shè)Ov%i<a<x2,

設(shè)g(x)=/(a+x)-/(。一力，xw(O，a),

***g\x)=f,(a+x)+ff(a-x)

：(3〃+x)xJ3…2加;0

2(a+x)2(a-x)a2-x2

，g(x)在(0")上單調(diào)遞減，?》(犬)<8(0)=0,

即當(dāng)xe(0,a)時(shí)，f(a+x)<f(a-x),

由于0<“一玉<a,/[a_(a_%)]>/[a+(a_xj],即

：f(%)=/(毛)，???/(毛)>/Q一玉)，

乂々>a,2a-x{>a,/(x)在(〃,+<力)上為增函數(shù)，

:.x,>2a-X],KPX]+x2>2a.

【例4】已知函數(shù)/(幻=lnx+*d一(a+]?(aeR),g(x)=f(x)-^x2+(a+\)x.

⑴討論/")的單調(diào)性；

(2)任取兩個(gè)正數(shù)和毛，當(dāng)王〈天時(shí)，求證：g(xj-g(/)<豈土⑷.

Xl+X2

【解析】⑴/。),+欠—(4+1)=37*7%>0).

XX

當(dāng)aKO時(shí)，ax-1<0,令/'(x)>。，W0<x<1；令/'(x)<0,得x>l.

所以f(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在工+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)即a>l時(shí)，令/(r)>(),得0cxe,或工>1；令/'(.r)v(),^-<x<\.

ciaa

所以/“)在m，(1什)上單調(diào)遞增，在化n上單調(diào)遞減.

當(dāng)L=l,即4=1時(shí)，/'(工后0恒成立，所以/。)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

a

當(dāng)即Ovovl時(shí)，令/")>0,得0</<1或令尸(x)v0,得1cxeL

aaa

所以/(X)在(0,1),區(qū)+sj上單謂遞增，在(用上單調(diào)遞減.

綜上所述，

當(dāng)。工0時(shí)，/")在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+o。)上單調(diào)遞減;

1(\

當(dāng)0<a<l時(shí)，/(x)在(0,1),一,+8上單調(diào)遞增，在一上單調(diào)遞減;

I。J\a)

當(dāng)〃=1時(shí)，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>1時(shí)，/⑴在(()1),(1,2)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

(2)證明：由題意得，g(x)=lnx.

要讓

X1+Xy

只需證1呻-In.」。一),

再+W

即證仙土<乂口1,

x2X]+JV2

2五一1]

即證ln±<』一L

￡Ji

%

令仁土/￡(()1),

士

所以只需證ln/<3t2在止01)上恒成立，

即證(f+l)ln?2(f-l)<0在reQl)上恒成立.

令)?(r)=(f+l)lnf-2(f-l),則/7'a)=lnf+1-l,

t

令加⑺=Inr+--1,則m\t)=---v=二4<0.

ttt-r

所以以/)在(0,1)上單調(diào)遞減,即〃")在(0,1)I:單調(diào)遞減,

所以“⑺>“(1)=0,所以力⑺在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以人⑺〈〃⑴=0.

所以g(xj-g(&)<2("")

+人.

【例5】已知=)".

(1)求。的取值范圍；

(2)若仁，證明：卜小|1-442|1—小

(3)求所有整數(shù)c,使得c(a+8)4炭+/<(c+l)g+〃)恒成立.注：e=2.71828...為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

【解析】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，有。>1"'>1=/與優(yōu)=〃"矛盾;

當(dāng)〃>1時(shí)，有a">l與vl而/>1,與，一"〃矛盾;

當(dāng)0<〃<1時(shí)，有一1<一〃<()則1vL〈人,由/=得1va“vb"，所以”>l；

綜上所述：a>1；

(2)設(shè)/(x)=xlnx,則r(x)=l+lnx,當(dāng)/e(B，+oo)時(shí),/'(%)>0,則/(x)在(―+口

上遞增,

由于a"=〃-"得alna=-〃ln。,即/(〃)=一/()),由(1)知a>l,又

故要證|1-。目1-〃歸2|1-4印證a-\<\-b<2a-2

即證aW2—。且。2士叱

2

①要證-尻需證/(a)?"2-9，即證一/。)4/(2-與

需證/(2—。)+/僅)20,設(shè)g(〃)=/(2—〃)+/(〃),需證g(〃MnN0

由《(")='￡，乂i>b>L所以“他)=皿=<0

e2-b

所以g(〃)在(%1)單調(diào)減則X0)Ng(l)=O,所以心2-〃成立廁a-141-人成上;

3-A?3-/?

②要證心二^,由于則〃2寸>1

需證即證T他)”(??；

需證)(號(hào))+設(shè)貼)=/(割+/),需證幽￥0

由/z*(Z?)=--In-----+1+InZ7=—In,

v722223-〃

Z1>Z?>-1=—In——'"，<0."(1)=gIn-z~>0

eye)2a」23-1

故有〃(聞)=o、i")>],所以網(wǎng)在0。)單調(diào)減，在(山)單調(diào)增

</(67|--<0,//(1)=0

e

所以〃?皿40則。2子，得1一月2(。-1)

所以|1一〃即一〃歸2|1-4成立；

(3)因?yàn)閏(4+/?)<e"+eb<(c+l)(6/+/?).?>/?>0