試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁內(nèi)蒙古興安盟烏蘭浩特市2025-2026學年學年上學期9年級期中測試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．二次函數(shù)的頂點坐標是（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，點P(－3，m2+4m+5)關(guān)于原點對稱點在A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如圖，在一塊長為，寬為的矩形地面內(nèi)（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），余下的鋪上草坪，要使草坪的面積達到，設(shè)道路的寬為，可列方程為（

）

A． B．C． D．5．關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B． C．且 D．6．如圖，將Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，使得點C、A、B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角等于（）

A．55° B．70° C．125° D．145°7．定義運算，例如，則方程的根的情況為（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根8．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示且過，有以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．⑥若實數(shù)則；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題9．若方程是關(guān)于的一元二次方程，則．10．已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是．11．在平面直角坐標系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標為．12．如果三點，和在拋物線的圖象上，那，，之間的大小關(guān)系是．13．設(shè)是方程的兩實數(shù)根，則．14．已知關(guān)于的二次函數(shù)，當時，的取值范圍為15．拋物線經(jīng)過和兩點，則a值為．16．如圖，已知梯形中，，，，，，把線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到位置，連接，則的長為．三、解答題17．解下列方程：(1)；(2)．18．已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求k的取值范圍．(2)若此方程的兩實數(shù)根，滿足，求k的值．19．如圖，點是等邊三角形內(nèi)的一點，，將繞點按順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．20．如圖，河上有一座拋物線形狀的橋洞，已知橋下的水面離橋拱頂部4米時，水面寬為12米，如圖建立直角坐標系．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當水位上升1米時，水面寬為多少米？（答案保留整數(shù)，其中）21．超市某種水果的進價是每千克元，當售價為每千克元時，每天可售出千克，若每千克降價元，每天的銷售量將增加千克．(1)若超市每天銷售這種水果獲利元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的售價為每千克多少元？(2)求該種水果每千克售價為多少元時，超市一天銷售該種水果所獲利潤最大？并求出最大利潤．22．如圖，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形（點、、的對應(yīng)點分別是點、、），使得點落在邊上，的延長線與交于點，連接．(1)求證：平分；(2)試判斷與的長度是否相等，并說明理由．23．如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點D的橫坐標為m，求四邊形的面積S的最大值及此時D點的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上找一點P，使的值最小，直接寫出P點坐標．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《內(nèi)蒙古興安盟烏蘭浩特市2025-2026學年學年上學期9年級期中測試數(shù)學試題》參考答案題號12345678答案DDDCDCAB1．D【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸）對稱，根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：．2．D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析式為，∴二次函數(shù)的頂點坐標為，故選D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知對于二次函數(shù)的頂點坐標為是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】依據(jù)m2+4m+5=（m+1）2+1＞0，即可得出點P（-3，m2+4m+5）在第二象限，再根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即可得出結(jié)論．【詳解】∵m2+4m+5=（m+1）2+1＞0，∴點P（-3，m2+1）在第二象限，∴點P（-3，m2+1）關(guān)于原點對稱點在第四象限，故選D．【點睛】本題主要考查了關(guān)于原點對稱的兩個點的坐標特征，關(guān)于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數(shù)．4．C【分析】把四塊草坪拼到一起正好構(gòu)成一個矩形，矩形的長和寬分別是米和米，根據(jù)矩形的面積公式，列出關(guān)于道路寬的方程求解．【詳解】解：設(shè)小路寬為米，根據(jù)題意得：．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是將四個矩形通過平移拼成大矩形列出等量關(guān)系．5．D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，以及方程求參數(shù)問題．分類討論思想是解題的關(guān)鍵．分兩種情況討論：當時，方程為一元一次方程，判斷是否有實數(shù)根；當時，方程為一元二次方程，利用根的判別式求出k的取值范圍，最后綜合即可．【詳解】解：關(guān)于的方程有實數(shù)根，當時，方程為一元一次方程，，解得，符合題意；當時，方程為一元二次方程，有實數(shù)根，則，即，解得；綜上，的取值范圍是．故選：D．6．C【詳解】解：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．∵點C、A、B1在同一條直線上，∴∠BAB1=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．∴旋轉(zhuǎn)角等于125°．故選：C．7．A【分析】本題考查了新定義，考查學生的學習與理解能力，同時考查了一元二次方程的根的判別式，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)新定義得出方程，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式可得答案．【詳解】解：根據(jù)定義得：，，，，，原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．8．B【分析】由拋物線對稱軸是直線，即得出，整理得：，可判斷④；由圖象開口向下，與y軸交于正半軸，可確定，即可判斷①；根據(jù)當時，即可判斷②；根據(jù)當時，，即可判斷③；由，即可判斷⑤，由對稱軸是直線和定點坐標可判斷⑥．【詳解】解：由圖可知，拋物線對稱軸是直線，∴，即，故④錯誤；∵拋物線開口向下，∴，∴．∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴，故①錯誤；由圖象經(jīng)過點可得：，故②錯誤；∵拋物線對稱軸是直線，∴和時，函數(shù)值相等．∵時，，∴，故③正確；∵，，∴，即，故⑤錯誤；當時，，即為最高點，二次函數(shù)的最大值為，∴，又，∴，即，故⑥正確；綜上可知正確的只有③⑥，2個．故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．9．【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，解一元一次不等式，絕對值方程等知識點，深刻理解一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義可得，，解該一元一次不等式和絕對值方程即可得出答案．【詳解】解：是關(guān)于的一元二次方程，，，解得：，故答案為：．10．【分析】利用即可解答．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個根為2，另一個根為a，∴，解得：，則另一根是．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握：對于有兩個實數(shù)根的一元二次方程，，．11．【分析】本題主要考查了關(guān)于原點對稱點的坐標的特征．根據(jù)關(guān)于原點對稱的點，橫縱坐標互為相反數(shù)解答即可．【詳解】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標為，故答案為：．12．/【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可．【詳解】解：拋物線的開口向下，對稱軸是直線，當時，隨的增大而減小，關(guān)于稱軸是直線的對稱點是，，．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．13．7【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解可得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，再將化簡即可求解．【詳解】解：∵是方程的兩實數(shù)根，∴，，即，∴，故答案為：7．14．【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)．求得拋物線的對稱軸，根據(jù)圖象即可得出當，函數(shù)有最大值1；當時函數(shù)有最小值，進而求得它們的范圍．【詳解】解：拋物線開口向下，對稱軸為直線，拋物線頂點坐標為，在范圍內(nèi)，當，函數(shù)有最大值為1；當時函數(shù)有最小值：，故答案為：．15．3【分析】由拋物線的對稱軸公式建立方程求解即可．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過和兩點，∴對稱軸為：直線，解得：，故答案為：3【點睛】本題考查的是利用拋物線的對稱軸公式求解，熟練的求解拋物線的對稱軸是解本題的關(guān)鍵．16．【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作交的延長線于，于，證明四邊形是矩形，所以，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，則可證明，故有，，然后通過勾股定理即可求解，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交的延長線于，于，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．17．(1)，；(2)，．【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟記常見的解法，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法及正確掌握一元二次方程的解法．（）利用因式分解法求解即可；（）利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：，或，∴，；（2）解：，，或，∴，．18．(1)(2)0【分析】（1）根據(jù)方程有實數(shù)根得出，解之可得．（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出和的值，根據(jù)條件可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進行取舍．【詳解】（1）解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴，解得；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，∴，∵，∴，即，解得，，∵，∴（舍去），∴．【點睛】【此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．19．(1)(2)5【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形為等邊三角形即可求解；（2）在中，由勾股定理可求得的長，再在直角中利用三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∵等邊三角形∴，∴即，為等邊三角形，；（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，為等邊三角形，，∵，，在中，由勾股定理得：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確求得的長和證明為直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．(1)；(2)米【分析】（1）由題意可知函數(shù)關(guān)于軸對稱，為其頂點，函數(shù)過點，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)解析式；（2）水位上升，由此時對應(yīng)水面縱坐標為1，代入函數(shù)表達式得到，可得，，即可得到答案．【詳解】（1）由題意可知函數(shù)關(guān)于軸對稱，為其頂點，，∴函數(shù)過點，設(shè)拋物線解析式為，，解得，∴拋物線解析式為；（2）水位上升米，即此時對應(yīng)水面縱坐標為1，令，可得，，

則水面寬度為（米）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，拱橋問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，一般可將拋物線解析式設(shè)為頂點式進行求解，根據(jù)題目要求將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言即可解決問題．21．(1)水果的銷售價為每千克元時，可獲得銷售利潤元(2)水果的銷售價為每千克元時，獲利最大為元【分析】（1）設(shè)降低元，超市每天可獲得銷售利潤元，由題意列出一元二次方程，解之即可得出答案；（2）設(shè)降低元，利潤為元，根據(jù)題意得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)降低元，超市每天可獲得銷售利潤元，由題意得：，整理得：，解得：，，∵要盡可能讓顧客得到實惠，∴，∴售價為（元），答：水果的銷售價為每千克元時可獲得銷售利潤元；（2）設(shè)降低元，利潤為元，由題意得：，∴，當時，，∴售價為（元），答：水果的銷售價為每千克元時，獲利最大為元．【點睛】本題考查二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式和一元二次方程．22．(1)證明見解析