答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁浙江省名校協(xié)作體2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知為虛數(shù)單位，若，則（

）A． B．C． D．3．已知11位同學(xué)的身高（單位：cm）分別是167，172，172，175，178，178，182，185，186，188，190，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（

）A．185 B．185.5C．186 D．186.54．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．C．10 D．305．已知向量.若向量在向量上的投影向量為，則（

）A． B． C．1 D．6．已知，則（

）A． B．C． D．7．已知等差數(shù)列的前項和滿足：，則數(shù)列的最小項是第（

）項.A．2026 B．2027 C．4048 D．40498．已知函數(shù)，則在區(qū)間（

）上一定存在極值點.A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，則下列選項正確的是（

）A．的最小正周期為B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在上存在個零點D．點是圖像的一個對稱中心10．已知雙曲線分別為其左、右焦點，為坐標(biāo)原點，過作直線與雙曲線兩支和兩條漸近線交于4個不同點，從左到右依次為，則下列選項正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則11．如圖，現(xiàn)有兩種碎片各若干個，且兩種碎片均由等大小的正三角形按圖示拼湊而成.若一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，則可以是（

）A． B． C． D．三、填空題12．拋物線的焦點坐標(biāo)為．13．已知正四棱臺的上下底面邊長分別為2、4，側(cè)棱長為，則該正四棱臺外接球的表面積為.14．已知且，若對于任意的，都有，則.四、解答題15．某商場推出購物抽獎活動，盒子里放有10個相同小球，其中4個紅球，6個藍(lán)球，顧客從盒中不放回地抽取3個球，若恰好抽到3個紅球為一等獎，獎金為100元，恰好抽到2個紅球為二等獎，獎金為50元，其余不設(shè)獎.(1)在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍(lán)球的條件下，則該次抽獎獲得二等獎概率是多少？(2)求抽獎一次獲得獎金的期望.16．如圖，已知直角梯形繞旋轉(zhuǎn)得到四邊形，其中.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.17．在中，分別是角所對的邊，且滿足.(1)求的大?。?2)點是邊上一點，且滿足，求的值.18．已知橢圓過點.(1)求橢圓的方程；(2)斜率為1的直線與橢圓交于兩點，點P坐標(biāo)為，直線與橢圓的另一個交點為點M，直線PD與橢圓的另一個交點為點N.①已知點M坐標(biāo)為，求點橫坐標(biāo)（用表示）；②過點作于點G，是否存在定點Q，使得為定值，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.19．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若存在實數(shù)b，使得函數(shù)有三個不同的零點.①求a的取值范圍；②若成等差數(shù)列，求證：.《浙江省名校協(xié)作體2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號12345678910答案DBCABBACABDABD題號11答案AC1．D【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】由，，則.故選：D.2．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算法則求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式求解即可.【詳解】由，則，所以.故選：B.3．C【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為，所以第80百分位數(shù)是從小到大第9個，所以為186.故選：C.4．A【分析】按第一個括號內(nèi)的數(shù)分類，再利用二項式定理的通項公式求解.【詳解】的展開式通項為，當(dāng)?shù)谝粋€括號取1，第二個括號取含項時，展開式中的系數(shù)為；當(dāng)?shù)谝粋€括號取，第二個括號取含項時，展開式中的系數(shù)為，故展開式中的系數(shù)為.故選：A5．B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的公式以及投影向量的公式進行求解即可.【詳解】因為向量，所以.所以向量在向量上的投影向量為：.所以，解得.故選：B.6．B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和和角的余弦公式得到方程組，聯(lián)立求出，，再由差角的余弦公式得到答案.【詳解】因為，則（1），由，可得，所以（2），將（1）代入上式，，即，代入（2），可得，故.故選：B7．A【分析】由題設(shè)可得，，，等差數(shù)列為遞增數(shù)列，進而得到，，進而結(jié)合單調(diào)性分析求解即可.【詳解】由，則，，，因此等差數(shù)列為遞增數(shù)列，而，，則時，，，即；當(dāng)時，，要使最小，則，此時，數(shù)列為遞增數(shù)列，則隨著的增大，增大，減小，增大，但，，則增大，因此，當(dāng)時，最小.故選：A.8．C【分析】結(jié)合題意可設(shè)，，進而結(jié)合極值點的定義分和兩種情況討論求解即可.【詳解】由，，則，要使存在極值點，則一定有兩個變號零點，可設(shè)，，則當(dāng)時，函數(shù)開口向上，且，要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，則，所以在上一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，而的取值不確定，所以在上不一定存在極值點.同理，當(dāng)時，函數(shù)開口向下，且，要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則，即，而的取值不確定，則在上不一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，則，所以在上一定存在極值點；要使在上存在極值點，則或，即或，而的取值不確定，所以在上不一定存在極值點.綜上所述，函數(shù)在一定存在極值點.故選：C.9．ABD【分析】根據(jù)求正弦函數(shù)的最小正周期；根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性及周期性判斷單調(diào)性、零點問題.【詳解】函數(shù)的最小正周期，故A選項正確.函數(shù)單調(diào)遞增時，，.解得，取時，即是的單調(diào)增區(qū)間，而，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.故B選項正確.函數(shù)的零點，.解得，只有當(dāng)或時，即或時，在區(qū)間內(nèi)，所以在上存在個零點.故C選項錯誤.圖像的對稱中心，即函數(shù)的零點.，所以點是圖像的一個對稱中心.故D選項正確.故選：ABD10．ABD【分析】先根據(jù)雙曲線方程得到漸近線方程為，，設(shè)都在軸上方，對于A，結(jié)合圖象分析即可求解判斷；對于B，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，，，計算可得中點即為中點，進而求解判斷即可；對于C，結(jié)合圖形關(guān)系求解判斷即可；對于D，由可得，進而列方程求得，進而結(jié)合弦長公式求解判斷即可.【詳解】由雙曲線，則，則雙曲線的漸近線方程為，且，如圖，不妨設(shè)都在軸上方.對于A，由圖可知，當(dāng)直線趨近于軸時，此時最小，但此時直線與兩條漸近線交于原點，不滿足題意，則，故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，且，則，則，，即中點為，聯(lián)立，解得，，即，聯(lián)立，解得，，即，則中點為，即為，所以中點即為中點，設(shè)為，則，所以，故B正確；對于C，因為漸近線方程為，則，由于，，所以，，則，故C錯誤；對于D，由B知，為中點，若，則，則，即，解得（負(fù)值舍去），則，則，故D正確.故選：ABD.11．AC【分析】由等差數(shù)列求和公式求出大三角形中可能拆成的小三角形總個數(shù)，并分析得到，對四個選項一一分析，并作出示意圖，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意作圖：由圖觀察可知，一個大正三角形可以拆成：個小正三角形，要想一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，顯然需滿足.觀察得到碎片中有2個小正三角形，碎片中有3個小正三角形，若一個大正三角形恰好分割成個碎片和個碎片，則共有個小正三角形.當(dāng)時，，則只能是，故為.每一排的小三角形個數(shù)均為奇數(shù)，由正三角形的對稱性可知：每增加一排則至少增加1個碎片，∴，對于A選項，時，，即，滿足條件，A選項正確；如圖對于B選項，時，，不是完全平方數(shù)，B選項排除；對于C選項，時，，，如圖滿足條件，C選項正確；對于D選項，時，，，不滿足條件，D選項錯誤；故選：AC.12．【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦參數(shù)，然后寫出焦點坐標(biāo)．【詳解】拋物線中，∴焦點坐標(biāo)為．故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查焦點坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)正四棱臺和正四棱錐的幾何圖形性質(zhì)，確定外接球的球心位置，利用勾股定理可求解外接球的半徑，即可計算外接球的表面積.【詳解】如圖，將正四棱臺補形為正四棱錐，因為四棱臺的上下底面邊長分別為2、4，所以分別為的中點，所以，作正四棱錐的高，垂足為，則為正方形的中心，連接交于點，連接交于點，則，設(shè)該正四棱臺外接球的球心為，半徑為，根據(jù)對稱性可知，在上，在中，，即，即，①在中，，即，即，②聯(lián)立①②解得，，所以該正四棱臺外接球的表面積為，故答案為：.14．【分析】利用，求出數(shù)列是等比數(shù)列來寫出通項公式，再利用的通項公式求出，通過觀察的特點，即，設(shè)，將用表示，設(shè)，求出是的二次函數(shù)，又在前后震蕩，通過的對稱軸在左右兩側(cè)的討論得到不成立，從而得到的對稱軸就是，建立的方程，再求的值，從而得到的值.【詳解】，，，，，是等比數(shù)列，公比，首項為，，，，，，設(shè)，則，，，設(shè)，，的對稱軸為，又在前后震蕩，若對稱軸在的左側(cè)，則會總存在一個，使得，，等在對稱軸的右側(cè)且在附近左右擺動，就不滿足對于任意的，都有成立，對稱軸在的左側(cè)不成立；若對稱軸在的右側(cè)，則會總存在一個，使得，，等在對稱軸的左側(cè)且在附近左右擺動，就不滿足對于任意的，都有成立，對稱軸在的右側(cè)不成立；對稱軸只能是，即，解得，，.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合條件概率知識求解即可；（2）設(shè)抽獎一次獲得獎金為，由題意可得的取值為，進而求出對應(yīng)的概率值，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式求解即可.【詳解】（1）在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍(lán)球的條件下，要使該次抽獎獲得二等獎，則抽取的第3個球一定為紅球，而此時總共有8個球，其中有3個紅球，5個藍(lán)球，因此，在抽取的前兩個球為1個紅球1個藍(lán)球的條件下，該次抽獎獲得二等獎概率是.（2）設(shè)抽獎一次獲得獎金為，則的取值為，所以，，則，則.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由由題意可得平面平面，，進而得到平面，進而求證即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）由題意，平面平面，，，因為平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以.（2）以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，易得平面的一個法向量為，所以，由圖可知，二面角為銳二面角，則二面角的余弦值為.17．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合條件：，由于在中，,代入化簡即可求解；（2）在和中，由正弦定理可得：，，結(jié)合條件化簡可得，由于在中，,代入化簡可得,結(jié)合的范圍，求出的值，從而求得角，由正弦定理可得即可求解.【詳解】（1）因為,由正弦定理可得：.所以,由于在中，,所以,化簡得：,由于，則不為0，則由于，所以（2）由于,則,在中，由正弦定理可得：在中，由正弦定理可得：所以,由于滿足，所以，由于在中，,所以,即，所以，所以,由于，則，所以則或,解得或，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，,不滿足.綜上，.18．(1)(2)①；②存在，【分析】（1）將點代入橢圓方程即可求解；（2）①設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理化簡求解即可；②計算可得，設(shè)，可得，結(jié)合化簡得到，設(shè)直線，進而得到直線過定點，進而求解即可.【詳解】（1）由題意，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①設(shè)直線的方程為，且，，即，聯(lián)立，得，則，即，且，則，即點橫坐標(biāo)為.由①知，，，則，即，設(shè)，與①同理可得，則，則，設(shè)直線，則，則，又，則，則直線，所以直線過定點，則為中點時，則，，則，因此，存在定點，使得為定值.19．(1)；(2)①；②證明過程見解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，令，求出函數(shù)遞減區(qū)間；（2）①變形得到，故有3個不同的正根，令，則需有兩個極值點，則需有兩個不同的變號零點，令，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)走勢，得到，得到答案；②，，兩式相加得，結(jié)合成等差數(shù)列，變形得到，利用對數(shù)平均不等式和基本不等式得到，所以，由①知，，故，證畢.【詳解】（1），定義域為，，令得，故的單調(diào)