第01講統(tǒng)計

國練基礎(chǔ)

一、單選題

1.為了檢查“雙減”政策落實效果，某校邀請學(xué)生家長對該校落實效果進行評分.現(xiàn)隨機抽

取100名家長進行評分調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的評分都在40?100分之間，將數(shù)據(jù)按[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則

在抽取的家長中，評分落在區(qū)間[60,90)內(nèi)的人數(shù)是()

頻率

前

0.030...................1—1

0.025........................—?

0.020..............

0.015.........T—

0.010-

0.005…廠...........

。■40506070809011)0評分;分

A.55B.60C.70D.75

【答案】D

【分析】根據(jù)頻率直方圖求出[60,90)內(nèi)頻率，進而求出其中的人數(shù).

【詳解】由題圖,[60,90)內(nèi)頻率為(0.02+0.03+0.025)x10=0.75.

所以評分落在區(qū)間[60,90)內(nèi)的人數(shù)是0.75x100=75人.

故選：D

2.某旅行社統(tǒng)計了三條路線的旅游人數(shù)，具體分布如下表(每人參加且僅參加一條路線)：

南北湖景區(qū)東湖景區(qū)西塘古鎮(zhèn)景區(qū)

男性3060X

女性504060

現(xiàn)要對這三條路線的選擇情況進行抽樣調(diào)查，從參加這三條路線的人中采用按小組分層隨機

抽樣的方法抽取60人，從參加南北湖景區(qū)路線的人中抽出16人，則大=()

A.30B.60C.80D.10()

【答案】B

【分析】由分層抽樣按比例求出各景區(qū)抽取的人數(shù)后可得x值.

【詳解】設(shè)東湖景區(qū)抽取的人數(shù)為明則黑=得，，〃=20,

OV101）

從而西塘古鎮(zhèn)景區(qū)抽取的人數(shù)為60-16-20=24,

?1624

因m此一=——-x=60.故選：B.

8()x+60

3.現(xiàn)給出一位同學(xué)在7月和8月進行的50米短跑測試成績（單位：秒）:

7月9.810310.010.29.99.810.()10.110.29.7

8月10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

記7月、8月成績的樣本平均數(shù)分別記為工，y,樣本方差分別記為S；,S）①己知統(tǒng)計量

g1

/=T可在一定程度上說明兩個月跑步成績的穩(wěn)定性（當尸>2.050或萬>2.050時，可認為

S2"

成績不穩(wěn)定）；②若滿足了一天之2小穿，則可說明成績有顯著提高.則這位同學(xué)（）

A.成績穩(wěn)定，且有顯著提高B.成績穩(wěn)定，且無顯著提高

C.成績不穩(wěn)定，且有顯著提高D.成績不穩(wěn)定，且無顯著提高

【答案】B

【分析】利用數(shù)表分別計算了，5,s；，學(xué)，結(jié)合①②條件即可求解.

【詳解】由題意可知,x=-(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,

y=^(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

I102=0036110

由方差公式可知，^=^Z（A；-^->$=77；Z（y-?=004,

1Uf-i1UJ=I

故尸=去=2^=0.9<2.050,1=—<2.050,

si0.04F9

從而成績穩(wěn)定；

而工_y=_o.3<2,^^，

從而成績無顯著提高.

故選：B.

4.某校舉行演講比賽，邀請7位評委分別給選手打分，得到7個原始評分.在評定選手成

績時，從這7個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分.這5個有效

評分與7個原始評分相比，數(shù)字特征保持不變的是（）

A.眾數(shù)B.標準差C.平均數(shù)D.中位數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)評分的規(guī)則容易判斷選項.

【詳解】7個數(shù)去掉一個最高分，去掉一個最低分，顯然中位數(shù)是不變的；

故選：D.

5.北京冬奧會的舉辦掀起了?陣冰雪運動的熱潮.某高校在本校學(xué)生中對“喜歡滑冰是否與

性別有關(guān)”做了一次調(diào)查，參與調(diào)查的學(xué)生中，男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍，有:的男生喜

歡滑冰，有;的女生喜歡滑冰.若根據(jù)獨立性檢驗的方法，有95%的把握認為是否喜歡滑冰

和性別有關(guān)，則參與調(diào)查的男生人數(shù)可能為()

參考公式：z2=y~/嗎產(chǎn)”一其中〃=a+Z?+c、+4.

(4+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

參考數(shù)

也I%)OJO0.050.0250.010

k02.7063.8415.0246.635

A.12B.18C.36D.48

【答案】C

【分析】設(shè)男生人數(shù)為3R,則女生人數(shù)為4,且xwN?，寫出列聯(lián)表并根據(jù)k方計算公式,

結(jié)合題意確定k方值的范圍，即可確定x的取值范圍，進而確定男生可能人數(shù).

【詳解】設(shè)男生人數(shù)為3x,則女生人數(shù)為x,且xcN、

可得列聯(lián)表如下：

男生女生合計

Xlx

喜歡滑冰2x

3T

不喜歡滑2x5x

X

冰TT

合計3xX4x

4c2xX.2

4x(2x*--------?x)~I。

所以/二_______3_3—=2x

"以/lx5x.35

---------3xx

33

因為有95%的把握認為是否喜歡滑冰和性別有關(guān),

121-

所以看c(3.841,5.024],解得11.20<xW14.65,

JJ

???線性回歸方程z=2x-l.

，lnc=TM=2,解得。=,次=2.故選：B.

e

二、填空題

8.為了調(diào)查高中學(xué)生參加課外興趣活動選籃球和舞蹈是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機調(diào)查了30

名學(xué)生，得到如下圖2x2列聯(lián)表：

籃球舞蹈合計

男13720

女281()

合計151530

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，及觀測值/其中K'E瑞統(tǒng)商）的參考數(shù)據(jù):

P(K2次)0.050.0250.010

3.8415.0246.635

則在犯錯誤的概率不超過___________前提下，認為選擇舞蹈與性別有關(guān).

【答案】0.025

【分析】由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算K?的值，對照表中的參考數(shù)據(jù)，比較即可得到答案.

【詳解】山列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，4=30x（13x8-2也=1=5.4>5.024

15x15x20x105

所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認為選擇舞蹈與性別有關(guān).

故答案為:0.025.

9.下列說法中錯誤的有.

（1）殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報精確度越高；

（2）兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；

（3）設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（O,1）,若尸（X>1）=〃，則尸（―l<X<O）=g-〃；

（4）根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)，線性回歸方程），=0.7x+0.35,那么表中，=3.15.

X3456

y2.4t3.84.6

【答案】（1）（4）

【分析】（1）根據(jù)殘差的概念與殘差圖的特點即可判斷:

（2）根據(jù)殘差平方和的概念即可判斷；

（3）根據(jù)正態(tài)分布N（OJ）的性質(zhì)求解并判斷；

（4）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算工亍，代入線性回歸方程中求得r的值，即可判斷.

【詳解】對于（1）,殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報精確度越

高，所以（1）錯誤；

對于（2）,兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，所以（2）正確；

對于（3）,根據(jù)正態(tài)分布N（O,1）的性質(zhì)可得，若尸-則P（Xv-l）「〃，

/.P（-l<X<l）=l-2p,==所以（3）正確：

對廣（4）,根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算x='x（3+4+5+6）=4.5,y=—x（2.4+/+3.8+4.6）=2.7+—,

444

代入線性回歸方程），=0.7》+0.35中，得2.7+；=0.7X4.5+0.35,解得/=3.2,所以（4）錯

誤.

故答案為：（1）（4）.

10.在某次數(shù)學(xué)測驗中，6位學(xué)生的成績分別為：78,85,t,82,75,80,他們的平均成

績?yōu)?1,則他們成績的75%分位數(shù)為.

【答案】85

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：由題意知78+85+1+82+75+80=6x81,

解得，=486-400=86,

把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序記為：75,78.80,82,85,86,

指數(shù)i=，W%=6x75%=4.5,

因此，這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為85.

故答案為：85.

三、解答題

11.特崗教師是中央實施的一項對中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教育的特殊政策，通過公開招聘高校

畢業(yè)生到中西部地區(qū)“兩基”攻堅縣、縣以下農(nóng)村學(xué)校任教，進而提高農(nóng)村教師隊伍的整體素

質(zhì)，促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某市招聘特崗教師需要進行筆試和面試，一共有600名應(yīng)聘者

參加筆試考試，從中隨機抽取了100名應(yīng)聘者，記錄他們的筆試分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：

[20,30）,[30,40）,[80,90）,得到如圖所示頻率分布直方圖.

頻率

麗

0.04

0.02.................

02030405060708090分數(shù)

⑴若該市計劃168人進入面試，請估計參加面試的最低分數(shù)線：

（2）已知樣本中筆試分數(shù)低于40分的有5人，試估計總體中筆試分數(shù)在［40,50）內(nèi)的人數(shù).

【答案】（1）78

（2）30

【分析】（1）根據(jù)題意求得進入面試的頻率2=0.28,再判斷最低分數(shù)線x所在分數(shù)區(qū)間，

結(jié)合頻率的計算公式得到方程，解之即可；

（2）由頻率分布直方圖求得不低于5（）分的頻率，由題意求得分數(shù)低于40分的頻率，從而

求得筆試分數(shù)在［40,50）內(nèi)的頻率，再由頻數(shù)等于總數(shù)乘以頻率即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）根據(jù)題意，得進入面試的頻率。=黑=028,

6（）（）

由頻率分布直方圖可知，筆試分數(shù)位于［70,80）、［80,90）的頻率分別為0.4、0.2,

所以設(shè)參加面試的最低分數(shù)線x?70,80）,

得（80—x）x0.Q4+0.2=?，解得工二78,

故參加面試的最低分數(shù)線約為78.

（2）樣本中筆試分數(shù)不低于50分的頻率為：0.1+0.2+0.4+0.2=0.9,

樣本中筆試分數(shù)低于40分的頻率為：-^-=0.05,

100

所以樣本中筆試分數(shù)在［40,50）內(nèi)頻率為：1-0.（）5-0.9=0.05,

故總體中筆試分數(shù)在［40,50）內(nèi)的人數(shù)約為600x0.05=30（人）

12.根據(jù)中國海洋生態(tài)環(huán)境狀況公報，從2017年到2021年全國直排海污染物中各年份的氨

氮總量》（單位：千噸）與年份的散點圖如下：

2

0

8

6

4

2

~or20172018201920202021

記年份代碼為M%=1，2,3,4,5),，=’,對數(shù)據(jù)處理后得:

X

S'；

y丸

/=|1=11=1/=!

60.51.52107617

⑴根據(jù)散點圖判斷，模型①y=衣+〃與模型②）=邑+c?哪一個適宜作為y關(guān)于X的回歸方

X

程？（給出判斷即可，不必說明理由）

⑵根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于X的回歸方程，并預(yù)測2022年全國直排海污染物中的

氨氮總量（計算結(jié)果精確到整數(shù)）.

參考公式：回歸方程》=班+力中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

Z（A-幻（X-田一'?

M/>!

【答案】⑴模型②適宜作為）'關(guān)于X的回歸方程.

Q

（2）y關(guān)于X的回歸方程為§，=3+2,預(yù)計2022年全國直排海污染物中的氨氮總量為3噸

x

【分析】（1）可根據(jù)散點圖判斷出非線性回歸方程模型.

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)代入公式求出回歸方程，并可預(yù)測2022年全國直排海污染物

中的氨氮總量.

【詳解】（1）根據(jù)散點圖的趨勢，可知模型②適宜作為關(guān)于工的回歸方程.

°立另一5八,

17-5x0.5x62

(2)^=-￡dlgc=y-dt=6-8x0.5=2.

l.5-5x0.52-025~

修?

Q

故）'關(guān)于，的【可歸方程為2即+2,即）'關(guān)于X的回歸方程為9=2+2,2022年對應(yīng)的年份

x

代碼為x=6,>:+2=3,故預(yù)計2022年全國直排海污染物中的氨氮總量為3噸.

6

國練提升

一、單選題

1.某地區(qū)今年夏天迎來近50年來罕見的高溫極端天氣，當?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計了八月份每天的

最高氣溫和最低氣溫，得到如下圖表：

某地區(qū)2022年8月份每天最高氣溫與最低氣溫

根據(jù)圖表判斷，以下結(jié)論正確的是（）

A.8月每天最高氣溫的平均數(shù)低于35c

B.8月每天最高氣溫的中位數(shù)高于40℃

C.8月前半月每天最高憑溫的方差大于后半月最高氣溫的方差

D.8月每天最高氣溫的方差大于每天最低氣溫的方差

【答案】D

【分析】根據(jù)給定的每天最高氣溫與最低氣溫的折線圖，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差的意義

逐項分析判斷作答.

【詳解】由某地區(qū)2022年8月份每天最高氣溫與最低氣溫的折線圖知，

對于A,8月1日至9口的每天最高氣溫的平均數(shù)大于35℃,25口至28口的每天最高氣溫

的平均數(shù)大于35℃,

29日至31日每天最高氣溫大于20℃小于25C,與35℃相差總和小于45C,而每天最高氣

溫不低于40c的有7天，

大于37c小于40c的有8天，它們與35℃相差總和超過45C,因此8月每天最高氣溫的平

均數(shù)不低于35℃,A不正確；

對于B,8月每天最高氣溫不低于40c的數(shù)據(jù)有7個，其它都低于40℃,把31個數(shù)據(jù)由小

到大排列，中位數(shù)必小于40,

因此8月每天最高氣溫的中位數(shù)低于40℃,B不正確；

對于C,8月前半月每天最高氣溫的數(shù)據(jù)極差小，波動較小，后半月每天最高氣溫的極差大，

數(shù)據(jù)波動很大，

因此8月前半月每天最高氣溫的方差小于后半月最高氣溫的方差，C不正確；

對于D,g月每天最高氣溫的數(shù)據(jù)極差大，每天最低氣溫的數(shù)據(jù)極差較小，

每天最高氣溫的數(shù)據(jù)波動也比每天最低氣溫的數(shù)據(jù)波動大，因此8月每天最高氣溫的方差大

于每天最低氣溫的方差，D正確.故選：D

2,參加抗疫的300名醫(yī)務(wù)人員，編號為I,2,…，300.為了解這300名醫(yī)務(wù)人員的年齡

情況，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15名醫(yī)務(wù)人員的年齡進行調(diào)查.若抽到的第一個編號

為5,則抽到的第二個編號為()

A.35B.30C.25D.20

【答案】C

【分析】將300個數(shù)編號：1,2,300,再平均分為15個小組，然后按系統(tǒng)抽樣方法得

解.

【詳解】將300個數(shù)編號：1,2,300,再平均分為15個小組，

則第一編號為5,第二個編號為300X5+5=25.故選：C

3.某微生物科研團隊為了研究某種細菌的繁殖情況，工作人員配制了一種適合該細菌繁殖

的營養(yǎng)基質(zhì)用以培養(yǎng)該細菌，通過相關(guān)設(shè)備以及分析計算后得到：該細菌在前3個小時的細

菌數(shù)>與時間，(單位：小時，且1T3)滿足回歸方程)二c"""(其中〃為常數(shù))，若1=)，，

且前3個小時，與N的部分數(shù)據(jù)如下表：

1123

812

2

yee5

3個小時后，向該營養(yǎng)基質(zhì)中加入某種細菌抑制劑，分析計算后得到細菌數(shù)V與時間，(單

位：小時，且3V/K10)滿足關(guān)系式：y=24^a-3)e4-2fc+12,在/="時刻，該細菌數(shù)達到

最大，隨后細菌個數(shù)逐漸減少，則小的值為()

911

A.4B.-C.5D.—

22

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，求出樣本中心點求出〃值，再分段討論y的最大值情況作答.

【詳解】依題意，：=甘@=2,z=l(1+2+y)=2,由)，=8疝，e;=y,得z=l+初，

且？=1+初經(jīng)過點(2,2),

于是得力=：，當1?Y3時，y=e吟單調(diào)遞增，則當『=3時，

當3GK10時,>'=12(z-3)e4-,+12,令/⑺=12(1—3甘”+12,3</<10,

求導(dǎo)得:/70=12e4-/-12(r-3)e4';=12(4-r)e4-/,當3vrv4時,/X0>0,當4VY10時,

即函數(shù)/⑴在(3,4］上單調(diào)遞增，在函10］上單調(diào)遞減,當1=4時,f⑺皿=/(4)=24,

而24>32X2>32XG=3=>/，因此當，=4時，細菌數(shù)》取最大值，

所以的值為4.故選：A

4.某校高二（3）班舉行迎新活動有十個不同的三等獎品，編號為01,02,...?10,現(xiàn)用

抽簽法從中抽取3個獎品與高二（4）班進行獎品對■換，設(shè)編號為02的獎品被抽到的可能性

為編號為03的獎品被抽到的可能性為人,則)

1010

1010

【答案】B

【分析】由抽簽法，只需3次抽簽中任意一次抽到對應(yīng)編號獎品即可，結(jié)合互斥事件加法、

獨立乘法公式求概率.

【詳解】02、03獎品被抽到，只需3次抽簽中任意一次抽到即可，

所以它們被抽到的概率均1為919而81瑞3，即°端3,暇3.

故選：B

5.以下四個命題中：

①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，

這樣的抽樣是分層抽樣；

②在線性回歸分析中，2為（）.98的模型比代為0.80的模型擬合的效果好；

③對分類變量X與y的隨機變量小的觀測值k來說，k越小，判斷“x與丫有關(guān)系的把握程

度越大；

④數(shù)據(jù)1,2,3,4的標準差是數(shù)據(jù)2,4,6,8的標準差的一半.

其中真命題的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】①根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義進行判斷，②根據(jù)回歸方程中心的意義進行判斷，③根據(jù)

分類變顯X與V的隨機變顯K?的觀測俏女的關(guān)系進行判斷，④根據(jù)數(shù)據(jù)方差之間的關(guān)系進

行判斷.

【詳解】①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線.上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取?件產(chǎn)品進行某項

指標檢測，這樣的抽樣是系統(tǒng)抽樣，故①錯誤；

②在線性回歸分析中，R2為0.98的模型比我2為0.80的模型擬合的效果好，故.2正確；

③對分類變量x與y的隨機變量K?的觀測值出來說，女越大，判斷“X與丫有關(guān)系”的把握程

度越大，故.3錯誤；

④丁兩組數(shù)據(jù)滿足y=：x,.?.它們的方差滿足。（y）=！o（x）,則標準差為

24

即數(shù)據(jù)123,4的標準差是數(shù)據(jù)246,8的標準差的一半正確，故④正確.故選：C

6.下列說法正確的是（）

A.設(shè)（工一1）9=《）+《（4-2）++。2（.1-2）2+…+〃9（工一2）‘，則％+%+。3+…+%=~1

B.己知隨機變量J服從正態(tài)分布N（2?2）,P（^<4）=0.84,則P（2<《<4）=0.16

C.隨機變量X8（3,〃），若P（XW2）=g且y=3-2X,則。（丫）=6

D.以模型y=ce”擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z=ln），，將其變換后得到線性

方程z=0.3x+4,則J上的值分別是e4和0.3

【答案】D

【分析】利用二項式定理及賦值法可得各項系數(shù)，判斷A選項：根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可

判斷B選項：根據(jù)二項分布概率公式可得〃及o（x）,進而可得。（丫）判斷c選項；利用指

數(shù)與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化可判斷D選項.

【詳解】A選項：（'一1）"=[（工一2）+1了=q）+4（x-2）++%（x-2）~+…+6（》一2）",

9

?（）=Cj（x-2）°xl=1,令x-2=l,即x=3,得％+4++/+.??+《=2”=512,所以

4+/+%+…+/=512-%=511,錯誤：

B選項：由已知可得該正態(tài)分布曲線的對稱軸為4=2,且，（4=4）=1-0.84=0.16,故

P（2<<f<4）=0.5-0.16=0.34,錯誤；

71

C選項：由X8（3,〃）得P（XK2）=l—P（X=3）=l—C；p3=（,解得〃=彳，所以

o2

1/1\Oo

Z）（X）=3x-xI--=p又y=3-2X,則r>（y）=（-2『o（x）=4x：=3,錯誤；

,/.\（女=0.3c=e4

D選項：由>"*,得z=l”=ln（ce”履+lnc,則｛,解得｛,正確；

'，[lnc=4住=0.3

故選：D.

7.通過隨機詢問相同數(shù)量的不同性別大學(xué)牛.在購買食物時是否看營養(yǎng)說明，得知有。的男

大學(xué)生“不看”，有:的女大學(xué)生“不看”，若有99%的把握認為性別與是否看營養(yǎng)說明之間有

關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為（）

A.150B.170C.240D.175

【答案】C

【分析】由題意列出2X2列聯(lián)表，并計算出爐,根據(jù)有99%的把握認為性別與是否看營養(yǎng)

說明之間有關(guān)，列出不等式，解出2加，可得答案.

【詳解】設(shè)男女大學(xué)生各有〃，人，根據(jù)題意畫出2x2列聯(lián)表，如下圖：

看不看合計

51

男—m—rnm

66

21

女—m-tnni

33

31

合計—m—m2m

22

"5112Y

2m—mx-m——x—m

所以—1—5一」=迎，因為有99%的把握認為性別與對產(chǎn)品是否滿意

%」心心利27

22

有關(guān)，所以W>6635,解得2m>179.145,所以總?cè)藬?shù)2「可能為240.

故選：C.

8.下列有關(guān)一元線性回歸分析的命題正確的是（）

A.在經(jīng)驗回歸方程5，=2-O.5X中，若解釋變量%增加1個單位，則預(yù)測值》平均減少0.5

個單位

B.經(jīng)驗回歸直線是經(jīng)過散點圖中樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線

C.若兩個變量的線性相關(guān)程度越強，則樣本相關(guān)系數(shù)廠就越接近于1

D.若甲、乙兩個模型的決定系數(shù)R2分別為（）.87和0.78,則模型乙的擬合效果更好

【答案】A

【分析】根據(jù)回歸方程的意義，逐項分析理解即可.

【詳解】對于A,-0.5的含義就是x每增加一個單位，估計值;就平均減少0.5個單位，故

A正確；

對于B,確定回歸直線的根據(jù)是誤差最小，并不是經(jīng)過的樣本點最多，故B錯誤；

對于C,相關(guān)有正相關(guān)和負相關(guān)，共同點是相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,故

C錯誤；

對于D,R2是描述擬合效果的，R2越大擬合效果越好，應(yīng)該是甲的擬合效果更好，故D

錯誤；

故選:A.

二、填空題

9.某種機械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常

把它使用價值逐年減少的“量叫奐算成費用，稱之為“失效費”.某種機械設(shè)備的使用年限x（單

位：年）與失效費），（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

使用年限X（單位：年）1234567

失效費了（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90

由上表數(shù)據(jù)可知，），與x的相關(guān)系數(shù)為.

￡"可(凹-反)7__

(精確到0.01,參考公式和數(shù)據(jù)：r=~n=---------i---------->Z(TX)(M-R=I4.OO,

\/=11=1

E(y,-y)2=7.08,

Vl98.24?14.10)

r=i

【答案】0.99

7

【分析】分別求出；，亍，可2,再利用參考公式和數(shù)據(jù)計算即可.

1-1

-1+2+3+4+5+6+7.

【詳解】由題意,x=----------------------=4,

2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90

y==4.30

^(X.-X)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4,+(4-4,+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28.

所以一"4.00一廣0014.00

u0.99.

V28x7.08V198.2414.10

所以了與％的相關(guān)系數(shù)近似為0.99.

故答案為：0.99.

10.為了增強學(xué)生的身體素質(zhì)，提高適應(yīng)自然環(huán)境、克服困難的能力，某校在課外活動中新

增了一項登山活動，并對“學(xué)生喜歡登山和性別是否有關(guān)''做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女

生人數(shù)相同，得到如圖所示的等品條形統(tǒng)計圖，則下列說法中正確的有.

□不喜歡□喜歡

①被調(diào)查的學(xué)生中喜歡登山的男生人數(shù)比喜歡登山的女生人數(shù)多

②被調(diào)查的女生中喜歡登山的人數(shù)比不喜歡登山的人數(shù)多

③若被調(diào)查的男女生均為10()人，則可以認為喜歡登山和性別有關(guān)

④無論被調(diào)查的男女生人數(shù)為多少，都可以認為喜歡登山和性別有關(guān)

【答案】①③

【分析】由等高堆積條形統(tǒng)計圖可判斷A、B；利用獨立性檢驗，計算出了2=嘿，可判斷

C、D.

【詳解】因為被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，由等高堆積條形統(tǒng)計圖可知，喜歡登山的男生占

80%,喜歡登山的女生占30%,所以A正確，B錯誤;

設(shè)被調(diào)查的男女生人數(shù)均為n,則由等高堆枳條形統(tǒng)計圖可得列聯(lián)表如下

男女合計

喜歡0.8〃0.3〃1.1〃

不喜歡0.2〃0.7〃0.9〃

合計nn2〃

2〃x(08〃x0.7〃-0.3〃x0.2n)250〃

由公式可得：z2=

l.hix0.9〃x〃x〃99

當〃=1(X)時，/=*=盜'>50,可以判斷喜歡登山和性別有關(guān)，故C正確：

而尤=鬻，所以/的值與〃的取值有關(guān)?故D錯誤.故答案為：??.

三、解答題

11.第17屆亞運會于2014年9月19日至10月4日在韓國仁川進行，為了搞好接待工作,

組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和

6人喜愛運動，其余人不喜愛運動.

⑴根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2x2列聯(lián)表：

喜愛運動不喜愛運動總計

男1()16

女614

總計30

（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否認為有99%把握性別與喜愛運動有關(guān)？

（3汝I果從喜歡運動的女志愿者中（其中恰有4人會外語），抽取2名負責翻譯工作，那么抽

出的志愿者中至少有1人能勝任翻譯工作的概率是多少？參考公式：昭=

n(ad-bc)2

其中〃=〃+/?+c+d.

(a+Z?)(c+4)(a+c)3+d)

參考數(shù)據(jù):

PCK2>ko)0.400.250.100.010

ko0.7081.3232.7066.635

【答案】（1）答案見解析；

⑵沒有99%把握認為性別與喜愛運動有關(guān);

⑶*

【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表:

（2）計算Kz后可得結(jié)論:

（3）用列舉法寫出所有基本事件，得出所求概率事件包含的基本事件，計數(shù)概率.

【詳解】（1）列聯(lián)表如卜.:

喜愛運動不喜愛運動總計

男10616

女6814

總計161430

(2)^=3OX(1OX8-6X6)\1,158<6.635,

16x14x14x16

所以沒有99%把握認為性別與喜愛運動有關(guān)；

（3）喜歡運動的女志愿者有6人，編號為。力其中c,d,ej會英語能負賁翻譯工作，

從中任取2人，基本事件有cb,aGad,ae,af,bc,bd,beM，cd,ce,qf,deMM共15個，其中至

少有1人能勝任翻譯工作的基本事件有或0共14個,

所以所求概率為尸=三14.

12.根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基池西紅柿畝產(chǎn)量的增加量），（百千克）與某種液體肥料每畝使用量

x（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.

AN（百千克）

O24568x（千克）

⑴依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)「并

加以說明（若川＞0.75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求），關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測當液體肥料每畝使用量為10千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增

加量約為多少？

nn__

2（七一了）（乂-了）Zx/一西

附：相關(guān)系數(shù)公式「二下自==7口--------=i'---------------

忸門）梅…）-唇n"唇h-"

參考數(shù)據(jù)：歷之0.55,洞之0.95

回歸方程§,=菽+方中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

2（8-了）（）Ly）2為」-〃x.y

b=上―-----------=號-----,a=y-xb,

七-寸￡片-芯

1-11-1

【答案】（1）30.95,說明見解析

（2）y=03x+2.5-550千克

【分析】⑴根據(jù)散點圖中的數(shù)據(jù)分別求得可得1亍，與h,T（）l）,（菁-可

,士&一亍）［進而求得相關(guān)系數(shù)廠，再與0.75比較下結(jié)論.

（2）結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)，分別求得/八”，寫出回歸方程，然后將x=10代入求解.

(1)

_3+4+4+4+5,

由已知數(shù)據(jù)可得X=-——-----=5,y=—5—=4，

所以2(Xj_f)(M_J9=(_3)x(T)+(T)x0+0x0+]x0+3x]=6,

1-1

因為/■Acns,所以可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系.

(2)

-ZU-4凹-刃6

b=―—j----------------=—=03,&=4-5x03=2.5,

ZGT20

r-1

所以回歸方程為R0.3x+2.5.

當x=10時,y=0.3x10+2.5=5.5.

即當液體肥料每畝使用量為10千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為550千克

13.紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)了

和平均溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及?些統(tǒng)計量的值.

（I）根據(jù)散點圖判斷，y=bx+alzjy=ccib（其中e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適

宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)1y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并

由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出），關(guān)于大的回歸方程，（計算結(jié)果精確到0.01）

⑵根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到28c以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防

治，其他情況均不需要人工防治，假設(shè)該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為p.若當

〃=〃。時，該地今后5年中恰好有3年需要人工防治的概率/（〃）最大，求見的值.

參考數(shù)據(jù)

77

ZX四yz

1=1/=1f-l

52151771371781.33.6

X（七-工）（》一）'）X文戊一

附：回歸方程§=般+務(wù)，b=-.--------=母-------T*a=y-bx-

r=li=1

【答案】（l）），=ce4適宜作為卵數(shù)￥關(guān)「溫度x的回歸方程類型，乎關(guān)于%的回歸力程為

^=eO.33x-5.31.

⑵當〃。=：時,/（P）M=）《）=股.

【分析】（1）根據(jù)散點圖判斷y=ce&更適宜作為y關(guān)于4的回歸方程類型；對），:ce&兩邊

取自然對數(shù)，求出回歸方程，再化為關(guān)于x的回歸方程；

（2）由/（〃）對其求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最值以及對應(yīng)的外值.

（1）

解:由散點圖可以判斷，「二。一『適宜作為卵數(shù)y關(guān)于溫度”的回歸方程類型.

對）,二把小兩邊取自然對數(shù)，得iny=lnc+dY,

令S=lny，8=Inc?§=d，則$=屏+》.

?.的有一21+23+25+27+29+31+33

由數(shù)據(jù)得彳=-------------------------=27,

777

^x.z.-7xz=36.6,Z（X-工）二Z“：一7了'112,

i=l1=11=1

7

.工中「7元366

所以必弓--------=—^033,於彳一r=3.6—0.33?-1,

-方“2

/■I

所以Z關(guān)于X的線性回歸方程為z=O.33x-5.31,

則丁關(guān)于x的回歸方程為2e°?疝—.

⑵由/(〃)w,0-“)2得r(〃)￡?p20-〃)(3-5〃)

3

因為Ov〃vl,令得3-5〃>0,解得0<p<]；

J

所以/(p)在(0,1)上單調(diào)遞增，在弓,1)上單調(diào)遞減，

所以/(p)有唯一的極大值為/(]),也是最大值；

所以當為[時，/(p『同嘿.

國練真題

一、單選題

1.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單

位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別

編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第

一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為：)

八頻率

0.36........................

0.24

0.16—

0.08------------------------------1

0121314151617舒張壓/kPa

A.8B.12C.16D.18

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進而求出第三組的總?cè)藬?shù),

從而可以求得結(jié)果.

【詳解】志愿者的總?cè)藬?shù)為(0.24；：⑹xL。，

所以第三組人數(shù)為50x0.36=18,

有療效的人數(shù)為18-6=12.

故選：B.

2.分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長(單位：h),得如下莖葉圖:

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.

則下列結(jié)論中錯誤的是()

A.甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6

【答案】C

【分析】結(jié)合莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、古版概型等知識確定正確答案.

【詳解】對A選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為上73氣+7上5=7.4,A選項

結(jié)論正確.

對于B選項，乙同學(xué)課外體育運動時長的樣本平均數(shù)為:

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+93+9.8+10.1。=八…。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=8.5()625>o

16

B選項結(jié)論正確.

對選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長大「8的概率的估計值2=0.375<0.4,

16

C選項結(jié)論錯誤.

對于D選項，乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值5=0-8125>0.6,

16

D選項結(jié)論正確.故選：C

3.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10

位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各【可答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在

講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%

90%

*講座前

田75%?講座后

70%

65%

60%

2345678910

居民編號

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為‘0%；75%>70%,所以A錯;

講座后問卷答題的正確率只有?個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問

卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確

率的標準差，所以C錯；

講座后問卷答題的正確率為極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯.故選:B.

4.在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，

為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與丁和電尸的關(guān)系,

其中丁表示溫度，單位是長產(chǎn)表示壓強，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當7=220,P=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當7=270,P=128時，二氧化碳處