上海市延安中學2025-2026學年高二上學期開學摸底測試(9月

月考)數(shù)學試卷

學松姓名：班級：考號：

一、填空題

1.已知A(21)、8(T,4),則前的單位向量坐標為_______.

2.已知aABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若“BC的面積為才+“一廠,。=血,

4

則該三角形外接圓的半徑等于.

3.已知角a(()°＜。＜360。)終邊上A點坐標為(sin31O。,8s310。)，則。=.

4.“南昌之星”摩天輪半徑為80米，建成時為世界第一高摩天輪，成為南昌地標建筑之一?已

知摩大輪轉一圈的時間為30分鐘，甲坐上摩大輪6分鐘后，乙也坐上了摩大輪，乂過了

改＜30)分鐘后，甲乙兩人離底面高度相等，則1=.

5.已知函數(shù)/(x)=cos5(g＞0)在區(qū)間［0,2可有且僅有3個零點，則。的取值范圍是.

6.在△A8C中，ZC=-,AC=AC=2,M為人C的中點，P在線段A8上，則麗.汴的

2

最小值為

7.已知7，］為互相垂直的單位向量，2=7-2］,b=l+Aj,且Z與石的夾角為銳角，則

實數(shù)％的取值范圍為.

8.已知|2sin〃-cos/?+2=0,sina=2sin(?+/?),則tan(a+/7)=.

9.已知函數(shù))，=f(x)的表達式是/(x)=cos2x+asinx,若對于任意XGR都滿足f(x)＜,

則實數(shù)a的取值范圍是.

10.已知/(x)=|sinx|+cosx,g(x)=/(x)+/(x+^),若存在西，"口，對任意xeR，

g(M)Wg(x)Kg(W)恒成立，貝g(內(nèi))+g(w)=.

rr

11.己知平面向量Z,",Z滿足：卜W-q=2,(Z—萬)〃0—2),(￡-力伍-力=0,

則卜-2的最大值為.

12.定義：如果一個向量列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量，那

么這個向量列叫做等差向量列，這個常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列｛Z｝是以

1=(1,3)為首項，公差2=。,0)的等差向量列.若向量7與非零向量￡=(七,七+)(〃61<)垂

直，則顯=.

玉

二、單選題

13.已知sin2e+cos。與cos26+sin。都是非零有理數(shù)，則在sin。，cos。，tan6中,一定

是有理數(shù)的有()個.

A.0B.IC.2D.3

14.已知1是平面上兩個不平行的向量，則以下可以作為平面向量的一個基的一組向量

是()

A.(1=2^+e^,b=-e^+-e^B.5=4^-2e,b-2e-e

242x2

日出=

C.=3q+&24+%D.d=e,-2e2,h=2e}+4e2

15.己知函數(shù)/(x)=sinx+cosx的定義域為［凡句，值域為［7,&］,則的取值范圍是

()

3兀nit3it

A.T?2B.2，1'_

it3兀37t3兀

C.2*TD.丁'萬

16.對于函數(shù)f(x)=2%siMx,有以下4個結論:

①函數(shù)y=/(幻的圖象是中心對稱圖形；

②任取xeR,恒成立；

③函數(shù))，=/*)的圖象與x軸有無窮多個交點，且任意兩相鄰交點的距離相等；

④函數(shù)y=/(x)與直線y=2x的圖象有無窮多個交點，且任意兩相鄰交點間的距離相等.

其中正確的個數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

三、解答題

17.已知4=(1,1),1=(4,x),"=1+2b,v=2d+b.

試卷第2頁，共4頁

(1)若?！?,求實數(shù)x的值；

(2)若(〃—2U)_L(〃+P),求實數(shù)x的值.

18.足球教練帶領運動員對“帶球射門”進行專項訓練.如圖，教練員指導運動員沿著與邊路

平行的路線帶球并起腳射門，教練員強調(diào)要在路線上的相應位置2處起腳射門進球的可

能性最佳(即點/＞對球門A8所張的角/AP8最大)，假如每條虛線都表示在規(guī)定的區(qū)域

48E內(nèi)為運動員預設的帶球路線，而每條路線上都有一個最佳起腳射門點P,為了研究方

便，如圖建立坐標系，設4-1,0)、8(1,0),P在x軸的上方.

(1)若乙424=?,求此時aAB〃的外接圓的圓心坐標

O

⑵過點。作X軸的垂線，垂足為，，若”(4,0),求當/AM最大時，點〃的坐標

19.已知函數(shù)/(力=tan?yx+yl(＜y＞0).

(I)若0=2,求函數(shù)/(x)的最小正周期及其圖象的對稱中心.

⑵若函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,同上嚴格單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

⑶若函數(shù)“X)在［。㈤(。力wR且〃＜力)上滿足“關于％的方程〃K)=百在［。肉上至少存

在2024個根”，且在所有滿足上述條件的［4句中，力-。的最小值不小于2024,求。的取值

范圍.

20.已知△QA8中，O人=0,08=6,令。4=口力行=N，且無〃=1.過A3邊上一點4(異

于端點)作邊04的垂線4Q.垂足為儲，再由《作邊。4的垂線。內(nèi)，垂足為周,乂由《

作邊A8的垂線桃，垂足為6.設由(。＜乙＜1)

(1)求人/3的長度；

(2)若。=g,西=求4的值；

(3)若存在實數(shù)3使得書為常數(shù)，求攵的值，并寫出該常數(shù).

/1?"K

《上海市延安中學2025-2026學年高二上學期開學摸底測試（9月月考）數(shù)學試卷》參考答

案

題號13141516

答案DDDB

【分析】先求48,在根據(jù)單位向量的公式求解.

【詳解】A8=（-3,3）,%=|^48=一與，去.

故答案為：卜孝，孝）

2.1

【分析】先根據(jù)己知求出C,再利用正弦定理求解.

【詳解】由題得---------=—ahsinC,--------=—?Z）smC,

4242

所以。?=2R,/.R=1

sin—

4

所以三角形的外接圓的半徑為1.

故答案為1

【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水

平，屬于基礎題.

3.140°

【分析】先根據(jù)點A的坐標求出角a的范圍，然后根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義結合誘導公式

可求得答案.

【詳解】因為角4（0。＜a＜360。）終邊上八點坐標為（近11310。,8$310。），Ksin3100＜0,

cos310°>0,

所以90。＜。＜180°,

cos310°cos(3600-500)cos50°

因為(ana=-------=-------------=--------

sin310°sin(360°-50°)-sin50°

cos(90o-40°)sin40°

--sin(90°-40°)--cos4D°

=-tan<)°

答案第1頁，共13頁

=tan(180°-40o)=tanl40°,

所以。=140。.

故答案為：140。

4.12

【分析】根據(jù)甲乙兩人離底面高度相等，即甲乙關于摩天輪初始位置所在的直線對?稱，列出

等式即可求解.

【詳解】1分鐘12、，甲乙相差72"當甲乙離地面高度相等時,

乙轉了180-36=144,即12分鐘

故答案為：12.

5z]

5.彳引

【分析】由仆）=。，求得-力受得出函數(shù)的零點，集合題意，得出不等式

5兀7n

——<2n<——，即可求解.

2a)2co

【詳解】由函數(shù)/（X）=COS0X,令/（刈=0,即COS3X=0,

解得①x=N+E,kwZ,可得x=」-+@4eZ,

22coco

因為&wZ,則對應的零點為〈丁,丁,丁，丁,,?

I26?2(02co2(0

因為函數(shù)/（x）=cos>0）在區(qū)間［0,2可有且僅有3個零點,

則滿足57r等2兀若77r，解得5%。小7即實數(shù)”的取值范圍為由3

2(o2a44

52、

故答案為:4a

6.I

【分析】以線段A/3的中點為坐標原點，線段A/3所在直線為x軸，線段八B的垂直平分線為

V軸建立平面直角坐標系，直接利用數(shù)量積的坐標運算求最值即可.

【詳解】如圖：以線段AE的中點為坐標原點，線段所在直線為x軸，線段AB的垂直平

分線為）'軸建立平面直角坐標系,

答案第2頁，共13頁

則q芋制,C(O，0)，設PG，O)，-限x"及，

則XlPCP=}[,-應)=(彳-'^>+1=x2~~^~x+1，

當工=4時，(稱.現(xiàn)「圖-爭￥+1]

故答案為：].

O

7.且2H—2

2

【分析】根據(jù)題意可知0=1,|7|=1,77=o,3石>0,可得出％的取值范圍，再計算Z與

〃同向時見的值，即可得2的取值范圍.

【詳解】因為[與7；的夾角為銳角，

所以75=用年以吠￡石)>。，且Z與5不同向，

所以￡?]=(-+(A-2)r?j-2Aj2=|f|2+(2-2)f-J-221/>0,

因為7，J為互相垂直的單位向量，

所以『=1,|4=1,7?1=o，

所以1-24>0,可得義<!，

2

當￡與萬同向時，2=/^(/>0),B|JZ-2J=/(7+2J),

/=1A=—2

可得.,，可得〈.，此時不滿足Z與坂的夾角為銳角，

—2=Att=I

答案第3頁，共13頁

綜上所述：實數(shù)4的取值范圍為且義工-2.

故答案為：且2H-2.

8.—/0.5

2

【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關系計算即可

【詳解】由題意可知*ina=*in[S+/?)—/?]=sin(rr+/yjcos/?—cos(<y+/?)sin/?

=2sin(a+/7),

即sin((7+/?)(cos/7-2)=cos(a+//)sin/7,

由題意可知cos(a+〃)wO,cos/y-2H(),

sin(a+0sinpsinp1

Illi----------=--------=------=-

'cos(aIB)cos(322sin(32

故答案為：\

【點睛】方法點睛：三角恒等變換化簡求值問題需要注意已知角與未知角的關系，利用合理

的配湊即可處理.本題已知￡及。與a+尸的關系，所以構造sina=sin((a+Q)-/?),利用整

體思想湊出未知式計算即可.

9.[4,芹)

【分析】把函數(shù)/。)化成關于sinx的二次型函數(shù)，再換元利用二次函數(shù)取最大值的條件求

出a的范圍作答.

【詳解】依題意,/(x)=-2sin、+asinx+l,XGR,令/=sinxw[-l,l],

對于任意xeR都滿足/J)工/弓)，則有/(x)g=/($，即當x=],sinx=l時，函數(shù)”用

取得最大值，

于是函數(shù)y=-2/+”+l,在“I時取得最大值，因此(21,解得。之4,

所以實數(shù)a的取值范圍是4+8).

故答案為：[4,48)

【點睛】思路點睛：涉及求含正(余)的二次式的最值問題，可以換元或整體思想轉化為二次

函數(shù)在區(qū)間卜1』或其子區(qū)間上的最值求解.

10.2&

答案第4頁，共13頁

【分析】依題意，先確定函數(shù)g(x)，再由三角函數(shù)的性質(zhì)確定最大最小值.

【詳解】依題意，

g(x)=f(v)+/(x+^)=|sinxI+cosx+1sin(A：+|+cos(^+y)

=|sinJV|+cosA+Icosx|-sinx

.71

一sinx+cosx-cosx-sinx,xc2kn-n,2kn—

2

-sinx+cosx+cosx-sinx,xe2kn--,2kli

【2

sinx+cosx+cosx-sinx,xe2/ai,2kn+—

12

sinx+cosx-cosx-sinx,xe2kn+—,24兀+冗

I2

-2s\nx,xe2E-兀2E一色

2

2>/2xu2而號，2E

1%eZ),

2COSX,XG2k7t,2k7t+—

I2

0,xe2kn+—,2kn+n

【2

對任意xeR,g(內(nèi))4g(x)Ag(8)恒成立,

當xw2E-兀(kEZ)時，g(x)?0,2],

當xe(AeZ)時，則x+；+；(keZ),g(x)1替2&,

Z-

當xe2kn,2kji+^(kwZ)時，g(x)i[0,2),

zx

當xw2kn+—,2/ai+n(k=Z)時，^(x)=0.

、2J

g(x,)<^(x)min=0得I"=2近

所以g(X2)Ng*)nux=2&

所以g(N)+g(%)=2夜.

故答案為：2&-

【點睛】對于不等式恒成立問題，常轉換為研究函數(shù)的最大、最小值滿足不等式.

II.3

【分析】依題意，如圖作出各向量，可判斷點A,8,C共線，且|84|=1,|8。|=2,點D的

答案第5頁，共13頁

軌跡是以線段AB為直徑的圓，故卜一⑷即可理解為點C到圓上點的距離，即得點。與點A重

合時取得最大值.

【詳解】

依題意，如圖分別作。i=ZoQ=/；,03=2,0/5=2,其中卜網(wǎng)二邛一目=忸4=2,

由他-5)〃伍一己知麗〃而，依題意知點c有兩個位置，即點c和點G，

又12=礪不缶而，由倒叫(5")=0知辦j.麗，

即點。的軌跡是以線段人8為直徑的圓.

故)-2=方己的模長當且僅當點。與點A重合時取得最大，最大值為|。(|=2+1=3.

故答案為：3.

【點睛】方法點睛：本題主要考查向量的模長的最值問題，屬于難題.對于抽象的向量的共

線，垂直，模長等相關量的問題，一般是根據(jù)題意作出滿足條件的圖形，將問題轉化成幾何

圖形的距離、夾角等相關品來解決.

⑵一翁Y

【分析】根據(jù)等差向量列的定義可得彳=(〃,3),根據(jù)向量垂直的數(shù)量積的形式可得

,g故可嘮

【詳解】7=(1，3)+(〃-1)(1,0)=(〃,3),

因為向最Z與非零向量叫=(七B乂〃wN')垂直,

故/叫=-3%…

由題設可知外工0,故乙=0,故&^二一^,

Xn$

,,再°再。內(nèi)占x,9x8x..?xl

X]xyx,x,3

答案第6頁，共13頁

8x7x2x5x4x24480

=----------------------=---------,

3’243

」

故4X答5案*為：一4年480~

13.D

【分析】令（2sin6+l）8s6="（"sin6）（2sine+l）=〃，分別用〃?，〃表示sin。，cos。,tan。,

進而求得在sin。，cos。，tan。中一定是有理數(shù)的個數(shù).

【詳解】sin2e+cos6=2sin8cos6+cose=（2sine+l）cos。，

cos2^+sin^=1-2sin?^+sin^=(l—sin^)(2sin^+l),

(

則［(l2.ssiniM8+(l2)scionse"+0l"則sin—k|cos。"

(2sinO+l)cos8=〃7

則“7,〃為非零有理數(shù),

(1-sin6)(2sin6+1)=〃

若〃?+〃=(),則cosO-sinO+l=0,

結合上述限制條件可得cos〃=-Lsin0=O,此時tane=0,

故三者中有理數(shù)的個數(shù)為3個.

若〃?+〃/0,

9.0、0

?絲—(2sin夕十1)cos。_cosd_222

77一(1-sin0)(2sin0+l)-1-sin。-cos四+si/-1+tan，

222

430n-m.n-m...0

解之得匕11二=----,令-----=t,Wijtan-=r,

2n+mn+m2

市,〃〃工0,可得rx±l,r為有理數(shù),

tan—2f

則sin。=2sin—cos—=-------j,

22“an】

2

cos0-cos2--sin2—=--,tan0=」，

221+/2\-t2

則sin0,cos0.tan夕均為有理數(shù).

綜上，在sin。，cos〃，lan9中，一定是有理數(shù)的有3人.

故選：D

答案第7頁，共13頁

n

【點睛】關鍵點點睛：關鍵是得到tan^=i是有理數(shù)且"±1,從而即可順利得解?.

14.D

【分析】可以作為一組基底的條件為兩個向量不共線，分別判斷選項中的向量是否共線即可.

【詳解】對于A,4=2力+[=4(；4+；&j=4方，故2方共線，故A錯誤；

對于B"醞一區(qū)=2(石一動=涕,故共線,故B錯誤；

對于C,已=31+32=31+0)=36,故￡出共線，故C錯誤；

對于D,設￡=4，2wR,則日=4-2%=〃=4(2冢+4《)，

?_24

所以~2無解，故34不共線，故D正確.

-2=4X

故選：D.

15.D

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)，結合定義域和值域，即可求解.

【詳解】f(-V)=sinx+cos=>/2sin(x+—),因為所以x+;€〃+/,/?+?,因

44L44

為—lK0sin(x+f)K&,所以—立43](工+凡)41.

424

正弦函數(shù)卜=力0在一個周期-與內(nèi)，要滿足上式，則x+,

37r3兀

所以("一吟皿=7--7=y*(z?-^)=T_7=T,所以。一。的取值氾圍是

minT'T

故選：D

16.B

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、正弦函數(shù)的性質(zhì)，結合特例法逐一判斷即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=2xsin》,定義域為R,

①：因為/(-力=-2心訪2工=-/(“，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖象關于原點對稱，是中

心對稱圖形，因此本結論正確；

②：因為Ovsii?lcl,所以/(T)=-2siYl>-2,因此/(-1)工-2不成立，所以本結論不

正確；

③：令y=/(x)=O,即2工點1?工=0,解得x=0或sinx=O,其中當sinx=O時，x=〃兀(〃eZ),

顯然函數(shù)y=/@)的圖象與軸有無窮多個交點，且任怠兩相鄰交點的距離相等，因此本結論

答案第8頁，共13頁

正確；

?：/(x)=2xsin2x=2x,解得x=0或sii?x=1,其中當sii?x=l時，x=br+1(AreZ),

三一°=3，=兀，顯然任意兩相鄰交點間的距離相等不正確，因此本結論不正確：

2222

所以4個結論中，正確的有2個.

故選：B.

17.(1)4；

Q)-6

【分析】(1)利用向量平行(共線)的坐標關系可得；

(2)利用向量垂直即數(shù)量積為零即得.

【詳解】(1)解：故Lx=L4nx=4；

(2)解：〃-2P=4+2萬-2(2〃+行)=-3〃

〃+9=〃+26+2，+6=34+36

,/(?—2v)±(w+v)

...(一34)(3白+3萬)=0

.\2+4+x=0

/.x=-6.

18.(1)(0,x/3)；

(2)(4,715)

【分析】(1)利用正弦定理求出AABP的外接圓半徑，再設出圓心坐標，借助勾股定理求解

即得.

(2)利用直角三角形邊角關系，用點P的縱坐標表示tanZAP”」an/8P”，再利用差角的

正切公式建立函數(shù)關系，借助基本不等式求解即得.

【詳解】(1)在△A8P中，設其外接圓半徑為R,AB=2,NAP3=m，

O

Afi

由正弦定理得2"=.笑=4,解得R=2,

sin/.A0PB0

顯然的外接圓圓心在線段A8的中垂線，即》軸上，設圓心坐標為(0，%)，%＞。，

于是1+巾=4,解得%=后，

答案第9頁，共13頁

所以AABP的外接圓的圓心坐標為(0,6).

(2)設點P(4J)">。，顯然A”=5,BH=3,而尸?軸，

AlJCRH3

則tanAAPH=—=-,tan4BPH=——=-,

PHtPHt

5_3

于是tanNAPB=lan(/4P"-ZBPH)=1，=-^―<—?==—,

1+2.3/+"2V1515

ttt

當且僅當/=}即y后時取等號，而一"4是銳角，正切函數(shù)尸tanx在嗚)上單調(diào)

遞增，

因此最大，當且僅當lan/A08最大，

所以當NAP4最大時，點?的坐標是(4,店).

【點睛】關鍵點點睛：涉及直角三角形銳角的三角函數(shù)，合理利用直角三角形中邊的比表示

是解題的關鍵.

7C兀內(nèi)C八,?

19.(1)—??一"7十二，AeZ

2164)

⑵(咱

⑶(。符

【分析】(I)先寫出函數(shù)“外的解析式，進而求出該函數(shù)的最小正周期和對稱中心；［2)

由題意利用正切函數(shù)的單調(diào)性，求得。的范圍；(3)由題意利用正切函數(shù)的周期性和零點,

結合正切函數(shù)圖象的特點，求得。的范圍.

TT

【詳解】(1)由于/(x)=tan(ox+§),且3=2,

JFTT

所以f(x)=tan(2x+《)的最小正周期為:，

令2x+g=母，求得工=?-?,keZ,

3246

故/。)的圖象的對稱中心為("一?，0),kwZ.

46

答案第10頁，共13頁

（2）若函數(shù)），=/（x）在區(qū)間［0,7C］上嚴格遞增,

則只需保證5十;<三，求得?且G>0,

326

即。的范圍為（。［）.

（3）函數(shù)/（%）=121!（5：+』（0>0）的最小正周期為巴，

I3J3

關于X的方程/（X）=6在區(qū)間［〃/］上至少存在2024個根,

故當xw［a,b］時，關于x的方程tan（<yx+y）=G至少有2024個根，

即關于x的方程5+^=桁+^，&eZ,至少有2024個根，

JJ

即當向時，關于x的方程式=Ir三TT，kjZ,至少有2024個根.

（0

且在所有滿足上述條件的中，b-a的最小值不小于2024,

,JI

故匕一〃至少包含2023個周期，2023—>2024,

（0

w、1/八2023兀

所以時］?

20.(1)73

⑵“T

（3乂=-9；該常數(shù)為一1

49

【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積求出cos4O8,余弦定理求的長度；

（2）由乙=；,得相=8"告，設NO8A=a,余弦定理求cosa,由叫=3/cosa,

可得4的值;

⑶由A［=A可求得A￡=￥-蜘，則有“得-，代入篙中判斷值為常

數(shù)的條件.

【詳解】⑴設NAO8=0,則占名=|同Mcos6>=>/2?>/§-cos^=1,得cos0=也

6

所以A8=&M2+CB2-2OACBcos。"+3-2."5骼:后

(2)由已知=6,一］)=3而，則AE=8<=立，

22

222

n…nlAB+OB-OA3+3-22

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答案第11頁，共13頁

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