專題8-3圓錐曲線小題綜合

目錄

講高考...................................................................................1

題型全歸納...............................................................................2

【題型一】圓錐曲線定義型..........................................................2

【題型二】焦點(diǎn)弦與焦半徑型........................................................3

【題型三】定比分點(diǎn)................................................................4

【題型四】離心率綜合..............................................................5

【題型五】雙曲線漸近線型..........................................................6

【題型六】拋物線中的設(shè)點(diǎn)計(jì)算型....................................................7

【題型七】切線型..................................................................8

【題型八】切點(diǎn)弦型................................................................9

【題型九】曲線軌跡型.............................................................10

專題訓(xùn)練.........................................................................11

講高考

>0力〉0）滿足2

1.且與橢圓

2(1-b-

X

-

11有公共焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（)

2r

+3,￡

A廠

E=---

.4.5￡B.8

D.21￡0

,

%1X3

C4--

f-

2.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）已知拋物線），2=46x,5K分別是雙曲線［=1（〃>（）,5>0）

a"o

的左、右焦點(diǎn)，拋物線的譙線過雙曲線的左焦點(diǎn)R,與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A,若

4a=（’則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

C.丁_2_=1D.-=1

44-

3.（2。22?全國?統(tǒng)考高考真題）已知橢圓U?六…>。）的離心率%》人分別

為C的左、右頂點(diǎn)，8為C的上頂點(diǎn).若8<-84；=-1,則C的方程為（）

x~y".+=，

AA.—+—=1B.Vfc-D.—+/=1

18162.

4.（2022.全國?統(tǒng)考高考真題）橢圓C:二+*=1（4>0>0）的左頂點(diǎn)為4,點(diǎn)P,。均在C

a~b~

上，且關(guān)于y軸對(duì)稱.若直線AP,4Q的斜率之積為：，則C的離心率為（）

4

A.正B.正C.；D.-

2223

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)仇3,0）,

若|A耳二忸耳，則|A@=1）

A.2B.2&C.3D.372

6.（2022.北京?統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐尸-AAC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是△A4C及其內(nèi)

部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={QeS|尸QW5},則丁表示的區(qū)域的面積為（）

3乃

A.—B.兀C.2?rD.34

4

7.（2019?北京?高考真題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：/+V=]+x|）,

就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線。恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過近；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面枳小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

A.①B.②C.①@D.①②③

8.（2018?全國?高考真題）已知雙曲線C：y-y2=l,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為C的右焦點(diǎn)，過

戶的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M、N.若aOMN為直角三角形，則|MM=

A.-B.3C.2-\/3D.4

題型全歸納

【題型一】圓錐曲線定義型

【講題型】

例題L,拋物線丁=23（〃＞。）的焦點(diǎn)為尸，若對(duì)于拋物線上的任意點(diǎn)兒歸根+戶用

的最小值為41,則〃的值等于.

22

例題2.已知雙曲線C：y-^=1的左焦點(diǎn)為點(diǎn)F,，右焦點(diǎn)為點(diǎn)F2，點(diǎn)M(x,y)(x*±5)為雙

曲線C上一動(dòng)點(diǎn),則直線與M6的斜率的積匕%?左啖的取值范圍是.

【講技巧】

基本定義

(1)橢圓定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：PF1|+|PF2|=2a,|F1F2=2c且a>c(其中a>0,cO,

且a,c為常數(shù))

(2)雙曲線定義：動(dòng)點(diǎn)F滿足：|PF1-|PF2||=2a,|F1F2=2c且aVc(其中a,c

為常數(shù)且a>0,c>0).

(3)拋物線定義：|P/1=|PM，點(diǎn)尸不在直線/上，于M

拓展定義

?

r2b

,A,B是橢圓(?：左+￥=1(QX),b>0)上兩點(diǎn)，M為A.B中點(diǎn)，則KAB*KOM=---

a-(可用點(diǎn)差法

快速證明)

&52

是雙曲線：方上兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則

2.A,BCA—7=1(?>0.X))MA,BKAB?KOK1=—

a~(可用點(diǎn)差

法快速證明)

【練題型】

1.已知拋物線C：y2=2px(〃>0)的焦點(diǎn)為/，直線/與C交于A,區(qū)兩點(diǎn)，AF±BFf

線段A8的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,則的最小值

\MN\

為

2.已知耳，鳥分別為雙曲線二一與=1(。>0*>0)的左、右焦點(diǎn)，以耳鳥為直徑的圓

a~b~

與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為"，N,設(shè)四邊形耳的周長(zhǎng)為〃，

面積為S,且滿足325=/，則該雙曲線的離心率為.

【題型二】焦點(diǎn)弦與焦半徑型

【講題型】

例題1.如圖，過拋物線曠2=2/?(〃>0)的焦點(diǎn)/作兩條互相垂直的弦43、CD,若

△AC戶與面積之和的最小值為16,則拋物線的方程為.

AGRGn收

Ae------C.---Ue---

3223

例題2拋物線y2=4x,直線1經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若瓦？=4而,

則AOAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.

【講技巧】

其傾斜角為尚j則際昨1黑且言I

【練題型】

22

1.已知橢圓「：5+與=1（。＞〃〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，A,點(diǎn)AB在橢圓「上,

crb~

麗?耳月=0且麗=/&,則當(dāng)4[2,3]時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍為.

22/T

3.已知橢圓C：[+[=1（?！?〉0）的離心率為正，過右焦點(diǎn)/且斜率為攵（攵＞0）

a~b~2

的直線與橢圓C相交于4、B兩點(diǎn).若衣=3麗，則4=.

【題型四】離心率綜合

【講題型】

x2y2x2V2

例題1.已知橢圓-7+為=1（%＞0）與雙曲線F-4T=1（出＞（）,仇＞0）有公共

a；b「a；b-

的左、右焦點(diǎn)。入，它們?cè)诘谝幌笙藿挥邳c(diǎn)P，其離心率分別為q,6，以片，鳥為直徑的圓恰

11

好過點(diǎn)P,則=+W.

e\e2

22

例題2.已知片，工為雙曲線C:二-二=1（〃＞0/＞0）的左、右焦點(diǎn)，P（Xo，No）是雙曲線。

crbj

右支上的一點(diǎn)，連接P"并過6作垂直于P"的直線交雙曲線左支于R,Q,其中

R（-/，一%），為等腰三角形.則雙曲線C的離心率為；

【講技巧】

解題時(shí)要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為aAc的關(guān)系式.求離心率的常用方法有：

(1)根據(jù)條件求得a，A、J利用e=5或e="心求解；

(2)根據(jù)條件得到關(guān)于。，瓦。的方程或不等式，利用e=￡將其化為關(guān)于e的方程或不等

a

式，然后解方程或不等式即可得到離心率或其范圍.

【練題型】

1.已知Fi，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且乙F1PF2=^，記橢圓

和雙曲線的離心率分別為內(nèi),與，則上的最大值是()

2.已知尸是橢圓捺+%-〉。)的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線產(chǎn)”與橢圓相交于人B兩點(diǎn)'且

乙4所=60。，則橢圓離心率的取值范圍是()

【題型五】雙曲線漸近線型

【講題型】

例題1.已知雙曲線c的中心為。，左、右頂點(diǎn)分別為A，4,左、右焦點(diǎn)為"，入，過6的

直線與C的兩條漸近線分別交于RQ兩點(diǎn).若PO//QE，QA{lQA2t則。的離心率等

于.

22

例題2.已知雙曲線。:二-與=1(。>0/>0)的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作雙曲線C的一條漸近

a'b~

線的垂線/,垂足為“，垂線/與雙曲線的另一條漸近線相交于點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).若

△R9/為等腰三角形，則雙曲線的離心率為.

【講技巧】

漸近線

(1)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b

(2)定點(diǎn)到漸近線的距離為電

a

22

(3)一直線交雙曲線5-二二1的漸近線于A3兩點(diǎn)。A,B的中點(diǎn)為M,則

ab

(4)過雙曲線3-卓二1上任意一點(diǎn)「做切線’分別角兩漸近線于MN兩點(diǎn)’。為坐

標(biāo)原點(diǎn)則有如下結(jié)論：

22

①OMQN=a”+b'；②。MOM=a+b;（3）SAONiV=ab

【練題型】

1.已知雙曲線C:l(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為4,且以4為圓心，雙曲線虛軸長(zhǎng)為直徑

a1h1

Tv27r

的圓與雙曲線的一條漸近線相交于民C兩點(diǎn)，若,則雙曲線C的離心

JJ

率的取值范圍是__________.

22

2.已知產(chǎn)是雙曲線E：=一[=1(。>0,〃>0)的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)產(chǎn)的直線與雙曲線E

a2h2

的左支和兩條漸近線依次交于A,B,。三點(diǎn).若|砌=|4卻=忸。，則雙曲線E的離心

率為.

【題型六】拋物線中的設(shè)點(diǎn)計(jì)算型

【講題型】

例題1.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是以尸為焦點(diǎn)的拋物線V=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段尸尸

上的點(diǎn)，且尸M=2M/，則直線OM的斜率的最大值為.

例題2.已知尸為拋物線V=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,4在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，萬.麗=2

(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則AABO與4AFO面積之和的最小值是.

【講技巧】

A8是拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦，設(shè)A3在準(zhǔn)線上的射影分別為

",則：

⑴%丫2=-/，52=!；

(2)|AB|=X[+w+p；

(3)若AB傾斜角為"則|A卻=之；；

sin-0

(4)以48為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

(5)邛工BF;

(6)若M是4片中點(diǎn)，則AAf_L8A/.MFLAB.

(7)A,。,用共線，B,O，A共線；

112

（8）\AF\+\BF\=~p

【練題型】

L已知直線/：），=x+l與拋物線C:/=），交于A1兩點(diǎn)，點(diǎn)P（O,D,2C-L0）,且

PQ=2QA=N三R）,貝!）2+〃=.

2.已知拋物線,/=4x,過其焦點(diǎn)F作直線/交拋物線于A,B兩點(diǎn)，M為拋物線的準(zhǔn)線與

x軸的交點(diǎn)，tanZAMB=-,則|人同=.

【題型七】切線型

【講題型】

22

例題1E知橢圓G：，+￡=l（a>〃>0）與圓。2：/+），2=",若在橢圓G上存在點(diǎn)P,使

得過點(diǎn)P所作的圓c2的兩條切線互相垂直，則橢圓G的離心率的取值范圍是（）

A.［別B.悍用。.囹。.例

例題2..兩個(gè)長(zhǎng)軸在x軸上、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且離心率相同的橢圓.若A,分別為外層橢

圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，分別向內(nèi)層橢圓作切線AC,BD,切點(diǎn)分別為C,。，且兩切線斜

率之積等于-2，則橢圓的離心率為（）

16

A3R"「9G

A.-B.--C.—D.--

44162

【講技巧】

L橢圓：

若弓（/，%）在橢圓「+與=1上，則過幾的橢圓的切線方程是W+誓=L

ab"ab

2.雙曲線：

^,￡=1

若《（/，）’0）在雙曲線〃b2（a>0,b>0）上，則過外的雙曲線的切線方程是

5％。二［

2-

Mb*

3.點(diǎn)戶（線,幾）是拋物線y2=2〃a（〃沖0）上一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切線方程是：

）'0）'='〃（與+工）；

【練題型】

1.已知點(diǎn)上是拋物線r=4.y的焦點(diǎn)，點(diǎn)用為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過用作拋物

線的切線，切點(diǎn)為A,若點(diǎn)A恰在以￡、F2為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

AV6-V2

ry?B?x/2+1

2

P限+&D.V2-1

2

2.已知拋物線C:/=4），的準(zhǔn)線上有一點(diǎn)M,過點(diǎn)M作C的切線MA,MB,切點(diǎn)分別為A,

4,點(diǎn)尸為C的焦點(diǎn)，則對(duì)于以下命題:①A,4,r三點(diǎn)共線;②ZAMB=90。；③加/_1.八8;

④乙4=-4,其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【題型八】切點(diǎn)弦型

【講題型】

例題1.已知橢圓￡:'+y2=1的左焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)P（2,。作橢圓E的切線左、PB,切點(diǎn)

分別是A、B,則三尾形A3尸面積最大值為（）

4

A.72B.1C.2D.-

3

例題2.已知點(diǎn)尸在拋物線），2=2px（p>0）上，過P作圓（3-1『+），2=1的兩條切

線，分別交拋物線于點(diǎn)A,B,若直線A3的斜率為-1,則拋物線的方程為（）

A.y2=4xB.y2=2xC.y2=xD./=-

【講技巧】

【講技巧】

1.橢圓：

22

若弓（%,），0）在橢圓5+4=1外，則過P。作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為Pi、P2,則

a~b

切點(diǎn)弦PR的直線方程是學(xué)X>Z-i

b2

2.雙曲線：

，2

土-匕=1

若4（/，/）在雙曲線/b-（a>0,b>0）外，則過P。作雙曲線的兩條切

V_X）Z=1

線切點(diǎn)為PlsP2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是/b2.

3?點(diǎn)P（4,八）是拋物線），2=2〃氏（,〃工0）外一點(diǎn)，則拋物線過點(diǎn)P的切點(diǎn)弦方程是:

%y=g+x）；

【練題型】

1.已知橢圓上十上=1,圓O:/+V=4,過橢圓上任一與頂點(diǎn)不重合的點(diǎn)G引圓的兩條切

124

31

線，切點(diǎn)分別為尸，。，直線PQ與x軸，軸分別交于點(diǎn)M，N,則麗7+鬲二()

A-7B-1c-?D-i

2.己知拋物線。：/=20，(〃>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,點(diǎn)M(&y),N(w，%)在拋物

線。上，過點(diǎn)M,N作拋物線C的切線4，/2,其中…，/_《不與坐標(biāo)軸垂直，直線外

，2交于點(diǎn)3若直線MN過點(diǎn)(。,1),則當(dāng)△￡〃村的面積最小時(shí)，%+W=()

A.±-B.±1C.0D.土上

42

【題型九】曲線軌跡型

【講題型】

例題1.方程(x+g-1)擊2+._4寺所表示的曲線是

例題2.平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的積為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡一般稱為卡西尼(cassia)卵形線,

已知曲線E為到定點(diǎn)”(M,0)，"(石,0)的距離之積為常數(shù)4的點(diǎn)P",)，)的軌跡，關(guān)于曲

線E的幾何性質(zhì)有下四個(gè)結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是()

A.曲線￡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.△P6外的面積的最大值為2

C.其中工的取值范圍為卜"，近］D.其中的取值范圍為［-療,4］

【講技巧】

求軌跡方程：

(1)直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

(2)定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫

出方程；

(3)相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)％、y表示相關(guān)點(diǎn)p的坐標(biāo)與、兒,然后代入點(diǎn)夕的坐

標(biāo)(事,先)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程；

(4)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)X、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找X、y與其一

參數(shù),得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

(5)交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)

的軌跡方程.

【練題型】

1.動(dòng)點(diǎn)M在圓V+丁=25上移動(dòng)，過點(diǎn)M作工軸的垂線段MO,。為垂足，則線段MD中點(diǎn)

的軌跡方程是.

I47

B.?？?1

A.C土1

25252525

2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)PQ小〃）是圓。-2）2+（），-41=；內(nèi)（含邊界）一點(diǎn).記直線

也總的傾斜角分別為恒，且滿足tan此：—1則點(diǎn)”的軌跡長(zhǎng)度為——

一、單選題

1.設(shè)尸為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在。上，點(diǎn)8（40）,若恒尸|=忸同，則A8的中點(diǎn)

到V軸的距離是（）

A.2B.2夜C.3D.372

2.設(shè)6，尸2分別是雙曲線。：捺-￡=1（。＞0/＞0）的左、右焦點(diǎn)，過尸2作C的一條漸近線的垂

線，垂足為P,若I尸用=后|尸周，則C的離心率為（）

A2。R2?「3石c3不

A?-----O?---------1/?--------1J?---------

5757

2

3.已知過橢圓。:/十二=1的上焦點(diǎn)〃且斜率為我的直線/交橢圓C于AB兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)

2

原點(diǎn)，直線。4。8分別與直線），=2相交于M,N兩點(diǎn).若ZMON為銳角，則直線/的斜率4的

取值范圍是（）

&x/2

A.(-<o,-l)u(l,+oo)B.

KF

c.—,---UD.）

22卜多圖5?

22

4.已知雙曲線。!-3=1（?！?力〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為「，K，。是雙曲線C的一

條漸近線上的點(diǎn)，且線段夕匕的中點(diǎn)M在另一條漸近線上.若NP6￡=45。，則雙曲線C的

離心率為（）

A.72B.V3C.2D.45

a

5.已知拋物線丁2=2內(nèi)（〃＞0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)"在拋物線上，且若△OFM的

面積為4&，則〃=（）

A.2B.4C.2&D.472

入分別是雙曲線/

6.己知匕,=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)，過入的直線分沏交雙

曲線左、右兩支于A,4丙點(diǎn)，點(diǎn)。在x軸上，加=3耳鼠B6平分/片區(qū)。，則雙曲線「的

離心率為（）

A.gB.V5C.6D.V?

7.圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過拋物線

焦點(diǎn)/作拋物線的弦，與拋物線交于A,A兩點(diǎn)，分別過A,B兩點(diǎn)作拋物線的切線乙，4相

交于點(diǎn)P,那么阿基米德三角形E44滿足以下特性：①點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上；②△以4

為直角三角形，且/”3為直角：③PF上AB,已知。為拋物線爐=》的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則阿

基米德三角形面積的最小值為（）

A.4B.-C.2D.1

24

8.已知橢圓。：￡+￡=1（〃＞方＞（））的左、右焦點(diǎn)分別為吊工，點(diǎn)?在橢圓。上，若離心率

a'b'

\PF.\

?=身，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.（0.V2-1）D.[&TI）

二、多選題

9.已知曲線Cifsina+VcosauMowavW，則下列說法正確的是（）

A.若曲線C表示兩條平行線，則。=0

B.若曲線C表示雙曲線，則］＜。＜兀

C.若0＜a\,則曲線C表示