天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列調(diào)查方式合適的是（）

A.要了解一批節(jié)能燈泡的使用壽命，采用全面調(diào)查的方式

B.要調(diào)查某個(gè)班級(jí)同學(xué)的身高，采用抽樣調(diào)查的方式

C.調(diào)查海河某段水域的水質(zhì)情況，采用抽樣調(diào)查的方式

D.調(diào)查全市高中生每天的睡眠時(shí)間，采用全面調(diào)查的方式

2.如圖所示，在三楂臺(tái)中，截去三棱徘小-48C,則剩余部分是（）

C.三棱柱D.三棱錐

3.一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個(gè)紅球，4個(gè)白球，若干個(gè)黑球，每次搖勻

后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記卜.顏色后再放回袋中，經(jīng)過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)

定在0.4,則袋中約有黑球（）

A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)

4.已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1且長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則

這個(gè)球的表面積為（）

A.14nB.2v,r|4iC.56元D.4而X

5.已知一組數(shù)據(jù)為92,93,90,87,91,89,90,94,則這組數(shù)據(jù)的)

A.極差為6B.中位數(shù)為90C.第70%分位數(shù)為92D.平均數(shù)為90.25

6.設(shè)，〃，〃是兩條不同的直線，a,B，》是三個(gè)不同的平面，給出下列命題:

①當(dāng)aJ,。時(shí)，若￡I【y,則a_l_y；

②當(dāng)"_1_。時(shí)，若?！?,則加〃“：

試卷第I頁(yè)，共4頁(yè)

③當(dāng)陽(yáng)l。，"u。時(shí)，a//p,則加，〃是異面直線;

④當(dāng)〃?〃〃，〃J_。時(shí)，若mt-a,則aJ.。

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.IB.2C.3D.4

7.甲、乙、丙三人參加縣里的英文演講比賽，若甲、乙、丙三人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別

123

為彳,三.一且三人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這三人中至少有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率為

()

I7II17

A.-B.C.—D.—,

▲242424

8.圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為2,母線長(zhǎng)為4.已知P為該圓臺(tái)某條母線的中點(diǎn)，

若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)尸出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P,則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑

9.在各校長(zhǎng)均為1的正三棱柱力3C-n81G中，。、E分別為8濟(jì)、的中點(diǎn)，過(guò)力、。、

E三點(diǎn)的截面將三棱柱分成上下兩部分，記體積較小部分的體積為匕，另一部分的體積為人,

B-殺C一

A.D.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

二、填空題

10.某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名.現(xiàn)用分層抽樣的

方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)

的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為.

11.已知事件/、8互斥，尸（.41陽(yáng)=1,且P（/）?2P伊）,則P（8）=.

12.將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的外接球體枳

為.

13.棱長(zhǎng)為2的正四面體的表面積是；體積是.

14.從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同數(shù)字，這3個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為.

15.如圖，在正方體力8。。-小&G3中，E、F分別為BC,CG的中點(diǎn)，則直線4田與E/

所成角的大小為:直線CQ與平面OE/所成角的正弦值為.

三、解答題

16.某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)

生的分?jǐn)?shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量〃）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50,60）、

[60,70）,[70,80）,[80,90）、回,1001的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在150,60）、

[90,100]的頻數(shù)分別為8、2.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

《天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)123456789

答案CBCACCDAB

1.C

【分析】根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,了解一-批節(jié)能燈的使用壽命，調(diào)查過(guò)程帶有破壞性，只能采取抽樣調(diào)查，

而不能將整批節(jié)能燈全部用于實(shí)驗(yàn)，故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B,要調(diào)查某個(gè)班級(jí)同學(xué)的身高，采用全面調(diào)查的方式，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,調(diào)查海河某段水域的水質(zhì)情況，采用抽樣調(diào)查的方式，故C正確：

對(duì)于D,調(diào)查全市高中生每天的睡眠時(shí)間，采用抽樣調(diào)查的方式，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)多面體性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】易知三棱臺(tái)48C-4當(dāng)G截去三極錐小-48C,

剩余部分為以4為頂點(diǎn)，以四邊形BCGBi為底面的四棱錐.

故選：B

3.C

【分析】利用頻率估計(jì)概率，可知隨機(jī)摸出一個(gè)球摸到黑球的概率約為0.4,進(jìn)而分析求解.

【詳解】設(shè)袋中黑球有x個(gè)，

利用頻率估計(jì)概率，可知唾機(jī)摸出一個(gè)球摸到黑球的概率約為0.4,

由題意可得：丁二一=04,解得x=8,

所以袋中約有黑球8個(gè).

故選：C.

4.A

【分析】求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為外接球的直徑，再由球的表面積公式計(jì)算可得

【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1,

則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為JF；2y.p-,

又長(zhǎng)方體外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)外接球的半徑為R，

答案第I頁(yè)，共10頁(yè)

則2A二、X，所以R_空

所以外接球的表面積S=4ft/?2=14兀.

故選：A.

5.C

【分析】將數(shù)據(jù)按升序排列，根據(jù)極差、中位數(shù)、百分位數(shù)以及平均數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】將數(shù)據(jù)按升序排列可得:87,89,90,90,91,92,93,94,

對(duì)于選項(xiàng)A：極差為94—87=7,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：中位數(shù)為二蕓=905,故B錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?x70%=5.6,

所以第70%分位數(shù)為第6位數(shù)92,故C正確：

對(duì)于選項(xiàng)D：平均數(shù)二;(87+89*90+90+91+92*93a*=9075.故D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.C

【分析】根據(jù)線面平行和垂直關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于①，互相平行的兩個(gè)平面，一個(gè)垂直于一個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于這一個(gè)平

面，①正確：

對(duì)于②，由mJLa,。〃氏得利_1_氏而〃_1_氏因此〃〃/7,②正確；

對(duì)于③，a//p,mla,〃u6,則〃?，〃可以是平行直線，也可以是異面直線，③錯(cuò)誤：

對(duì)于④，由〃〃_L。，得又mua,則a_L。成立，④正確.

故選：C.

7.D

【分析】分情況討論：三人中恰有兩人獲得一等獎(jiǎng)、三人都獲得一等獎(jiǎng)，根據(jù)獨(dú)立事件的概

率乘法公式求解山對(duì)應(yīng)概率即可.

【詳解】設(shè)甲、乙、丙獲得一等獎(jiǎng)的概率分別是"(山=:尸(8)=1.AC)=；

234

-||2I3I

則不獲?等獎(jiǎng)的概率分別是■彳1-；?小

則這三人中恰有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率為：

「(彳8C)+P(ASC)?P(ABC)=f(不nB)P(C)+P(/)卅所&CH

答案第2頁(yè)，共10頁(yè)

P(A)P(B)P(C)--x-x-4--xLLLxML上

2；42142；424

這三人都獲得一等獎(jiǎng)的概率為/YIHC二Pl.lg削P(「)'?；?'1.

所以這三人中至少有兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率?=1+[=[

24424

故選:D.

8.A

【分析】利用側(cè)面展開(kāi)結(jié)合圖形求解最短距離.

【詳解】尸為圓臺(tái)母線力3的中點(diǎn)，Oi,。？分別為上下底面的圓心，把圓臺(tái)擴(kuò)成圓錐，如圖

所示，

由O/,有S/=4,S8=8,SP=6,

圓錐底面半徑Oz5=2,底面圓的周長(zhǎng)為4n，母線長(zhǎng)S8=8,

所以側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角為==即上4s4=：,如圖所示,

質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)尸出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P,則運(yùn)動(dòng)的最短路徑為展開(kāi)圖弦

PP,

答案第3頁(yè)，共10頁(yè)

上尸W=.S產(chǎn)=6,有"萬(wàn).

故選：A

9.B

【分析】延長(zhǎng)。E與CG相交于點(diǎn)。，反向延長(zhǎng)線交C8于點(diǎn)G,連接/P交4a于點(diǎn)尸，

連接￡尸，得到截面FED4,由題意可得小F=2PG，由此可求出匕，匕，進(jìn)而求解.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)OE與CG相交于點(diǎn)P,。/?反向延長(zhǎng)線交。于點(diǎn)G,連接力P交小G

于點(diǎn)尸，連接封，得到截面人ED4,由題意得小戶=2FC-

在各棱長(zhǎng)均為1的正三棱柱49C—4SG中，AB=BC=AAt=1,

因?yàn)榧?，08=；,￡.=；,%；=；，丁穎1曲n60@g

所以匕=VfTGCT，PT；EC、TJGB，

xsin6O°x--lx-x|xlxsinl2(Fxl=^^

?？222?2M22122

G23GI3V3

所以I;=I-丁E=K

匕13

所以亡?五.

故選:B.

10.8

【解析】假設(shè)共抽取人數(shù)N,根據(jù)高一所占總共人數(shù)比例以及所抽出的人數(shù)，可得結(jié)果.

in

【詳解】設(shè)樣本容量為、,叫、?h=6'=I；

答案第4頁(yè)，共10頁(yè)

高二所抽人數(shù)為14?；：X.

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣，屬基礎(chǔ)題.

4

11.

【分析】由已知事件力、8互斥，且P（/l）二20（8）,可求尸（8）,

進(jìn)而根據(jù)對(duì)立事件概率公式得到答案.

【詳解】解：：事件力、B互斥，且P（4）=2P（4）,

vP（/l8）=P（/）+P（B）=3尸（陰=（

:解得〃（團(tuán)［,

,?.戶（可

故答案為：

12.返區(qū)

66

【分析】由旋轉(zhuǎn)體定義首先確定外接球球心位置，再計(jì)算出其半徑即可求解體積.

【詳解】易知將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周可以得到一個(gè)底面半

徑為1,高為1的圓柱；

易知其外接球的球心為圓柱中心，因此外接球半徑為"、?

因此外接球的體積為士他N

??￡6

故答案為：也

6

13.4五苧

【分析】利用面積公式可求正四面體的表面積，求出正四面體的高后可求其體積.

【詳解】楂長(zhǎng)為2的正四面體的表面積為4.訂?：2：4萬(wàn).

4

如圖，設(shè)△8。的中心為O,連接力0,8。，延長(zhǎng)80交CD于E,

則AO±平面6CQ且HE?2-行，

答案第5頁(yè)，共10頁(yè)

故正四面體的高為.1。IlI。二1'():

所以『」為川述二辿

3433

故答案為；4Vl2.

14.1/0,6

【分析】先計(jì)算從這5個(gè)數(shù)中任意選3個(gè)的情況總數(shù)，再計(jì)算當(dāng)3個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的情況數(shù),

然后利用古典概型的概率計(jì)算方法求解即可.

【詳解】總共5個(gè)數(shù)字，選3個(gè)，總共C；=10種選法，3個(gè)數(shù)之和是偶數(shù)，

則為兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，共有C；C；=6種選法，

故從這5個(gè)數(shù)中選3個(gè)不同的數(shù)目和為偶數(shù)的概率為；-1.

故答案為：—.

n1

15——

31

【分析】做新助線，分析可知直線與石廠所成角為上力8G(或其補(bǔ)角)，即可得結(jié)果：

利用等體枳法求點(diǎn)C到平面QEb的距離，進(jìn)而可求線面夾角.

【詳解】連接小G*G，

答案第6頁(yè)，共10頁(yè)

因?yàn)镋、F分別為BC,CC,的中點(diǎn)，則￡///8G，

可知直線與￡戶所成角為上小8G(或其補(bǔ)角)，

又因?yàn)?8=4G=4G，可知V48G為等邊三角形，

可得上《故；=：,所以直線小8與七尸所成角的大小為￡；

設(shè)正方體ABCD-4與G"的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)C到平面DEF的距離為d,

因?yàn)椤！甏颉⒎?&，

則△。切的面積S,“，Ml俘)十

131]2

又因?yàn)閂c-DEF=I'F-DCE?即；"*,=?x?'x?*2，解得“二；，

2

所以直線C。與平面。以所成知的正弦值為d3?.

CD2%

故答案為：?；；.

16.(1)50,0.03,0.004

(2)71,70.6

【分析】(1)根據(jù)第一組的頻數(shù)、頻率求出樣本容量，再根據(jù)第五組的頻數(shù)、頻率求出x；

(2)設(shè)中位數(shù)為〃，，根據(jù)中位數(shù)左邊的矩形面積之和為0.5列力程可求出〃，的值，由將矩

形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果相加可得平均數(shù).

【詳解】(1)由題意可知，樣本容量為4='=77^77=0004?

0八0八1：6x10/50x10

:x=0.1-0.016-0.04-0.01-0.004=0.03；

(2)設(shè)中位數(shù)為小

：(0.016+0.03)x10<0.5<(0.016+0.03+0.04)x10,則加￡[70,80],

答案第7頁(yè)，共10頁(yè)

由題意可得：（0.016+0.03）x10+（m-70）x0.04=0.5,解得〃i=71,

所以本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為71：

由頻率分布直方圖可知，本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為

x=55x0.16+65x0.3+75x0.4+85x0.1+95x0.04=70.6,

所以本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為70.6.

17.（1!]

（2）;

⑶*

【分析】（1）分析可知甲連得2分，根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解，注意發(fā)

球人：

<2）分析可知甲連得2分，根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解，注意發(fā)球人：

（3）分析可知第一、二球甲輸贏各一個(gè)，第三、四球均為甲贏，根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件概

率乘法公式運(yùn)算求解，注意發(fā)球人.

【詳解】（1）設(shè)甲以11:9獲得比賽勝利的事件為4

雙方比分為9:9時(shí)，輪到由乙發(fā)球，則"I）'-'1.

4

（2）設(shè)甲以12:10獲得比賽勝利的事件為8,

雙方比分為1（）：1（）時(shí)，輪到由甲發(fā)球，則

（3）設(shè)再打4個(gè)球后甲獲得比賽勝利的事件為C,

雙方比分為10:10時(shí)，輪到由甲發(fā)球，再打4個(gè)球后甲獲得比賽勝利的情況為第一、二球甲

輸贏各一個(gè)，第三、四球均為甲贏,

21211

-X-X-9—

[2)3232326

18.（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

唔

[分析】（1）在平面BED內(nèi)找到直線OE，使FGHOE,即可證直線R7//平面8EO.

（2）在三角形△49。中，由余弦定理可證5。_L4。，又平面/EQJ_平而/18C。，可證8□工

平面,4E。，從而可得平面〃芯O_L平面，住D.

答案第8頁(yè)，共10頁(yè)

(3)過(guò)點(diǎn)力作